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21.2.2 平行四边形的判定
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1. 理解平行四边形的判定；
2. 会综合运用平行四边形的性质判定解题.
分类训练
【题型1】命题真假判断
1.（2024八年级下·全国·专题练习）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．( )
【答案】√
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的各种判定是解题关键．根据平行四边形的判定
进行判断即可．
【详解】解：由平行四边形的判定：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．可知原问题正确，
故答案为：√
2．（2024八年级下·全国·专题练习）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．( )
【答案】
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理进行分析即可，关键是掌握两组
对边分别平行的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【详解】解：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，该说法错误，例如等腰梯形，也符
合一组对边平行，另一组对边相等，
故答案为： ．
3．（2024八年级下·全国·专题练习）一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形．( )
【答案】√
【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形，直接
判断，即可作答．
【详解】解：如图：
∵∴
则
∴
∴四边形 是平行四边形
故原说法是正确的
故答案为：√
4．（25-26八年级上·全国·单元测试）一个四边形，对于下列条件： 一组对边平行，一组对角相等；
一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分； 一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分；
两组对角的平分线分别平行，其中能判定为平行四边形的有 （填序号）．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键；
根据平行四边形的判定定理，逐一分析各条件是否满足判定要求即可．
【详解】解：对于条件①，一组对边平行且一组对角相等，根据平行四边形的判定定理，可证明另一组对
边也平行，从而判定为平行四边形；
已知： , ,
求证：四边形 是平行四边形，
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
对于条件②，一组对边平行且一条对角线被另一条对角线平分，可通过全等三角形证明对角线互相平分，
从而判定为平行四边形；
已知： ，对角线 平分 ，
求证：四边形 是平行四边形，证明：∵ ，
∴ ，
∵对角线 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ,
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
对于条件③，一组对边相等且一条对角线被另一条对角线平分，“一组对边相等 + 一条对角线被另一条
平分” 无法推出三角形全等，缺少 “夹角相等” 或 “另一组对边相等” 的条件，不能满足平行四边
形的判定定理；
对于条件④，两组对角的平分线分别平行，可推导出两组对角分别相等，根据平行四边形的判定定理，可
判定为平行四边形；
已知： ， 分别平分 ， ，且 ， ， 分别平分 ， ,且
，
求证：四边形 是平行四边形，
证明：∵ 分别平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 分别平分 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
，
∴ ，
同理可证 ，
∴四边形 是平行四边形；
故答案为：①②④．
5．（22-23八年级下·江苏南京·月考）下列命题：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ②一组对
角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且一条对角线平分另一条对角线的四边形
是平行四边形；④一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形．其中所有真命题
的序号是 ．
【答案】①③
【分析】根据平行四边形的判定、真命题与假命题的定义解决此题．
【详解】解：①根据平行四边形的判定，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，那么①是真命题；
②根据平行四边形的判定，一组对角相等且一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，那么②是假命题；
③根据平行四边形的判定，一组对边平行且一条对角线平分另一条对角线该组平行的对边也相等，故这个
四边形是平行四边形，那么③是真命题；
④根据平行四边形的判定，一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形无法推断出这个四边形
是平行四边形，那么④是假命题．
综上：真命题有①③．
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定、命题与定理，熟练掌握平行四边形的判定、真命题与假命题的
定义是解决本题的关键．
【题型2】判断能否构成平行四边形
6．（2025八年级上·全国·专题练习）在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别相等 B．一组对边平行且另一组对边相等
C．两组对边分别平行 D．一组对边平行且相等
【答案】B【分析】本题考查平行四边形的判定定理，掌握知识点是解题的关键．
根据平行四边形的判定定理判断各选项是否成立即可．
【详解】解：∵ 平行四边形的判定定理：两组对边分别平行（选项C）、两组对边分别相等（选项A）、
一组对边平行且相等（选项D）均能判定平行四边形；
而选项B：一组对边平行且另一组对边相等，不能判定平行四边形（如等腰梯形满足此条件但非平行四边
形）．
∴ 不能判定四边形为平行四边形的是B．
故选B．
