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18.1 平行四边形的性质（解析版）
平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD
记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
注意：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的
边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有
两条.
题型1：平行四边形的定义
1.如图，在 ABCD中，若EF∥AD，OH∥CD，EF与GH相交于点O，则图中的平
行四边形一共有（ ）
▱
A．4个 B．5个 C．8个 D．9个
【分析】根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AD∥EF，CD∥GH，
∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴平行四边形有： ABCD， ABHG， CDGH， BCFE， ADFE， AGOE，
BEOH， OFCH， OGDF共9个．
▱ ▱ ▱ ▱ ▱ ▱
即共有9个平行四边形，
▱ ▱ ▱故选：D
【变式1-1】如图，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则图中平行四边形一共有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形的中位线定理得出EF∥AB，DF∥BC，DE∥AC，根据有两组对
边分别平行的四边形是平行四边形推出即可．
【解答】解：有3个平行四边形，有平行四边形ADEF，平行四边形CFDE，平行四
边形BEFD，
理由是：∵D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，
∴EF∥AB，DF∥BC，
∴四边形BEFD是平行四边形，
同理四边形ADEF是平行四边形，四边形CFDE是平行四边形，
∴图中平行四边形一共有3个，
故选：C
【变式1-2】以A、B、C三点为平行四边形的三个顶点作形状不同的平行四边形，一共
可以作 0 个或 3 个 ．
【分析】连接AB、BC、CA，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的
边，可构成三个不同的平行四边形．
【解答】解：①当A、B、C三点共线时，以A、B、C三点为平行四边形的三个顶
点，不能作形状不同的平行四边形；
②已知三点为A、B、C，连接AB、BC、CA，
分别以AB、BC、CA为平行四边形的对角线，另外两边为边，
可构成的平行四边形有三个： ACBD， ACEB， ABCF．
综上所述，可以作0个或3个平行四边形．
▱ ▱ ▱
故答案为：0个或3个．平行四边形的性质（1）
1.边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2.角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
注意：
①平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；
角的性质可以证明两角相等或两角互补；
题型2：平行四边形的性质与角度计算
2如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝
128°，则∠A＝（ ）
A．32° B．42° C．52° D．62°
【分析】根据平行四边形的外角的度数求得其相邻的内角的度数，然后求得其对角的
度数即可．
【解答】解：∵∠DCE＝128°，
∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣128°＝52°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠DCB＝52°，
故选：C
【变式2-1】如图，在平行四边形 ABCD中，过点 C的直线CE⊥AB，垂足为 E，若
∠EAD＝50°，则∠BCE的度数为（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
【分析】由平行四边形的性质得出∠B＝∠EAD＝50°，由角的互余关系得出∠BCE＝
90°﹣∠B即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B＝∠EAD＝50°，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE＝90°﹣∠B＝40°；故选：C
【变式2-2】如图，平行四边形ABCD中，BD为对角线，∠C＝60°，BE平分∠ABC交
DC于点E，连接AE，若∠EAB＝38°，则∠DBE为 2 2 度．
【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：∵平行四边形ABCD中，∠C＝60°，
∴AD＝BC，∠ADE＝∠ABC＝120°，∠BAD＝60°，
∵∠EAB＝38°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠EAB＝22°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE＝BC，∠BEC＝60°，
∴BE＝AD，∠BED＝120°＝∠ADE，
