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专题 18.9 四边形中的动点问题六大题型（60 题）
【人教版】
【题型1 与平行四边形有关的动点问题】
1．（24-25八年级·安徽宿州·期末）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=75°，P为AB边上的一动
点，以PA、PC为邻边作 ▱AQCP，则对角线PQ长度的最小值是（ ）
1 1 2
A． B． C．1 D．
3 2 3
2．（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，等腰△ABC中，AB=AC，点K是底边BC上的一动点（不与
点B、C重合），过点K分别作AB、AC的平行线KH、KQ，交AC、AB于点H、Q，则下列数量关
系一定正确的是（ ）
A．AQ+QK=2BQ B．KH+KQ=BC
C．KH+KQ=AC D．AC−AQ=BK
3．（24-25八年级·江苏盐城·期中）如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个
动点（不与点B重合），以BD,BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP∥BE,AP=BE（点P、E在直线
1
AB的同侧），如果BD= AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（ ）
41 3 1 3
A． B． C． D．
4 5 5 4
4．（24-25八年级·浙江温州·阶段练习）如图，在 ▱ABCD中，AB=5,BC=9，动点P从A点出发，以1
个单位长度的速度沿线段AD向终点D运动，同时动点Q从点B出发以3个单位长度的速度在BC间往返运
动，当点P到达点D时，动点P､Q同时停止运动，连结PQ．设运动时间为t秒．当PQ平分 ▱ABCD的面
积时，则t= ．
5．（24-25·浙江金华·八年级·期末）如图，在
▱
ABCD中，AB=5，BC=7，点M、N分别是AD、BC
上的动点，AM=CN，连结MN，作CD关于MN的对称线段C′D′，当C′D′与▱ ABCD的某边平行时，
AM= ．
6．（24-25八年级·河南郑州·期末）如图, 四边形ABDC是平行四边形，AB=8cm，AC=6cm，点G在
CD上， CG=3cm，动点E从点B出发，沿折线B→D→C→A→B的方向以2cm/s的速度运动，动点
F从点B出发，沿折线B→A→C→D→B的方向以1cm/s的速度运动，若动点E，F同时出发，相遇时
停止运动，在第 s时，以点A，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形．1
7．（24-25八年级·江苏无锡·期中）如图1，在 ▱ABCD中，AB=3，AD=6．动点P沿AD边以每秒 个
2
单位长度的速度从点A向点D运动．设点P运动的时间为t（t>0）秒．
(1)当CP平分∠BCD时，求t的值．
(2)如图2，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在CB上往返运动．P、Q两点同时出发．
①当点P到达点D停止运动，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，请
求出t的值．
②若点P在AD上往返运动，当以P、D、Q、B为顶点的四边形第2023次成为平行四边形时，直接写出此
时t的值为______．
8．（24-25八年级·广西梧州·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC=90°，CD=12cm，
AC=16cm．动点P从点A出发沿AD以1cm/s速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以4cm/s速
度沿射线CB运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒(t>0)．
(1)当点Q在线段CB延长线上时，用含t的代数式表示线段BQ的长；
(2)连结PQ，是否存在t的值，使得PQ与AB互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)若点P关于直线AQ对称的点恰好落在直线AB上，请求出t的值．
9．（24-25八年级·河北石家庄·期中）如图，在 ▱ABCD中，∠BAC=90°，CD=6cm，AC=8cm．动
点P从点A出发沿AD以2cm/s速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以8cm/s速度沿射线CB运动，
当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒(t>0)．(1)CB的长为______cm．
5
(2)当t> 时，用含t的代数式表示线段BQ的长______．
4
(3)连接PQ．是否存在t的值，使得PQ与AB互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
(4)若点P关于直线AQ对称的点恰好落在直线AB上，请直接写出t的值．
10．（24-25八年级·河北邯郸·期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N
分别为射线OB，OD上的两个动点（点M，N始终在平行四边形ABCD的外面），连接AM，AN，CM
，CN．
(1)若DN=2OD，BM=2OB，求证：四边形AMCN为平行四边形；
