文档内容
专题 18.11 平行四边形中的定值、最值问题三大题型
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对平行四边形中的定值、最值问
题三大题型的理解！
【题型1 定值问题】
1．（2024八年级下·浙江金华·期中）如图，四边形ABCD和AEFD均为平行四边形，边AE，CD相交于
点P，边BC，EF在同一直线上，当点P从点C出发向点D运动时（点P不与点C，D重合），则△ACE
的面积与△PCF的面积差的变化情况是（ ）
A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．一直变小 D．一直不变
2．（2024·湖南株洲·二模）如图，直线MA平行于NB，定点A在直线MA上，动点B在直线BN上，P是
平面上一点，且P在两直线中间（不包括边界），始终有∠PAM=∠PBN，则在整个运动过程中，下列
PA
各值①∠APB；②PA+PB；③ ；④S 中，一定为定值的是 ．（填序号）
PB △PAB
3．（2024八年级下·陕西西安·期中）问题探究：
（1）如图1，平行四边形ABCD，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝5，M、N分别为AD、DC上的点，且
DM+DN＝4，则四边形BMDN的面积最大值是 ．（2）如图2，∠ACB＝90°，且AC+BC＝4，连接AB，则△ABC的周长是否存在最小值？若存在，求出最
小值；若不存在，说明理由．
问题解决
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且AC+BD＝10，
则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值．
4．（2024八年级下·江苏南通·期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2．过点A作对角线BD
的平行线与边CD的延长线相交于点E．P为边BD上的一个动点（不与端点B，D重合），连接PA，PE，
AC．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）求四边形ABDE的周长和面积；
（3）记 ABP的周长和面积分别为C 和S， PDE的周长和面积分别为C 和S，在点P的运动过程中，
1 1 2 2
试探究下△列两个式子的值或范围：①C +C ，△②S+S，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定
1 2 1 2
值的，请直接写出它的取值范围．
5．（2024八年级上·浙江杭州·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边BC上（不与点B，C重
合），且BD>CD，过点D作DP⊥BC，分别交BA的延长线和AC于点P和点Q．(1)求证：AP=AQ．
(2)若点Q是线段DP的中点，探索AQ与QC的数量关系．
(3)若△ABC的形状和大小都确定，说说DP+DQ的值是否为定值，如果是定值，直接写出这个定值的几
何意义；如果不是定值，说明理由．
6．（2024八年级上·福建泉州·阶段练习）如图所示四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=4，
∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
(1)四边形ABCD______平行四边形（是或不是）
(2)证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；
(3)当点E、F在BC、CD上滑动时，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果
变化，求出最大（或最小）值．
7．（2024八年级上·北京海淀·开学考试）如图1，点B， C分别是∠MAN的边AM，AN上的点，满足
AB=BC，点P为射线AB上的动点，点D为点B关于直找AC的对称点，连接PD交AC于点E；交BC干
点F．
(1)在图1中补全图形．
(2)求证：∠ABE=∠EFC．
DE
(3)当点P运动到满足PD⊥BE的位置时，在射线AC上取点Q，使得AB=BQ，此时 是否是一个定值，
CQ
若是请求出该定值，者不是在请说明理由．8．（2024八年级下·江苏淮安·阶段练习）（1）如果△ABC的面积是S，E是BC的中点，连接AE（图1)，
则△AEC的面积是 ；
（2）若任意四边形ABCD的面积是S，E、F分别是一组对边AB，CD的中点，连接AF，CE（图2），
则四边形AECF的面积是 ．
（3）如图3，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，延长AB到点F，使CD=BC，AE=CA，
BF=AB，得到△DEF．若△ABC的面积=10，则△DEF的面积= ．拓展与应用
（4） ▱ABCD的面积为2，AB=a，BC=b，点E从点A出发沿AB以每秒v个单位长的速度向点B运动．