在△BDE与△AED中，
，
∴△BDE≌△AED（SAS），
∴∠DBE＝∠EAD＝22°，
故答案为：22
题型3：平行四边形的性质与求线段
3.如图，在 ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝2，则
AB的长为（ ）
▱
A． B．2 C．2 D．2
【分析】利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出AE＝DE＝AB即可得出
答案．
【解答】解：∵CE平分∠BCD交AD边于点E，
∴∠ECD＝∠ECB，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DEC＝∠ECB，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∵AD＝2AB，
∴AD＝2CD，
∴AE＝DE＝AB＝2．
故选：C
【变式3-1】如图，在 ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则CD＝（ ）
▱
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】首先由在 ABCD中，AD＝8，BE＝3，求得CE的长，然后由 DE平分
∠ADC，证得△CED是等腰三角形，继而求得CD的长．
▱
【解答】解：在 ABCD中，AD＝8，
∴BC＝AD＝8，AD∥BC，
▱
∴CE＝BC﹣BE＝8﹣3＝5，∠ADE＝∠CED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CD＝CE＝5，
故选：B
【变式3-2】如图，在 ABCD中，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，AE＝2，AD
＝5，则CD的长为（ ）
▱
A．4 B．3 C．2 D．1.5
【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AD＝BC＝5，由CE平分∠BCD得
∠DCE＝∠BCE，由平行线的性质得∠DCE＝∠E，运用等量代换得∠E＝∠BCE，从
而得到△BCE为等腰三角形，计算出BE的长度，由AE＝2可求得AB的长度，继而得到CD的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC＝5，CD＝AB，
∴∠E＝∠ECD，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠ECD，
∴∠E＝∠BCE，
∴BE＝BC＝5，
∴AB＝BE﹣AE＝5﹣2＝3，
∴CD＝3．
故选：B
平行四边形的性质（2）
1.对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
2．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
注意：（1）对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联
系三角形三边的不等关系来解决.
（3）对角线性质的拓展∶
①两条对角线将平行四边形分为面积相等的四个三角形;
②过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长
线相交，得到线段总相等;
③过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.且与对
角线围成的三角形相对的两个全等.
题型4：平行四边形的性质与求周长
4.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝16，若△BCO的周长
为14，则AD的长为（ ）
▱
A．12 B．9 C．8 D．6
【分析】由平行四边形的性质可得AO＝CO＝ AC，BO＝DO＝ BD，由△BCO的
周长为14，可求BC＝AD＝6．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝ AC，BO＝DO＝ BD，∵AC+BD＝16，
∴BO+CO＝8，
∵△BCO的周长为14，
∴BC＝6＝AD，
故选：D
【变式4-1】在 ABCD中，若∠B＝60°，AB＝16，AC＝14，则 ABCD的周长是 5 2
或 4 4 ．
▱ ▱
【分析】过点A作AE⊥BC于E，利用勾股定理得出BE，AE，EC，进而根据平行四
边形的性质解答即可．
【解答】解：①当△ABC是锐角三角形时，如图所示，过点A作AE⊥BC于E，
∵∠B＝60°，AB＝16，
∴BE＝8，AE＝8 ，
由勾股定理得，EC＝ ，
∴BC＝BE+EC＝8+2＝10，
∴ ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（10+16）＝52，
②当△ABC是锐角三角形时，如图所示，过点A作AE⊥BC于E，
▱
由①可知，BE＝8，EC＝2，
∴BC＝BE﹣EC＝6，
∴ ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（16+6）＝44，
故答案为：52或44
▱
【变式4-2】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O任意作
直线分别交AB、CD于点E、F．
（1）求证：OE＝OF；（2）若CD＝7，AD＝5，OE＝2，求四边形AEFD的周长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出 AD∥BC，OA＝OC，求出∠EAO＝