1 1
(2)若DN= OD，BM= OB(n>0)，
n n
①四边形AMCN为平行四边形吗？请说明理由；
②当n=1时，S =2，直接写出四边形AMCN的面积．
△MBC
【题型2 与矩形有关的动点问题】
11．（24-25·河北唐山·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，动点E，F分别从点D，B同时出发，沿DA
，BC向终点A，C移动．要使四边形AECF为平行四边形，甲、乙分别给出了一个条件，下列判断正确的
是（ ）
甲：点E，F的运动速度相同；乙：AF=CE
A．甲、乙都可行 B．甲、乙都不可行
C．甲可行，乙不可行 D．甲不可行，乙可行
12．（24-25八年级·广东潮州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，点E在线段AD上，且
AE=6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以
vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（ ）
6 12
A．2 B．4 C．4或 D．2或
5 5
13．（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，点E是矩形ABCD边CD上一点，连接BE，将△CEB沿BE翻
折，点C落在点F处，∠ABF的角平分线与EF的延长线交于点M，若AB=3，BC=6，当点E从点C运
动到点D时，则点M运动的路径长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
14．（24-25八年级·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且
OA=OB=OC=OD，点E从点B开始，沿四边形的边BA−AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，
点F是线段CE的中点．连接OF，下列选项不正确的是（ ）A．四边形ABCD是矩形
1
B．当点E是AB的中点时， OF= CD
4
C．当AB=6，BC=8时，线段OF长度的最大值为4
D．当点E在边AB上，且∠COF=60°时，△OFN是等边三角形
15．（24-25八年级·浙江台州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，∠ACB=30°．点P从点A出发
沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点C出发沿CA以每秒2个单位长度的速度向终点
A运动．连接PQ，当时间是1秒时，PQ的长度是（ ）
A．❑√41 B．6 C．❑√31 D．4
16．（24-25·河南·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E是边AB延长线上一点，
BE=8，点M从点E出发，先以每秒2个单位长的速度向点B运动，点到达点B后，再以每秒6个单位长
的速度沿射线BE方向运动，同时点N从点D出发，沿射线DC方向以每秒4个单位长的速度运动，设运动
时间为t（s），若以E，M，C，N为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为（ ）
A．1或3 B．3或13 C．1或13 D．1或3或13
17．（24-25八年级·四川自贡·期末）如图．在四边形ABCD中，AD ∥ BC，∠B=90°，AB=8cm，
AD=10cm．BC=12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以
4cm/s的速度在线段BC上来回运动，当点P当到达点D时，P、O两点停止运动．在此运动过程中，出
现PQ ∥ CD和PQ=CD的次数分别是（ ）A．3，6 B．3，7 C．4，6 D．4，7
18．（24-25八年级·天津蓟州·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=12，
BC=18，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，点Q从点B同时出发，以每秒2个
单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P运动时
间为t秒．
(1)当点P运动停止时，t=______，线段DP的长为______；
(2)①用含t的式子填空：DP=______，BQ=______，AP=______；
② t为何值时，四边形ABQP为矩形，求出t的值；
(3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请
求出t的值，若不存在，请说明理由．
19．（24-25八年级·云南昭通·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=11，延长BC到点E，使
CE=8．连接DE．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线BC−CD向终点D运动，设点P运动
的时间为t秒(t>0)．
(1)求DE的长；
(2)连接AP，当四边形APED是平行四边形时，求t的值；
(3)连接BP、PD，设四边形ABPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