7．（25-26九年级上·四川达州·开学考试）如图，在四边形 中， ，添加一个条件，能使四
边形 成为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据已知条件以
及各个选项中所给的条件，逐项分析即可得出答案．
【详解】A.已知 ，添加条件 ，则四边形 有可能是等腰梯形，不符合题意；
B. 已知 可得 ，故添加条件 ，不能判定四边形 为平行四边形，
不符合题意；
C. 已知 ，添加条件 ，不能判定四边形 为平行四边形，不符合题意；
D. 已知 可得 ,添加条件 ，则可得 ，由此可证得
，因此可判定四边形 为平行四边形，符合题意．
故选D．
8．（24-25八年级下·贵州·月考）如图，在下列给出的条件中，可以判定四边形 为平行四边形的条
件是（ ）
A． ， B． ，C． ， D． ，
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法，是解题的关键．根据平行四边
形的判定方法，逐项进行判断即可．
【详解】解：A． ， ，一组对边平行，一组对角相等的四边形，不能判定该四边
形是平行四边形，故A错误；
B． ， ，一组对边平行，另一组对边相等的四边形，不能判定该四边形是平行四边形，
故B错误；
C． ， ，一组对边平行，另一组对边相等的四边形，不能判定该四边形是平行四边形，
故C错误；
D． ， ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形 是平行四
边形，故D正确．
故选：D．
9．（24-25八年级下·全国·期末）能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边平行，一组对角相等
C．一组对边平行，一组邻角互补 D．一组对边相等，一组对角互补
【答案】B
【分析】本题重点考查平行四边形的判定定理，理解一组对边平行且一组对角相等能判定平行四边形是解
题的关键．
根据平行四边形的判定定理逐选项判断即可．
【详解】选项A不一定能判定平行四边形，等腰梯形有一组对边平行，另一组对边相等，但它不是平行四
边形，选项A错误；
选项B，如果一组对边平行且一组对角相等，可以证明另一组对边也平行，从而判定四边形是平行四边形，
选项B正确；
选项C，不一定能判定平行四边形，梯形有一组对边平行，且同旁内角互补（邻角互补），但它不是平行
四边形，选项C错误；
选项D，不一定能判定平行四边形，存在一些四边形满足一组对边相等且对角互补，但不是平行四边形，
选项D错误，
故选：B．
10．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）四边形 中，对角线 与 交于点 ，下列条件不能
判定这个四边形是平行四边形的是（ ）A． ， B． ∥ ， ∥
C． ， D． ∥ ，
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案．
【详解】解： 、 ， ，
四边形 是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；
B、 ， ，
四边形 是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；
C、 ， ，
四边形 是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；
D、 ， ，
四边形 是平行四边形或等腰梯形．故不能判定这个四边形是平行四边形．
故选：D．
【题型3】逆命题与逆定理
11．（24-25八年级下·山东潍坊·开学考试）“平行四边形的两组对边分别平行”的逆定理是 ．
【答案】两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【分析】本题考查的是命题与定理、逆命题的概念．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的
结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另
一个命题的逆命题，根据逆命题的概念解答即可．
【详解】平行四边形的两组对边分别平行，逆定理是两组对边分别平行的四边形是平行四边形
故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
12．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）“平行四边形两组对边分别相等”的逆命题是 命题．（填
“真”或“假”）
【答案】真
【分析】先写出该命题的逆命题，然后根据平行四边形的判定定理即可得出结论．
【详解】解：“平行四边形两组对边分别相等”的逆命题是“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，
是真命题，
故答案为：真．
【点睛】此题考查的是写一个命题的逆命题和平行四边形的判定，掌握逆命题的定义和平行四边形的判定
定理是解决此题的关键．13．（24-25八年级下·吉林·月考）命题“平行四边形的两条对角线互相平分”的逆命题是 命题
（填“真”或“假”）．
【答案】真
【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题，然后根据平行线的判定方法判定逆命题的真假．
【详解】解：“平行四边形的两条对角线互相平分”的逆命题是：“对角线互相平分的四边形为平行四边
形”，它是真命题．
故答案为：真．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断和逆命题的概念以及平行四边形的判定，正确的命题叫真命题，错
误的命题叫做假命题．
14．（2025·山东菏泽·二模）下列命题： 平行四边形的对角线互相平分； 若 ，则 ； 若
① ② ③
三角形的三边 、 、 满足 ，则该三角形是直角三角形； 全等三角形的对应角相等．
④
其中逆命题是真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】考查了命题与定理的知识，先写出命题的逆命题，再利用全等三角形的性质、勾股定理的逆定理，
平行四边形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解： 平行四边形的对角线互相平分的逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故为
真命题， ①
若 ，则 的逆命题为：若 ，则 ，该命题为假命题， 若 ，则 或 ，
② ∵
若三角形的三边 、 、 满足 ，则该三角形是直角三角形的逆命题为：直角三角形的斜边
③
满足 ，该命题为假命题， 未明确直角三角形的斜边．
∵
全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，该命题为假命题，例如相似
