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18.1.1 平行四边形的性质
一、单选题
1．如图，在 ▱ ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，下列结论一定成立的是
（ ）
A．AC=BC B．AO=OC C．AC⊥BC D．
∠BAC=∠ADB
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，AB∥CD，∠BAC=∠DCA≠∠ADB，故B选项成立；
A，C，D选项错误.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质“①平行四边形的对边平行且相等；②平行四边形的
对角相等；③平行四边形的对角线互相平分”即可判断求解.
2．在 ▱ABCD 中， ∠A=50° ，则 ∠C= （ ）
A．40° B．50° C．130° D．140°
【答案】B
【解析】【解答】解： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠C=∠A=50° .
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质：对角相等，得出 ∠C=∠A .
3．如图，四边形 ABCD 是平行四边形， E 是 BC 延长线上的一点，若
∠A=132° ，则 ∠DCE 的度数是（ ）
A．48° B．50° C．58° D．60°
【答案】A【解析】【解答】 解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∠A=132°
∴∠BCD=∠A=132°
由邻补角的定义得： ∠DCE=180°-∠BCD=180°-132°=48°
故答案为：A.
【分析】先根据平行四边形的性质可得 ∠BCD=∠A=132° ，再根据邻补角的定义
即可得.
4．在 ▱ABCD中，已知∠A=60°，则∠C的度数是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．60°或
120°
【答案】B
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A=60°；
故答案为：B．
【分析】由平行四边形的对角相等即可得出答案．
5．平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对边平行
C．对角线互相垂直 D．对边相等
【答案】C
【解析】【解答】解：∵平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等，
∴平行四边形不一定具有的性质是C选项.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平
行且相等进行判断.
6．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，点E、F是对角线BD上的两点，如果
添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ ）
A．∠1=∠2 B．BF=DE C．AE=CF D．
∠AED=∠CFB
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABE=∠CDF，
∴AB=CD，当添加∠1=∠2时，由ASA判定△ABE≌△CDF，
∴选项A正确；
当添加BF=DE时，BE=DF，由SAS判定△ABE≌△CDF，
∴选项B正确；
当添加AE=CF时，由SSA不能判定△ABE≌△CDF，
∴选项C不正确；
当∠AED=∠CFB时，由AAS判定△ABE≌△CDF，
∴选项D正确；
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定分别得出选项A、B、D
正确，选项C不正确，即可得出结论.
7．如图，在 ▱ABCD中，AB＝6，BC＝4，BE平分∠ABC，交CD于点E，则DE的
长度是（ ）
3 5
A． B．2 C． D．3
2 2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，CD＝AB＝6，
∴∠ABE＝∠CEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴CE＝BC＝4，
∴DE＝CD﹣CE＝6﹣4＝2.
故答案为：B.
【分析】利用平行四边的性质，可证得AB∥CD，CD＝AB＝6；再利用平行线的性质
及角平分线的定义可以推出∠CBE＝∠CEB，利用等角对等边可求出CE的长，然后根
据DE＝CD﹣CE，可求出DE的长。
8．如图，在 ▱ABCD 中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA=3，EB=5，ED=4.则
CE的长是（ ）A．5 √2 B．6 √2 C．4 √5 D．5 √5
【答案】C
【解析】【解答】解：∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BC=BE=5，
∴AD=5，
∵EA=3，ED=4，
在△AED中， 32+42=52 ，即 EA2+ED2=AD2 ，
∴∠AED=90°，
∴CD=AB=3+5=8，∠EDC=90°，
在Rt△EDC中， CE=√ED2+DC2=√42+82=4√5 .
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的性质，可证得AB=CD，AD=BC，AB∥CD，再利用角平分
线的定义及平行线的性质可以推出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边，就可求出BC的
长，即可得到AD的长；再利用勾股定理的逆定理证明△ADE是直角三角形，由此可
证△DEC是直角三角形，利用勾股定理求出CE的长。
9．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点
E，∠BCD═60°，AD＝2AB，连接OE．下列结论：①S ABCD＝AB•BD；
平行四边形
②DB平分∠ADE；③AB＝DE；④S CDE＝S BOC，其中正确的有（ ）
△ △
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=60º，∠ADC=120º，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，
∵ DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠BCD=∠CED=60º，
∴∆CDE是等边三角形，
∴CD=CE=DE，
∵ AD＝2AB，
∴BE=DE，
∴∠CBD=∠BDE=30º，
∴∠ADB=30º，
∴∠ABD=90º，即AB⊥BD，
∴ S ＝AB•BD，故①正确；
平行四边形ABCD
∵∠ADB=∠BDE=30º，
∴ DB平分∠ADE，故②正确；
∵AB=CD，CD=DE，
∴AB=DE，故③正确；
设平行四边形的高为h，
1 1 1 1
∴S = CE·h= · BC·h= S ，
△CDE 2 2 2 4 平行四边形ABCD
1 1 1
S = ·BC· h= S ，故④正确.