20．（24-25八年级·浙江温州·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，AB=6❑√2cm，
AD=CD=10cm．(1)求BC的长；
(2)点P从点A开始沿着AD边向点D以1cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿着CB边向点B以2cm/s的速
度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，当点P运动到点D时，点Q也随之停止运动．若设运动的时间
为t秒，当PQ与四边形ABCD的其中一边平行时，求此时t的值．
(3)如图，点E，G分别在边AB，AD上，将△AEG沿EG折叠，点A恰好落在BC边上的点F处．若
5BE=AE，则AG长度为 ．
【题型3 与菱形形有关的动点问题】
21．（24-25八年级·北京·期中）在菱形ABCD中，∠BAD=120°，动点P在直线BC上运动，作
∠APM=60°，且直线PM与直线CD相交于点G,G点到直线BC的距离为GH．
(1)证明：∠BAP=∠GPC；
(2)若P在线段BC上运动，求证：CP=DG；
(3)若P在线段BC上运动，探求线段AC,CP,CH的一个数量关系，并证明你的结论．
22．（24-25八年级·江苏苏州·期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=16，
∠BAD=60°，点E从点A 出发，沿AB以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，当点E与点A不重合
时，过点E作EF⊥AD于点F，作EG∥AD交AC于点G，过点G作射线AD垂线段GH，垂足为点H，
得到矩形EFHG，设点E的运动时间为t秒．
(1)当点H与点D重合时，t= ；
(2)设矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；(3)设矩形EFHG的对角线EH与FG相交于点O′，
①当OO′∥AD时，t的值为 ；
②当OO′⊥AD时，求出t的值．
23．（24-25八年级·广西柳州·期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AD=12cm
，AB=18cm，CD=23cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，
以2cm/s的速度沿折线B−C−D向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运
动，设运动时间为t秒.
(1)当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
(2)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点O的运动速度应为多少？
24．（24-25八年级·江苏无锡·期中）如图1，在菱形ABCD中，∠ABC = 60°，对角线AC、BD交于点O，
P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，P点运动速度为1 cm/s．图2是点P运动时，△APC的面积y
（cm2）随P点运动时间x（s）变化的函数图像．
(1)AB = cm，a = ；
4
(2)P点在BD上运动时，x为何值时，四边形ADCP的面积为 ❑√3；
3
(3)在P点运动过程中，是否存在某一时刻使得△APB为直角三角形，若存在，求x的值；若不存在，请说
明理由．
25．（24-25八年级·全国·课后作业）已知点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上运动（点P不与
B，C重合），且∠PAQ=∠B．(1)如图①，若AP⊥BC，求证：AP=AQ；
(2)如图②，若AP与BC不垂直，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
26．（24-25八年级·广东广州·期中）已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P为菱形内部或边上一点．
(1)如图1，若点P在对角线BD上运动，以AP为边向右侧作等边△APE，点E在菱形ABCD内部或边上，
连接CE，求证：BP=CE．
(2)如图2，若点P在对角线BD上运动，以AP为边向右侧作等边△APE，点E在菱形ABCD的外部，若
AB=4，DP=1，求CE；
(3)如图3，若∠APB=60°，点E，F分别在AP，BP上，且AE=BF，连接AF，EF，∠AFE=30°，
求证：AF2+FE2=AB2．
27．（24-25八年级·江苏徐州·期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE=AD，
且BE⊥DC．
(1)求证：四边形DBCE为菱形；
(2)若△DBC是边长为1的等边三角形，点P、M、N分别在线段DC、DE、CE上运动，求PM+PN的最
小值．
28．（24-25八年级·河北廊坊·期中）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E，F分别是边AB、BC上的
点，且∠EDF=60°．(1)若点E是AB的中点，则DE与DF之间的数量关系为______；
(2)若点E不是AB的中点，判断DE与DF之间的数量关系并说明理由；
(3)若AB=4，直接写出△EDF周长的最小值；
(4)当点E在AB边上运动时，小亮发现，四边形DEBF的面积保持不变，请你帮助小亮验证他的发现．