④三角形．
综上：只有 的逆命题是真命题，
故选：B ①
15．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）下列命题的逆命题错误的是（ ）
A．平行四边形是中心对称图形 B．平行四边形的对角线互相平分C．平行四边形的两组对边相等 D．平行四边形的两组对角相等
【答案】A
【分析】本题考查了命题的知识，原命题与逆命题的关系是将条件和结论互换．需逐一分析各选项的逆命
题是否正确．
【详解】选项A：逆命题为“中心对称图形是平行四边形”．中心对称图形包含圆、线段等非四边形，故
逆命题错误．
选项B：逆命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”符合平行四边形的判定定理，故逆命题正确．
选项C：逆命题“两组对边相等的四边形是平行四边形”符合平行四边形的判定定理，故逆命题正确．
选项D：逆命题“两组对角相等的四边形是平行四边形”，可通过同旁内角互补推导对边平行，故逆命题
正确．
故选A．
【题型4】已知平行四边形的三点坐标寻求第四点坐标
16.（24-25七年级下·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知以 ， ， ， 四个点为顶点的四边
形是平行四边形，其中 ， ， ，则点 的坐标为 ．
【答案】 或 或
【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，平面直角坐标系点的特征，熟练掌握平行四边形的判定是
解题的关键．
利用平行四边形的判定作出图象求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，已知 ， ， ，可作图如下：∵四边形 是平行四边形，
当 ， ，
∴在 点的基础上向左和向右平移两个单位即可得到 和
∴ ； ；
当 时，点 向下平移1个单位向左平移1个单位可得到点 ，
∴在 点的基础上向下平移1个单位并向左平移1个单位可得到点 ；
故答案为： 或 或 ．
17．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·月考）在平面直角坐标系中，已知点 、 、 ，若以
点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，则点 的坐标不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关
键．分三种情况：① 和 为对角线时，② 和 为对角线时，③ 和 为对角线时，设点 的
坐标为 ，利用平行四边形两对角线互相平分结合中点公式即可求解．
【详解】解：设点 的坐标为 ，
分三种情况：① 和 为对角线时，
得 ，
解得： ，
点 的坐标为 ；
② 和 为对角线时，得 ，
解得： ，
点 的坐标为 ；
③ 和 为对角线时，
得 ，
解得： ，
点 的坐标为 ；
综上所述，点C的坐标可能是 或 或 ，不可能是 ．
故选：D．
18．（24-25八年级上·四川成都·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，已知 、 、
，
(1)在平面直角坐标系中画出 ；
(2)求 的面积；(3)找一点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，则点 的坐标是______．
【答案】(1)见解析
(2)3
(3) 或 或
【分析】本题考查作图—复杂作图，坐标与图形性质，三角形的面积，平行四边形的判定等知识，解题的
关键是正确作出图形解决问题．
（1）根据A，B，C三点坐标作出三角形即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）根据平行四边形的判定分三种情形作出平行四边形即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
（2）解： 的面积 ；
（3）解：如图，满足条件的点P的坐标 ， ， ．
故答案为： 或 或 ．
19．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格， 的三个顶点
都在网格中的格点上．(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)若以点A，B，C，D为顶点画平行四边形，请在网格中标出所有D点的位置．
【答案】(1)结论： 是直角三角形．见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图一应用于设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定等知识，解
题的关键是掌握平行四边形的判定方法．
（1）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理判断即可；
（2）根据平行四边形的判定作出图形即可．
【详解】（1）解：结论： 是直角三角形．
理由：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形；
（2）解：如图点 即为所求．
20．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，A是y轴的正半轴上一点，点B、C分别在x轴的负半轴上和正半轴上，
的长满足 ，过点B作直线 的垂线，交 于点D．
(1)求点A、点B、点C的坐标；(2)求线段 的长；
(3)在平面内是否存在一点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)存在，点P的坐标为 或 或
【分析】本题考查一次函数综合题、平行四边形的判定和性质，二次根式非负性．
（1）根据绝对值、二次根式、平方的非负性分别求出 的长度即可；
（2）利用 计算即可；
（3）分别过 三个顶点作对边平行线，平行线交点即为点P，再利用平移的性质求坐标即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ， （负值舍去），
∴ ， ， ；
（2）∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴
（3）分别过 三个顶点作对边平行线，平行线交点即为点P，如图所示：点 向左平移10个单位长度到点 ，由平行四边形 可得点 向左平移10个单位长度到点 ，
同理 ， ，
∴存在一点P，使以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为 或 或 ．
【题型5】通过边、角的关系来判定是否是平行四边形
21.（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，已知 ， 、 分别是 和 上的点，