bv
点F从点B出发沿BC以每秒 个单位的速度向点C运动．E、F分别从点A，B同时出发，当其中一点到
a
达端点时，另一点也随之停止运动．请问四边形DEBF的面积的值是否随着时间t的变化而变化？若不变，
请写出这个值 ，并写出理由；若变化，说明是怎样变化的．
9．（2024八年级下·广东珠海·期中）在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m(m>0)与x轴，y轴分别
交于A，B两点，点P在直线AB上．
(1)如图1，若m=2√2，点P在线段AB上，∠POA=45°，求点P的坐标；
(2)在（1）的条件下，平面内是否存在点Q，使得以A，Q，P，O为顶点的四边形为平行四边形，若存在，
请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，以OP为对角线作正方形OCPD（O，C，P，D按顺时针方向排列），当点P在直线AB上运动
BC
时， 的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
OP
10．（2024八年级上·吉林白城·期中）如图：△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点．由点
A向点C运动（P与点A、C不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向CB延长线方向运动（点Q
不与点B重合），过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D．(1)若设AP的长为x，则PC= ，QC= ．
(2)当∠BQD=30°时，求AP的长；
(3)过点Q作QF⊥AB交AB延长线于点F，则EP、FQ有怎样的数量关系？说明理由．
(4)点P，Q在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段ED的长；如果变化，
请说明理由．
【题型2 最小值问题】
1．（2024八年级下·广东深圳·期中）如图，l ∥l ，直线l 与直线l 之间的距离为4，点A是直线l 与l 外
1 2 1 2 1 2
一点，点A到直线l 的距离为2，点B，D分别是直线l 与直线l 上的动点，以点B为圆心，AD的长为半径
1 1 2
作弧，再以点D为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点C，则点A与点C之间距离的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．（2024八年级下·天津南开·期中）如图，已知
▱
OABC的顶点A，C分别在直线x=2和x=5上，O是
坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）A．9 B．8 C．7 D．6
3．（2024八年级上·山东济宁·期中）如图，已知点A(0,8)，B(0,-2)，E(0,5)，F(-5,0)，C为直线EF
上一动点，则 ▱ACBD的对角线CD的最小值是 ．
4．（2024八年级上·江苏泰州·期中）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BD⊥CD于点
D，BD=24，CD=7，在BD右侧的平面内有一点F，△BDF的面积是96，当FA+FC的最小值是30
时，那么AB= ．
5．（2024八年级上·陕西安康·期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，△ABC
的面积等于35，点P在AB上，点Q在AC上，BP=AQ，BC上有一动点M，若要使PM+MQ最小，则
该最小值是 ．
6．（2024八年级上·山东临沂·期中）已知如图，A(1,1)、B(4,2)．CD为x轴上一条动线段，D在C点右
边且CD=1，当AC+CD+DB的最小值为 .7．（2024八年级下·全国·期中）如图，在平行四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，BD=2，且两个
顶点B、D分别在x轴，y轴上滑动，连接OC，则OC的最小值是 ．
8．（2024八年级上·山东潍坊·期中）已知：将 ▱ABCD沿对角线AC折叠，△DAC折到△FAC位置．
(1)证明BE＝EF；
(2)如果AC=6cm，B、D两点间距离为8cm，请在对角线AC上找一点O，使得OB+OF的值最小，并求
最小值；
(3)探索：线段AF与BC满足什么关系时，点D、C、F在同一条直线上，请给出证明．
9．（2024八年级下·重庆秀山·期中）已知，在平行四边形ABCD中，点M是BC边上一点，连接AM、
DM，AM=DM且AM⊥DM，点E是DM上一动点，连接AE．(1)如图1，若点E是DM的中点，AE=√10，求平行四边形ABCD的面积；
(2)如图2，当AE⊥AB时，连接CE，求证：AB+CE=AE；
(3)如图3，以AE为直角边作等腰Rt△AEF，∠EAF=90°，连接FM，若CM=√2，CD=√5，当点E在