△BOC 2 2 4 平行四边形ABCD
故选D.
【分析】根据题意证出∆CDE是等边三角形，再证明∠ADB=30º，即证出AB⊥BD，根
据平行四边形的面积得出①正确；由∠ADB=∠BDE=30º， 得出DB平分∠ADE，故②
1
正确；由AB=CD=DE，得出③正确；分别求出S = S ，S =
△CDE 4 平行四边形ABCD △BOC
1
S ，得出S =S ④正确，即可求解.
4 平行四边形ABCD △CDE △BOC，得出
10．如图，点O是 ▱ABCD 的对称中心， AD>AB ，E、F是 AB 边上的点，且
1 1
EF= AB ；G、H是 BC 边上的点，且 CH= BC ，若 S ,S 分别表示 △EOF
2 3 1 2
和 △COH 的面积，则 S 与 S 之间的等量关系是（ ）
1 2S 2 S 3 S 2 S 1
A．
1=
B．
1=
C．
1=
D．
1=
S 3 S 2 S 1 S 2
2 2 2 2
【答案】B
S EF 1 S GH 1
【解析】【解答】解： ∵ 1 = = ， 2 = = ，
S AB 2 S BC 3
ΔAOB ΔBOC
1 1
∴S = S ， S = S ．
1 2 ΔAOB 2 3 ΔBOC
∵ 点 O 是 ▱ABCD 的对称中心，
1
∴S =S = S ，
ΔAOB ΔBOC 4 ▱ABCD
1
S 2 3
∴ 1= = ．
S 1 2
2
3
S 3
即 S 与 S 之间的等量关系是 1= ．
1 2 S 2
2
故答案为：B．
S EF 1
【分析】根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出 1 = = ，
S AB 2
ΔAOB
S GH 1
2 = = ，再由点 O 是 ▱ABCD 的对称中心， 根据平行四边形的性质可
S BC 3
ΔBOC
1
得 S =S = S ，从而得出 S 与 S 之间的等量关系 ．
ΔAOB ΔBOC 4 ▱ABCD 1 2
二、填空题
11．如图，在平行四边形 ABCD 中， DE 平分 ∠ADC ， AD=5 ， BE=2 ，则
ABCD 的周长是 .
【答案】16
【解析】【解答】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵▱ABCD中,AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，∴CE=CD，
∵在 ▱ABCD中，AD=5，BE=2，
∴AD=BC=5，
∴CE=BC−BE=5−2=3，
∴CD=AB=3，
∴▱ABCD的周长=5+5+3+3=16.
故答案为：16.
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义可得∠CDE=∠CED，AD=BC，
CD=AB，由等角对等边可得CE=CD，由线段的构成得CE=BC-BE，则根据平行四边形
的周长等于四边之和可求解四边形的周长.
12．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的正方形， 点 A，B 是方格
纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5 的方格纸中，找出格点 C 使
△ABC 的面积为 2，则满足条件的格点 C 的个数是 个.
【答案】5
【解析】【解答】解：如图所示，图中这样的点C有5个.
故答案为：5.
【分析】首先分别在AB的两侧找到一个使其面积是2个平方单位的点，再分别过这两
点作AB的平行线.找到所有的格点即可.即有5个.
13．如图，平行四边形 ABCD 中， AC ， BD 相交于点 O ，若 AD=6 ，
AC+BD=16 ，则△ BOC 的周长为 .
【答案】14
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AC=2OC，BD=2OB，AD=BC=6∵AC+BD=16
∴2OC+2OB=16
∴OC+OB=8
∴△BCO的周长为OC+OB+BC=8+6=14.
故答案为：14.