29．（24-25八年级·辽宁沈阳·期末）如图1，已知△ABD≌△CBD,AB=AD,CB=CD，点E从点A出
发，沿A→D→B的方向以1cm/s的速度匀速运动到点B． 图2是点E运动时△EBC的面积y(cm2)随时
间x(s)变化的关系图象．
(1)BD=__________；
(2)求a的值．
30．（24-25八年级·重庆北碚·期中）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=60°．点P，Q分别以每秒
2个单位长度的速度同时从点A出发，点P沿折线A→D→C方向匀速运动，点Q沿折线A→B→C方
向匀速运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x秒，点P，Q的距离为y．
(1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出当y≤4时x的取值范围．
【题型4 与正方形有关的动点问题】
31．（24-25·山东临沂·八年级期末）在正方形ABCD中，E是BC边上一点（点E不与点B，C重合），
AE⊥EF，垂足为点E，EF与正方形的外角∠DCG的平分线交于点F．
(1)如图1，若点E是BC的中点，猜想AE与EF的数量关系是_________；证明此猜想时，可取AB的中点
P，连接EP，根据此图形易证△AEP≌△EFC，则判断△AEP≌△EFC的依据是_______．
(2)点E在BC边上运动，如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．
32．（24-25八年级·广东广州·期中）如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外
部，且满足∠CMN=90°，CM=MN，连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．
(1)依题意补全图形；
(2)求∠ABE的度数；
(3)设AB=2，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为多
少？
33．（24-25八年级·河南周口·期末）正方形ABCD的边长为4，点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速
度沿BC向点C运动．AE交BD于点F，DG⊥AE于点G，∠DGE的平分线GH分别交BD，CD于点P，
H，连接FH，FC．设点E的运动时间为t．
（1）在点E的运动过程中，∠DHG与∠DFC有什么数量关系？请证明你的结论；
（2）当AE把正方形ABCD的面积分成1:2两部分时，请直接写出t的值．34．（24-25八年级·山西太原·期中）综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图1，现有一个
边长为6cm的正方形ABCD，点E从对角线AC的点A出发向点C运动，连接EB并延长至点F，使
EF>AB，以EF为边在EF右侧作正方形EFGH，边EH与射线DC交于点M.
操作发现
（1）点E在运动过程中，判断线段BE与线段EM之间的数量关系，并说明理由；
实践探究
（2）在点E的运动过程中，某时刻正方形ABCD与正方形EFGH重叠的四边形EBCM的面积是16cm2，
求此时AE的长；
探究拓广
（3）请借助备用图2，探究当点E不与点A，C重合时，线段AE，EC与MC之间存在的数量关系，请直
接写出.35．（24-25八年级·山东烟台·期中）如图，正方形ABCD中，对角线AC＝8cm．射线AF⊥AC，垂足为
A．动点P从点C出发在CA上运动，动点Q从点A出发在射线AF上运动，两点的运动速度都是2cm/s．
若两点同时出发，多少时间后，四边形AQBP是特殊四边形？请说明特殊四边形的名称及理由．
36．（24-25八年级·河南安阳·期末）【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在正方形
ABCD中，E是边BC上一动点（点E与点B，C不重合），连接AE，作AE⊥EP，EP与正方形的外角
∠DCG的平分线交于P点．
【思考尝试】（1）如图1，当E是边BC的中点时，观察并猜想AE与EP的数量关系：________；
【实践探究】（2）小王同学受问题（1）的启发，提出了新的问题：如图2，在正方形ABCD中，若E是
边BC上一动点（点E与点B，C不重合），那么问题（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
【拓展迁移】（3）小李同学深入研究了小王同学提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正
方形ABCD中，当E在边BC上运动时（点E与点B，C不重合），连接DP，AP．若知道正方形的边长，
则可以求出△ADP周长的最小值．当AB=4时，请你直接写出△ADP周长的最小值：________．（说
明：备用图中CJ是外角∠DCG的平分线）
37．（24-25八年级·吉林四平·期中）如图1，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2．动点P从点A出
发，以每秒1个单位的速度沿线段AB向终点B运动，过点P作PE⊥AB交AC于点E．以PE为一边向右作正方形PEFG．设点P的运动时间为t秒．正方形PEFG与△ABC重叠部分图形的面积为S．
1
(1)当t= 时，S=________；
2
(2)当点F落在BC上时，t=________；
3
(3)当t= 时，在图2中画出图形，并求出S的值；