，求证：四边形 是平行四边形．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是找出两组对边平行．
根据角度关系，结合 ，得出 ，即可证得 ，最终证出平行四边形．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，又∵ ，
四边形 是平行四边形．
22．（24-25八年级下·湖南·期末）如图所示，在四边形 中， 于点E， 于点F，
， ．求证：
(1) ；
(2)四边形 是平行四边形．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，平行线的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的
理解和掌握，能证出 和 是证此题的关键．题型较好．
（1）由 ， ，根据垂直的定义得到 ，和已知 ， ，推出
；
（2）根据全等三角形的性质得到 ，进一步推出 ，根据平行四边形的判定即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ．
（2）证明：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
23．（22-23八年级下·陕西西安·期中）如图，在梯形 中， ， 平分 ， 是 的
延长线上一点，且 ，求证：四边形 是平行四边形．【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定．利用角平分线的定义求得 ，推出 ，再利
用平行四边形的判定定理即可证明结论成立．
【详解】证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴四边形 是平行四边形．
24．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）如图，在 中， ， ，以线段 为边
在 上方作等边 ，点F是线段 的中点，连接 ．
(1)若 ，求 的长；
(2)求证：四边形 是平行四边形．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明
是本题的关键．
（1）设 ，则 ，然后根据勾股定理求出x的值即可求解；
（2）由等边三角形的性质得出 ， ，得出 ，然后证明 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：设 ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ， （舍去），
∴ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ；
（2）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵点F是线段 的中点，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
即 ，
∴四边形 是平行四边形．
25．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图所示，在梯形 中， ， ，
，延长 到点 ，使 ，连接 ．(1)证明 是平行四边形；
(2)若 ， ，求四边形 的面积
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定和性质，三角形内角和定理，等边对等角，
解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．
（1）根据平行线的性质得出 ，根据等边对等角和三角形内角和定理求出
，再证∠EAB=∠C=135°根据平行四边形的判定定理即可证明；
（2）根据平行四边形的性质得出 ，求得 ，进而可求四边形 的面积．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴∠C=135°
∴四边形 是平行四边形．
（2）解：由（1）知，四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即四边形 的面积是 ．【题型6】通过对角线的关系来判定是否是平行四边形
26.（23-24八年级下·吉林延边·月考）如图，点 、 是 对角线 上的两点，且 ，连接
、 ， ，
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ．
①求线段 的长；
②求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①2；②
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理以及三角形面积等知识，掌握平行四边形的判定与
性质是解题的关键．
（1）连接 ，交 于点O，由平行四边形的性质得 ， ，再证 ，即可得出结
论；
（2）①由勾股定理得 ，则 ，得 ，即可得出结论；②求出
，再由三角形面积关系得 ，然后由平行四边形的性质即可得出结
论．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，交 于点O，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，∵ ，
∴ ，
即 ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：①∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
由①可知， ，
∴ ，
由（1）可知，四边形 是平行四边形，
∴ ．
27．（2025·贵州遵义·一模）如图，平行四边形 的对角线 交于O， ，连接
．
(1)求证四边形 是平行四边形；
(2)若点E是 的中点， 的面积为2，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．（2）利用平行四边形的性质求面积即可．
本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的面积，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】（1）证明： 为平行四边形，
， ．
，
．
∴四边形 是平行四边形．
（2）解：当E为 中点时， 的面积 的面积 ．
，
的面积 的面积 ．
，
的面积 的面积 ，
的面积 的面积 ．
∴四边形 的面积 ．
28.（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图， 的对角线 、 相交于点O，E、F是