运动过程中，请直接写出△AFM周长的最小值．
10．（2024八年级下·吉林·期中）如图， ▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB、
CD分别相交于点E和点F．求证：OE=OF；
【结论应用】若∠ADB=90°，AB=5，AD=3，则四边形ADFE的面积为______，EF的最小值为
______
【题型3 最大值问题】
1．（2024八年级下·广东佛山·期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，点
E是折线BC-CD-DA上的一个动点(不与A、B重合)．则△ABE的面积的最大值是( )
√3
A． B．1 C．3√2 D．2√3
2
2．（2024八年级下·江苏无锡·期中）已知平面直角坐标系中，点A、B在动直线y=mx-3m+4（m为常4
数且m≠ ）上，AB=5，点C是平面内一点，以点O、A、B、C为顶点的平行四边形面积的最大值是（
3
）
A．24 B．25 C．26 D．30
3．（2024八年级下·浙江杭州·期中）如图，已知∠XOY =60°，点A在边OX上，OA=4．过点A作
AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）
内的一点，过点P作PD//OY交OX于点D，作PE//OX交OY于点E．设OD=a,OE=b，则a+2b的
最大值与最小值的和是（ ）
A．12+√3 B．14 C．7√3 D．8√3
4．（2024八年级下·北京丰台·期中）在等边△ABC中，AD为边BC的中线，将此三角形沿AD剪开成两
个三角形，然后把这两个三角形拼成一个平行四边形，如果AB=2，那么在所有能拼成的平行四边形中，
对角线长度的最大值是 ．
5．（2024八年级下·山东济南·期中）如图，在□ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠A＝60°，E是边AD上且AE
＝2DE，F是射线AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、DG，则BG
－DG的最大值为 ．6．（2024八年级下·山东潍坊·期中）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺
时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A，B的对应点分别是点D，E．
（1）当点E恰好在AC上时，如图1．求∠ADE的大小；
（2）若α=60°时，点F是边AC的中点，如图2．求证：四边形BEDF是平行四边形；
（3）当AB=2时，连接AE，AD，设△ADE的面积为S．在旋转过程中，S是否存在最大值？若存在，请
直接写出S的最大值；若不存在，请说明理由．
7．（2024八年级·山东济南·期中）如图，△APB中，AB=2，∠APB=90∘，在AB的同侧作正△ABD、
正△APE和正△BPC，求四边形PCDE面积的最大值．
8．（2024八年级下·辽宁沈阳·期中）已知等边△ABC和等腰△CDE，DC=DE，∠CDE=120°．(1)如图1，点D在BC上，点E在AB上，P是BE的中点，连接AD，PD，则线段AD与PD之间的数量关
系为 ；
(2)如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，P是BE的中点，连接AD、PD，则（1）中的结论是
否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
(3)如图3，若点D在△ABC内部，点E和点B重合，点P在BC下方，且PB+PC=12，则PD的最大值为
．
9．（2024八年级下·河北石家庄·期中）如图1和图2，在▱ABCD中，AB为定值，BC=2x(x>0)，
∠ABC和∠BCD的平分线BE与CF交于点G，点E，F在直线AD上，线段EF的长为y，图3是y与x的
函数图像．
(1)①线段AE与线段DF的关系是：AE ______DF（填“<”，“>”或“=”）；
②线段AB长为______；图3中a的值是______；
(2)当点F在线段AE延长线上时，求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
(3)线段AE延长线上有点P，PE=m⋅BC，填空：
1
①若m= ，则当x为______时，P，F两点重合；
2
②若要使4≤x≤8时，P，F两点能够重合，则m的最大值是______．
10．（2024八年级下·重庆渝北·期中）如图1，在 ▱ABCD中，∠B＝45°，过点C作CE⊥AD于点E，连接
AC，过点D作DF⊥AC于点F，交CE于点G，连接EF．
(1)若DG＝8，求对角线AC的长；
(2)求证：AF＋FG＝√2EF；(3)如图2，点P是直线AB上一动点，过点A作AM⊥BC于点M，取线段AB的中点N，作点B关于直线PM
的对称点，连接，若AB＝10，请直接写出当取得最大值时PB的长．