2
(4)连接CF，当△CEF是等腰三角形时，直接写出t的值．
38．（24-25八年级·山东济南·期末）已知四边形ABCD是边长为8cm的正方形，P，Q是正方形边上的两
个动点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以1cm/s速度沿
D→C方向运动．设点P运动的时间为t(0<t<8)．
(1)如图1，点P在AB边上，PQ，AC相交于点O，当PQ，AC互相平分时，求t的值；
(2)如图2，点P在BC边上，AP，BQ相交于点H，当AP⊥BQ时，求t的值．
39．（24-25八年级·吉林·阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为16，
∠A=∠B=∠C=∠D=90°;AB=BC=CD=AD，点P为正方形ABCD边上的动点，动点P从点A出
发，沿着A→B→C→D运动到D点时停止，设点P经过的路程为x,△APD的面积为y．(1)当x=4时，y=______；
(2)当点P在边BC上运动时，y=______；
(3)若点E是边BC上一点且CE=6，连接DE，是否存在一点P，使得△DCE与△BCP全等？若存在，求出
此时x的值；若不存在，请说明理由．
40．（24-25八年级·吉林·期中）如图，AC 为正方形ABCD的对角线，AB=4．动点P、Q分别从点A、
C同时出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿AB、CD向终点B、D运动．连接PQ交AC于点O，过
点O作OE⊥PQ交边AD于点E．设点P运动的时间为t秒．
(1)当点P运动到边AB的中点时，四边形DEOQ的面积为__________；
(2)连接AQ、PC，求证：四边形APCQ是平行四边形；
(3)求四边形APOE的面积；
(4)当OA将四边形APOE分成面积比为2:3两部分时，直接写出t的值．
【题型5 与梯形形有关的动点问题】
41．（24-25八年级·吉林·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，
∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；
点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之
停止运动．设点Q的运动时间为t（s）．(1)当t=5时，P，Q两点之间的距离为__________cm；
(2)线段PC与DQ互相平分时，求t的值；
3
(3)t为何值时，四边形APQB的面积为梯形ABCD面积的 ？
10
42．（24-25八年级·山东济宁·阶段练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=9cm，BC=24cm，
E是BC的中点． 动点P从点A出发沿AD向终点D运动，动点P平均每秒运动1 cm；同时动点Q从点C
出发沿CB向终点B运动，动点Q平均每秒运动2 cm，当动点P停止运动时，动点Q也随之停止运动．
(1)当动点P运动t(0<t<9)秒时，则PD=________；(用含t的代数式直接表示)
(2)当动点Q运动t秒时，
① 若0<t<6，则EQ=________；(用含t的代数式直接表示)
② 若6<t<9，则EQ=________；(用含t的代数式直接表示)
(3)当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形？
43．（24-25八年级·广东广州·期中）如图①，在Rt△ABC中，已知∠A=90°,AB=AC,G,F分别是
AB、AC上的两点，且GF//BC．AF=2,BG=4．
（1）求梯形BCFG的面积；
（2）如图②，有一梯形DEFG与梯形BCFG重合，固定△ABC，将梯形DEFG向右运动，当点D与点C
重合时梯形DEFG停止运动；
①若某时段运动后形成的四边形BDG'G中，DG⊥BG'，求运动路程BD的长，并求此时G'B2的值；
②设运动中BD的长度为x，试用含x的代数式表示梯形DEFG与Rt△ABC重合部分面积S．
44．（24-25八年级·广东广州·期末）如图，在梯形 ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，AD=20cm，
AB=8cm，BC=26cm，动点P从A点开始沿AD边向D以1cm/秒的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边
向B以3cm/秒的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．问：
(1)AP的长度为 cm，PD的长度为 cm，（用t的式子表示），其中t的取值范围为 ．
(2)当t为何值时，四边形PBQD是平行四边形，请说明理由；
(3)朱华同学研究发现：按以上变化，四边形PBQD在变化过程中不可能为菱形，除非改变动点的运动速
度．请探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求此时点Q的速度．
45．（24-25八年级·上海虹口·期末）如图，已知∠ABP=90°，AB=8，点C、E在射线BP上（点C、E
不与点B重合且点C在点E的左侧），连接AC、AE，D为AC的中点，过点C作CF∥AE，交ED的延长
线于点F，连接AF．
(1)求证：四边形ABCF是梯形；
(2)如果CE=5，当△CDE为等腰三角形时，求BC的长．
46．（24-25八年级·广东惠州·期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥CB，AB=6cm，