上的两点，并且 ，求证：四边形 是平行四边形．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．先根据平
行四边形的性质可得 ，则可得 ，再根据平行四边形的判定即可得证．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 互相平分，
∴四边形 是平行四边形．
29.（24-25八年级下·福建福州·月考）如图，在 中，O为对角线 的交点，E、F分别是
的中点，顺次连接D、E、B、F．(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 的面积为2，直接写出四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质
是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质得 ，再证 ，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质和三角形面积关系即可得出结论．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，∵
∴E、F分别是 的中点，
∵
，
∴
，
∴四边形 是平行四边形；
∴（2） E是 的中点，
∵
，
∴
由（1）可知，四边形 是平行四边形，
．
∴
30.（24-25八年级下·河北·期末）如图 ，在平行四边形 中，点 为对角线 的交点，过点
的动直线 分别交 于点 ，交 于点 ．
(1)线段 （填“ ”、“ ”或“ ”）；
(2)如图 ，若动直线 分别与 的延长线相交于点 时，则（ ）的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
(3)在（ ）的条件下，求证： ．
【答案】(1)
(2)（ ）的结论还成立，证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（ ）利用平行四边形的性质证明 即可求解；
（ ）同理（ ）证明 即可求证；
（ ）连接 ，再证明四边形 是平行四边形即可求证；
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的
关键．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：（ ）的结论还成立，证明如下：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
即 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）证明：如图，连接 ，由（ ）知， ，
∴EO=FO，
又∵AO=CO，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
【题型7】平行四边形性质、判定的综合运用
31.（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）如图在平行四边形 中，点E在 上，点F在 上，且
，求证 ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质．
先由平行四边形 得到 ， ，然后证明 ，即可证明四边形 是平行四边
形，则 ．
【详解】证明：∵平行四边形 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
32.（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，四边形 是平行四边形，延长 至点E，使得 ，
连接 交 于点F，连接 、 ．(1)求证： 是 的平分线；
(2)若 平分 ，求证：四边形 是平行四边形；
(3)若 ， ， ，求平行四边形 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得 ，则可得 ， ，再
根据等腰三角形的性质可得 ，则可得 ，由此即可得证；
（2）先根据平行四边形的性质可得 ，再根据等腰三角形的三线合一可得 ，然后证出
，则可得 ，最后根据平行四边形的判定即可得证；
（3）先求出 ，再根据等腰三角形的三线合一可得 平分 ， ，
则可得 ，然后求出平行四边形 的面积为 ，利用三角形的面
积公式求解即可得．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的平分线．
（2）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ， ，由（1）已证： ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
（3）解：∵ ， ， ，
∴ ，
由（1）已证： ，
∵ ，
∴ 平分 ， ，
∴ （题（2）已证），
∴ ，
∴平行四边形 的面积为
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
33.（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知，四边形 中， ， ， ，求证：
．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理．
先根据对角线互相平分证明四边形 是平行四边形，得到 ，再结合 ，证明四边形
是平行四边形，从而得出 ．
【详解】证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
34.（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知，如图，在 中，延长 到点 ，延长 到点 ，使
得 ，连接 ，分别交 于点 ，连接 ．求证：四边形 是平行四边形．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质可得
， ， ， ，进而得到 ， ，再证明
得到 ，即得到 ，即可求证，掌握平行四边形的判定和性质是解
题的关键．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ， ，∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
35.（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在平行四边形 中，点G为 边的中点，点E 在
边上，且
，
(1)求证：E为 的中点；
(2)若点F 为线段 延长线上一点， ， 求证： ；
(3)在（2）的条件下， 交 于点 H， 若 ， ， ， 的长是 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明 ，即可得 ，即 为 的中点．