【分析】利用平行四边形的性质可知AC=2OC，BD=2OB，AD=BC=6，由
AC+BD=16，可求出OC+OB的值，然后可求出△BOC的周长。
14．如图，在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ，斜边 AB=√2 ，过点C作 CF//AB
，以 AB 为边作菱形 ABEF ，若 ∠F=30° ，则 Rt△ABC 的面积为 ．
1
【答案】
2
【解析】【解答】
如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB，垂足为点H、G，
∵根据题意四边形ABEF为菱形，
∴AB=BE= √2 ，
又∵∠ABE=30°
√2
∴在RT△BHE中，EH= ，
2
根据题意，AB∥CF，
根据平行线间的距离处处相等，
√2
∴HE=CG= ，
2
1 √2 1
∴ Rt△ABC 的面积为 ×√2× = ．
2 2 2【分析】如下图，先利用直角三角形中30°角的性质求出HE的长度，然后利用平行线
间的距离处处相等，可得CG的长度，即可求出直角三角形ABC面积．
三、解答题
15．已知：如图，E是 ▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．
求证：△ABC≌△DCE．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABC和△DCE中，
{
AB=DC
∠B=∠DCE
BC=CE
∴△ABC≌△DCE（SAS）．
【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，由平行线的性质得出
∠B＝∠DCE，由SAS即可得出结论．本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的
判定与性质等知识；
16．如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAF＝
∠DCE．求证：BE＝DF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CDE，
{∠BAF=∠DCE
在△ABF和△CDE中 AB=CD ，
∠ABF=∠EDC
∴△ABF≌△CDE（ASA），
∴ED＝BF，
∴BD﹣CF＝BD﹣DE，∴BE＝DF．
【解析】【分析】利用平行四边形的性质可得AB＝CD，AB∥CD然后证明
△ABF≌△CDE，进而可得BF＝DE，再利用等式的性质进行计算即可．
17．已知：如图， ▱ABCD 的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD、
CB分别相交于点E、F．求证：OE＝OF．
【答案】解： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB,AD//BC ，
∴∠ODE=∠OBF,∠OED=∠OFB ，
{∠ODE=∠OBF
在 △DOE 和 △BOF 中， ∠OED=∠OFB ，
OD=OB
∴△DOE≅△BOF(AAS) ，
∴OE=OF ．
【解析】【分析】先根据平行四边形的性质可得 OD=OB,AD//BC ，再根据平行
线的性质可得 ∠ODE=∠OBF ， ∠OED=∠OFB ，然后根据三角形全等的判定
定理与性质即可得证．
四、综合题
18．如图，已知两个全等的等腰三角形如图所示放置，其中顶角顶点（点A）重合在
一起，连接BD和CE，交于点F．
（1）求证：BD＝CE；
（2）当四边形ABFE是平行四边形时，且AB＝2，∠BAC＝30°，求CF的长．
【答案】（1）证明：∵△ABC≌△ADE，AB＝AC，
∴AB＝AC＝AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中
{
AD=AE
∠BAD=∠CAE
AB=AC
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ABC≌△ADE，∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠DAE＝30°，
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥CE，AB＝EF，
由（1）知：AB＝AC＝AE，
∴AB＝AC＝AE＝2，
即EF＝2，
过A作AH⊥CE于H，
∵AB∥CE，∠BAC＝30°，
∴∠ACH＝∠BAC＝30°，
1 1
在Rt△ACH中，AH＝ AC ＝ ×2 ＝1，CH＝ √AC2-AH2 ＝ √22-12 ＝ √3
2 2
，
∵AC＝AE，CH⊥CE，
∴CE＝2CH＝2 √3 ，
∴CF＝CE﹣EF＝2 √3 ﹣2．
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AB＝AC＝AD＝AE，∠BAC＝
∠DAE，求出∠BAD＝∠CAE，根据全等三角形的判定得出△BAD≌△CAE，即可得出
答案；（2）根据平行四边形的性质和全等三角形的性质得出EF＝AB＝2，解直角三角
形求出CH，求出CE，即可求出答案．
19．如图，在 ▱ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF=45°，F在CD上，BF交CG于点
E，连接AE，且AE⊥AD.（1）若BG=2，BC= √29 ，求EF的长度；
（2）求证：CE+ √2 BE=AB.
【答案】（1）解：∵ CG⊥AB ， BG=2 , BC=√29 ，
∴ CG=√BC2-BG2=5
∵ ∠ABF= 45°, ∴ ΔBGE 为等腰直角三角形，∴ EG=BG=2 ,
∴ EC=CG-EG=3
在 ▱ABCD 中, AB//CD , ∠CFE=∠ABF=45∘ ， ∠FCE=∠BGE=90∘
∴ ΔECF 为等腰直角三角形, ∴ EF=√2EC=3√2
（2）解：证明：过点 E 作 EH⊥BE 交 AB 于 H ,
∵ ∠ABF= 45°, ∴ ΔBEH 为等腰直角三角形,
∴ BH=√2BE , BE=HE , ∠BHE=45∘ ,
∴ ∠AH E=135∘ ,
∵ ∠BEG= 45°, ∴ ∠BEC=135∘ ,
∴ ∠AHE=∠BEC ,
∵ AE⊥AD ,∴ ∠DAE=90∘ ,
∴ ∠BAD=90∘+∠EAB ,∵ ∠FCE=90∘ ,
∴ ∠BCD=90∘+∠BCG
在▱ABCD 中, ∠BCD=∠BAD ,
∴ ∠EAB=∠BCG ,
∴ ΔAHE≅ΔBCE ,
∴ AH=EC ，
∴ CE+√2BE=AH+BH=AB
【解析】【分析】（1）先在Rt△BGC中，利用勾股定理求出CG；再在等腰Rt△BGE
中求出GE,从而可求CE。然后根据平行四边形的性质得AB∥CD，继而得
∠EFC=45°，△ECF是等腰直角三角形，可得EF=√2EC.
（2）作EH⊥BE，可得△BEH是等腰直角三角形,则BH=√2BE；又易得
△BEC≌△HEA，根据全等三角形的性质得AH=CE，从而得证。