BC=14cm，AD=8cm，点E为AB上一点，且AE=2cm，点F为AD上一动点，以EF为边作菱形
EFGH，且点H落在边BC上，点G在梯形ABCD的内部或边CD上，设AF=xcm．
(1)直接写出CD的长与∠DCB的度数．
(2)在点F运动过程中，是否存在某个x的值，使得四边形EFGH为正方形？若存在，请求出x的值；若不
存在，请说明理由．
(3)若菱形EFGH的顶点G恰好在边CD上，则求出此时x的值．47．（24-25八年级·上海·专题练习）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=18，
BC=21．点P从点A出发沿AD以每秒1个单位的速度向点D匀速运动，点Q从点C沿CB以每秒2个单
位的速度向点B匀速运动．点P、Q同时出发，其中一个点到达终点时两点停止运动，设运动的时间为t
秒．
(1)当AB=10时，设A、B、Q、P四点构成的图形的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出定义域；
(2)设E、F为AB、CD的中点，求四边形PEQF是平行四边形时t的值．
48．（24-25八年级·山东淄博·期末）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，
AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s速度运动，动点Q从点C开始沿
CB边向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随
之停止运动．设运动时间为t秒．求：
(1)t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
(2)t为何值时，四边形ABQP为矩形？
(3)是否存在t，使梯形ABQP的面积为24cm2？若存在请求出，若不存在请说明理由．
49．（24-25八年级·广东惠州·期中）如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥CB，AB=6cm，
BC=14cm，AD=8cm，点E为AB上一点，且AE=2cm；点F为AD上一动点，以EF为边作菱形EFGH，且点H落在边BC上，点G在梯形ABCD的内部或边CD上，设AF=xcm.
（1）直接写出CD的长与∠DCB的度数：CD=______，∠DCB=______；
（2）在点F运动过程中，是否存在某个x的值，使得四边形EFGH为正方形？若存在，请求出x的值；若
不存在，请说明理由；
（3）若菱形EFGH的顶点G恰好在边CD上，则求出点G在CD上的位置和此时x的值．
50．（24-25八年级·海南海口·期中）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD = 6，BC =
8， ，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到
达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在
点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同
时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．
设点P，Q运动的时间是t秒(t＞0)．
（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值
范围）．
（2）当BP = 1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积．
（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大
值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．
【题型6 平面直角坐标系中与特殊四边形有关的动点问题】
51．（24-25八年级·甘肃定西·阶段练习）如图，平行四边形OABC的顶点O为坐标原点，A点在x轴正半轴上，∠COA=60°，OA=10cm，OC=4cm，点P从C点出发沿CB方向，以1cm/s的速度向点B运
动；点Q从A点同时出发沿AO方向，以3cm/s的速度向原点运动，其中一个动点达到终点时，另一个动
点也随之停止运动．
(1)求点C，B的坐标（结果用根号表示）
(2)从运动开始，经过多少时间，四边形OCPQ是平行四边形；
(3)在点P、Q运动过程中，四边形OCPQ有可能成为菱形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理
由．
52．（24-25八年级·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，B的坐标分别为
A(0,4)，B(8,4)，点D为对角线OB中点，点E在x轴上运动，连接DE，把△ODE沿DE翻折，点O的对
应点为点F，连接BF．
(1)当点F在第四象限时（如图1），求证：DE∥BF．
(2)当点F落在矩形的某条边上时，求EF的长．
(3)是否存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点E的坐标；若不存
在，请说明理由．
53．（24-25八年级·江苏扬州·阶段练习）已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10,0)，