（2）延长 ， 相交于点 ，如图．由（1）知， ，证明四边形 为平行四边
形，得出 ，进一步证明 ．再证明 ，即可得出 ．
（3）过点 作 于点 ，如图．设 ，则 ， ．表示出
， ， ．在 中，勾股定理从而求出
．【详解】（1）证明：∵点 为 的中点，
∴ ，
四边形 为平行四边形，
， ．
又 ，
．
，
即 为 的中点．
（2）证明：延长 ， 相交于点 ，如图．
由（1）知， ，
又 ，
四边形 为平行四边形，
，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
，
．
（3）解：过点 作 于点 ，如图．设 ，则 ， ，
，
∴ ，
， ， ，
在 中， ，
，
解得 （舍去）或 ，
．
【点睛】该题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质
和判定，利用平方根的含义解方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线．
综合提升
1．（25-26八年级上·上海·月考）根据下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形 B．一组对边相等一组对角是直角的四边形
C．对角线相等的四边形 D．对角线互相平分的四边形
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的判定条件；根据初中数学教材，平行四边形的判定包括：一组对边平行且
相等、两组对边分别相等、对角线互相平分等；选项A和D是标准判定条件，能判定平行四边形；选项B
通过推导可知能判定；选项C对角线相等不能判定平行四边形，如等腰梯形.
【详解】解：A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
B. 一组对边相等且一组对角是直角的四边形：连接对角线，利用勾股定理可证另一组对边相等，从而判
定平行四边形；
C. 对角线相等的四边形不能判定平行四边形，如等腰梯形对角线相等但不是平行四边形；
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形；
故选：C.
2．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形 的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四
边形 是平行四边形的是（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】本题主要考查平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键；因此此题
可根据平行四边形的判定定理进行求解即可．
【详解】解：A、当 ， 时，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边
形 是平行四边形，故不符合题意；
B、当 ， 时，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 判定四边形
是平行四边形，故不符合题意；
C、当 ， 时，则有 ，所以
，所以 ，同理可得 ，所以根据“两组对边分别平行的四边形是平
行四边形” 判定四边形 是平行四边形，故不符合题意；
D、当 ， 时，无法判定四边形 是平行四边形，故符合题意；
故选D．
3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）下列命题：
①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
②对角线互相平分的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
其中正确的命题是 将命题的序号填上即可 ．
【答案】②③④
【分析】根据平行四边形的判定方法对各选项分别进行判断．
【详解】解：一组对边平行，且这组对边相等的四边形是平行四边形，所以 错误；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以 正确；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以 正确；
一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，所以 正确．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了命题、平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．4．（24-25八年级上·全国·课后作业）勾股定理的逆定理的具体内容是 ．
【答案】在一个三角形中，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
【分析】根据勾股定理的逆定理求解即可．
【详解】解：勾股定理的逆定理的内容为：在一个三角形中，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，
那么这个三角形是直角三角形．
故答案为：在一个三角形中，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理逆定理的定义．
5．（24-25八年级上·全国·课后作业）角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到 的点，
在这个角的平分线上．
【答案】角两边的距离相等
【分析】根据教材中对角平分线性质定理的逆定理的描述内容进行填空即可．
【详解】根据教材中知识可得：角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边的距离相等的点，在这
个角的平分线上．
故答案为角两边的距离相等
【点睛】此题考查了角平分线性质定理的逆定理，解题关键是熟记角平分线性质定理的逆定理．
6．（24-25八年级下·全国·课后作业）线段垂直平分线性质定理的逆定理是 ．
【答案】到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
【详解】试题分析：把原定理的条件和结论户换即可得到结果．
线段垂直平分线性质定理的逆定理是到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
考点：本题考查的是逆定理
点评：解答本题的关键是熟练掌握逆定理的定义：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它
是原定理的逆定理.
