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18.1 平行四边形的性质
平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记
作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
注意：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为
对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
题型1：平行四边形的定义
1.如图，在 ABCD中，若EF∥AD，OH∥CD，EF与GH相
交于点O，则图中的平行四边形一共有（ ）
▱
A．4个 B．5个 C．8个 D．9个
【变式1-1】如图，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则图中平行四边形一共有（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-2】以A、B、C三点为平行四边形的三个顶点作形状不同的平行四边形，一共可
以作 ．
平行四边形的性质（1）
1.边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2.角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
注意：①平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；
角的性质可以证明两角相等或两角互补；
题型2：平行四边形的性质与角度计算
2如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝
128°，则∠A＝（ ）
A．32° B．42° C．52° D．62°
【变式2-1】如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD
＝50°，则∠BCE的度数为（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
【变式2-2】如图，平行四边形ABCD中，BD为对角线，∠C＝60°，BE平分∠ABC交DC
于点E，连接AE，若∠EAB＝38°，则∠DBE为 度．
题型3：平行四边形的性质与求线段
3.如图，在 ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝2，则AB
的长为（ ）
▱
A． B．2 C．2 D．2
【变式3-1】如图，在 ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则CD＝（ ）
▱
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式3-2】如图，在 ABCD中，∠BCD的平分线交BA的延长
线于点E，AE＝2，AD＝5，则CD的长为（ ）
▱A．4 B．3 C．2 D．1.5
平行四边形的性质（2）
1.对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
2．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
注意：（1）对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三
角形三边的不等关系来解决.
（3）对角线性质的拓展∶
①两条对角线将平行四边形分为面积相等的四个三角形;
②过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线
相交，得到线段总相等;
③过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.且与对角
线围成的三角形相对的两个全等.
题型4：平行四边形的性质与求周长
4.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝16，若△BCO的周长为
14，则AD的长为（ ）
▱
A．12 B．9 C．8 D．6
【变式 4-1】在 ABCD 中，若∠B＝60°，AB＝16，AC＝14，则 ABCD 的周长是
．
▱ ▱
【变式4-2】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O任意作直
线分别交AB、CD于点E、F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CD＝7，AD＝5，OE＝2，求四边形AEFD的周长．
题型5：平行四边形的性质与面积
5.如图，在 ABCD中，BC＝13，过点A作AE⊥DC于E，AE＝12，CE＝10．
（1）求AB的长；
▱（2）求 ABCD的面积．
▱
【变式5-1】如图，在 ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点
F，连接BF、AC．
▱
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）若AD＝AF，AB＝3，BC＝5，求四边形ABFC的面积．
【变式5-2】如图， ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，BC＝5，P是
对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交
▱
AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．5 C．10 D．10
题型6：平行四边形的性质与三边关系
6.如图，平行四边形ABCD和平行四边形EAFC的顶点D、E、F、B在同一条直线上，
则下列关系正确的是（ ）
A．DE＞BF B．DE＝BF
B．C．DE＜BF D．DE＝FE＝BF【变式6-1】如图，AB＝CD＝DE，CE是由AB平移所得，则AC+BD与AB的大小关系是
（ ）
A．AC+BD＜AB B．AC+BD＝AB C．AC+BD＞AB
D．无法确定
【变式6-2】已知：如图，在 ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．猜测
DE和BF的位置关系和数量关系，并加以证明．
▱
题型7：平行四边形的性质与角平分线
7.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的
延长线于点F．连接BE，若BE⊥AF，EF＝2， ，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．4
【变式7-1】如图，在 ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交
AD于点E、F，若BE＝6，则CF＝ ．
▱
【变式7-2】如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC
的延长线于点E．求证：CD＝BE．题型8：平行四边形的性质与垂直平分线
8.在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，连接CE．若平行四
边形ABCD的周长为30cm，则△CDE的周长为（ ）
A．20cm B．40cm
C．15cm D．10cm
【变式8-1】如图，在 ABCD中，D在AB的垂直平分线上，且 ABCD的周长为42cm，
△BCD的周长比 A▱BCD的周长少12cm，则AB＝ cm， ▱S
ABCD
＝ cm2．
▱
▱
【变式8-2】如图，在平行四边形ABCD中，AC的垂直平分线分别交CD，AB于点F和
E，AB＝4，BC＝ ，AC＝3 ，求EF的长．
题型9：平行四边形的性质与最值
9.如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，DC＝2，AD＝4，AB＝6，点M是线
段AD上任意一点，连接MC并延长到点E，使MC＝CE，以MB和ME为边作平行四边形MBNE，请直接写出线段MN长度的最小值．
【变式9-1】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为
对角线的所有平行四边形ADCE中，求DE的最小值．
【变式9-2】在平面直角坐标系中，已知平行四边形 ABCD的点A（0，﹣1）、点B（m，
m+1）（m≠﹣1），点C（4，1），则对角线BD的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．5 D．6
题型10：平行四边形的性质与折叠问题
10.如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B
为（ ）
▱
A．66° B．104°
C．114° D．124°【变式10-1】如图，在 ABCD中，∠A＝70°，将 ABCD折叠，使点D、C分别落在点
F、E 处（点 F、E 都在 AB 所在的直线上），折痕为 MN，则
▱ ▱
∠AMF等于（ ）
A．70° B．40°
C．30° D．20°
【变式10-2】如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，
这时点D落在D ，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D AD＝
1 1
．
题型11：平行四边形的性质与证明题
11.如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC的三等分点，连接BE，
DF．证明：BE＝DF．
【变式11-1】如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1＝∠2．
（1）求证：BE＝DF；
（2）线段AF与CE有什么关系？请证明你的结论．
【变式11-2】如图，在 ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、
F，AE、BF相交于点M．
▱
（1）求证：AE⊥BF；
（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以证明．两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行
线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
（2）平行线间的距离处处相等
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
题型12：平行线的距离
12.如图，平行四边形 ABCD中，对角线 AC＝21cm，BE⊥AC，垂足为E，且BE＝
5cm，AD＝7cm，求AD和BC之间的距离．
【变式12-1】如图，在 ABCD中，AC⊥AB，AB＝6，BC＝10，求：（1）AB与CD的距
离；（2）AD与BC的距离．
▱
【变式12-2】如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
▱
（2）若∠B＝60°，AB＝2，求AD与BC之间的距离．