C(0,3)，点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动. 设动点P的运动
时间为t秒．(1)当t为何值时，四边形PODB是平行四边形；
(2)在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，
并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在线段PB上有一点M且PM=5，直接写出四边形OAMP的周长的最小值 ，并在图上画图标出点M的
位置，
54．（24-25八年级·安徽阜阳·期中）如图，在菱形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(6，0)，
∠COA=60°．动点P从点A出发，沿着射线AO以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，
沿着射线CB以每秒1个单位长度的速度运动．点 P，Q同时出发，设运动时间为t(t>0)秒．
(1)求点C的坐标．
(2)当t=1时，求△POQ的面积．
(3)试探究在点 P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得以C，O，P，Q四点为顶点的四边形是平行
四边形?若存在，请求出此时t的值与点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
55．（24-25八年级·江苏无锡·期中）如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，定点A的坐标为(4,3)．
(1)求正方形OABC顶点C的坐标为（ ， ）顶点B的坐标为（ ， ）；
(2)现有一动点P从C点出发，沿线段CB向终点B运动，P的速度为每秒1个单位长度，同时另一动点Q从点A出发沿A→O→C向终点C运动，速度为每秒k个单位长度．设运动时间为2秒时，将三角形CPQ
沿它的一边翻折，若翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，求k的值．
56．（24-25八年级·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B坐标为(12,5)
，点D在CB边上从点C运动到点B，以AD为边作正方形ADEF，连BE、BF，在点D运动过程中，请探
究以下问题：
(1)若△BEF为直角三角形，求此时正方形ADEF的边长；
(2)△ABF的面积是否改变，如果不变，求出该定值；如果改变，请说明理由；
(3)设E(x,y)，直接写出y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围．
57．（24-25八年级·江苏无锡·期中）如图，正方形OABC的顶点B的坐标为(2，−2)，D(m，0)为x轴
上的一个动点(m>2)，以BD为边作正方形BDEF，点E在第四象限．
(1)线段CD的长为_______（用m的代数式表示）．
(2)试判断线段AD与CF的数量关系，并说明理由；
(3)设正方形BDEF的对称中心为M，直线CM交y轴于点G．随着点D的运动，点G的位置是否会发生变
化？若保持不变，请求出点G的坐标；若发生变化，请说明理由．
58．（24-25八年级·福建福州·期中）如图①所示，以正方形ABCO的点O为坐标原点建立平面直角坐标
系，其中线段OA在y轴上，线段OC在x轴上，其中正方形ABCO的周长为16．(1)直接写出B、C两点坐标；
(2)如图②，连接OB，若点P在y轴上，且S =2S ，求P点坐标．
△BOP △BOA
(3)如图③，若OB//DE，点P从点O出发，沿x轴正方向运动，连接PB,PE．则∠OBP，∠DEP，
∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点O，D，C重合的情况）？并说明理由．
59．（24-25八年级·江苏宿迁·期中））如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为
(−3,3)．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的正方向运动；点Q从点O同时出发，以相同
的速度沿x轴的正方向运动，连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD
与y轴交于点E，连接PE，设点P运动的时间为t(s)．
(1)∠EBP的度数为______，点D的坐标为______（用含t的代数式表示）；
(2)当t=1时，平面内是否存在点M，使以点P、D、C、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接
写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在整个运动过程中，判断线段PE、AP与CE之间的数量关系，并证明你的结论．
60．（24-25八年级·吉林四平·期末）如图1，四边形 为菱形， ． ，
ABCD ∠ABC=120° B(−❑√3,0)
， ．
C(❑√3,0) D(0，3)(1)点A坐标为 ，四边形ABOD的面积为 ；
(2)如图2，点E在线段AC上运动，△≝¿为等边三角形．
①求证：AF=BE，并求AF的最小值；
②点E在线段上运动时，点F的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点F的横坐标．若变化，请说明理
由．