7．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知以 ， ， ， 四个点为顶点的四边
形是平行四边形，其中 ， ， ，则点 的坐标为 ．
【答案】 或 或
【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，平面直角坐标系点的特征，熟练掌握平行四边形的判定是
解题的关键．
利用平行四边形的判定作出图象求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，已知 ， ， ，可作图如下：∵四边形 是平行四边形，
当 ， ，
∴在 点的基础上向左和向右平移两个单位即可得到 和
∴ ； ；
当 时，点 向下平移1个单位向左平移1个单位可得到点 ，
∴在 点的基础上向下平移1个单位并向左平移1个单位可得到点 ；
故答案为： 或 或 ．
8．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图， 和 都是等边三角形，点D在 边上， 边上
有一点F，且 ，连接 、 ．
(1)求证： ；
(2)求证：四边形 是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质，平行线的
判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）根据等边三角形的性质，利用 即可证明 ；
（2）由全等三角形的性质和等边三角形的性质，结合 ，可推出 ， ，
即 为等边三角形，进而得到 ， ，推出 ，最后由对边相等且
平行即可判定四边形 为平行四边形．
【详解】（1）证明： 和 都是等边三角形，
， ， ，
，即 ，
；
（2）证明： ，
， ，
又 ，
是等边三角形，
，
，
为等边三角形．
，
是等边三角形，
，
，
，即 ，
， ，
，
四边形 是平行四边形．
9．（24-25八年级下·重庆黔江·期末）如图，在 ， 是 边上的中线， 是 的中点，过点
作 ，交 的延长线于点 ，连接 ．求证：(1) ；
(2)四边形 是平行四边形；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．
（1）证明 ， ，再进一步证明即可．
（2）证明 ，结合 ，进一步可得结论．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ．
（2）证明：由（1）知， ，则 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
10．（2020·辽宁沈阳·二模）如图，在矩形 中，点M、N分别在 和 上，点E、F在 上，且
．求证：四边形 是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质；根据题意证出 ，
得到 ， ，即可证出结论．
【详解】证明：∵四边形 是矩形，
∴ ．∴ ，
在 和 中, ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
11．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，四边形 中， 平行于 ，点 是 中点，连接
并延长交 的延长线于点 ．求证：四边形 是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定，通过证明 ，得到 即
可证明平行四边形．
【详解】证明： 平行于
点 是 中点
在三角形 和三角形 中，
， ，
四边形 是平行四边形．
12．（22-23八年级下·福建漳州·期末）如图，在 中， ， 为 边上一点（ ），
过点 ， 分别作射线 的垂线，垂足分别为点 ， ．点 在 的延长线上，且 ．(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)若 ， 的周长为24，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的判定可得 ， ，根据平行四边形的判定即可求证；
（2）根据全等三角形的判定和性质可得 ，根据平行四边形的性质可得 ，推得 ，
设 ，则 ，根据 的周长列式求得 ，根据勾股定理求解．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形．
（2）解：∵ ， ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ．设 ，则 ，
∴ ， ．
∵ 的周长为 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
解得： ， （不合题意，舍去）
∴ ．
【点睛】本题考查了平行线的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟
练掌握以上判定和性质是解题的关键．
13．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，在 中，点G，H分别是 的中点，点E，F在
对角线 上，且 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)连接 交 于点O，若 ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识
点，掌握平行四边形的性质是解题关键．
（1）根据平行四边形的性质易证 可得 ，进而推出 ，
即可证明结论；
（2）根据平行四边形的性质证明 是 的中位线，再根据中位线的性质即可解答．
【详解】（1）证明： ，
，
，点G，H分别是 的中点，
，
，
，
，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形．
（2）解：如图：连接 交 于点O，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
又 点G是 的中点，
是 的中位线，
．
的长为2.5．
50．
14．（2024九年级下·湖南·专题练习） 是等边三角形，点 是射线 上的一点（不与点 ， 重
合），连接 ，在 的左侧作等边三角形 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ．交 于点 ．
(1)如图1，当点 为 中点时，请直接写出线段 与 的数量关系；
(2)如图2．当点 在线段 的延长线上时，请判断（ ）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；
若不成立，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 仍然成立，见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质知识，解决
问题的关键是熟练掌握“手拉手”等模型．
（1）根据等边三角形的性质可得 ，即可解答；
（2）证明连接 、 ，证明 ，可得 ， ，
再证明四边形 是平行四边形，即可解答．
【详解】（1）解∶∵ 是等边三角形，点E是 的中点，
∴ ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图， 仍然成立，
证明如下∶连接 、 ，
∵ 和 是等边三角形，∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
由旋转的性质得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