∠FCO，根据ASA推出△AEO≌△CFO，从而结论；
（2）由△AOE≌△COF（ASA），可得EF＝2OE＝4，DF+AF＝AB＝6，继而求得答
案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，OA＝OC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE＝OF；
（2）解：∵△OAE≌△OCF，
∴CF＝AE，
∴DF+AE＝AB＝CD＝7，
又∵EF＝2OE＝4，
∴四边形AEFD的周长＝AD+DF+AE+EF＝7+4+5＝16
题型5：平行四边形的性质与面积
5.如图，在 ABCD中，BC＝13，过点A作AE⊥DC于E，AE＝12，CE＝10．
（1）求AB的长；
▱
（2）求 ABCD的面积．
▱
【分析】（1）根据平行四边形的性质和勾股定理得出DE，进而解答即可；
（2）根据平行四边形的面积公式解答即可．
【解答】解：（1）在 ABCD中，
AB＝CD，AD＝BC＝13，
▱在Rt△ADE中， ，
＝ ．
∴CD＝DE+CE＝5+10＝15．
∴AB＝15；
（2）S ＝CD×AE＝15×12＝180
ABCD
【变式▱5-1】如图，在 ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点
F，连接BF、AC．
▱
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）若AD＝AF，AB＝3，BC＝5，求四边形ABFC的面积．
【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB∥DF，从而证得∠ABC＝∠BCF，利用
ASA可证明结论；
（2）由△ABE≌△FCE得到AE＝FE，利用对角线相等可证得四边形ABFC为平行四
边形，得到AB＝FC＝CD，利用等腰三角形三线合一证得AC⊥DF，从而得到四边形
ABFC是矩形，再利用勾股定理求出AC的长度，即可求出四边形ABFC的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠ABC＝∠BCF，
∵E为BC中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE．
（2）解：∵△ABE≌△FCE，
∴AE＝FE，
∵BE＝FC，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∴AB＝CF＝CD，∵AD＝AF，
∴AC⊥FD，
∴四边形ABFC是矩形，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝3，BC＝5，
根据勾股定理得
AC＝ ＝ ＝4，
∴矩形ABFC的面积为AB•AC＝3×4＝12
【变式5-2】如图， ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，BC＝5，P是对角线AC上任一点
（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部
▱
分的面积为（ ）
A．5 B．5 C．10 D．10
【分析】利用 的性质及判定定理可判断四边形AEPF为 ，EF、AP为 AEPF的对
角线，设交点为O，则EF、AP相互平分，从而证得△POF≌△AOE，则阴影部分的
▱ ▱ ▱
面积等于△ABC的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC
∵PE∥BC，
∴PE∥AD
∵PF∥CD，
∴PF∥AB，
∴四边形AEPF为 ．
设 AEPF的对角线AP、EF相交于O，则AO＝PO，EO＝FO，∠AOE＝∠POF
▱
∴△POF≌△AOE（SAS），
▱
∴图中阴影部分的面积等于△ABC的面积，
过A作AM⊥BC交BC于M，
∵∠B＝60°，AB＝4，∴AM＝2 ，
S△ABC ＝ ×5×2 ＝5 ，即阴影部分的面积等于5 ．
故选：B
题型6：平行四边形的性质与三边关系
6.如图，平行四边形ABCD和平行四边形EAFC的顶点D、E、F、B在同一条直线
上，则下列关系正确的是（ ）
A．DE＞BF B．DE＝BF C．DE＜BF D．DE＝FE＝BF
【分析】本题要求的是DE与BF之间的关系，它们分别是在△ECD与△FAB中的两
边，只要证明两个三角形全等即可．
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD
∴∠CDE＝∠ABF
∵在平行四边形EAFC中，EC∥AF
∴∠AFE＝∠CEF
∴∠AFB＝∠CED
∴△ECD≌△FAB（AAS）
所以DE＝BF．
故选：B
【变式6-1】如图，AB＝CD＝DE，CE是由AB平移所得，则AC+BD与AB的大小关系
是（ ）
A．AC+BD＜AB B．AC+BD＝AB C．AC+BD＞AB D．无法确定
【分析】由平移的性质可得AB∥CE，AB＝CE，可证四边形ABEC是平行四边形，可
得AC＝BE，AB＝CE，由三角形的三边关系可求解．
【解答】解：∵CE是由AB平移所得
∴AB∥CE，AB＝CE
∴四边形ABEC是平行四边形
∴AC＝BE，AB＝CE，∴AB＝CD＝DE＝CE，
在△DBE中，DB+BE＞DE，
∴DB+AC＞AB，
故选：C
【变式6-2】已知：如图，在 ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．猜
测DE和BF的位置关系和数量关系，并加以证明．
▱
【分析】由平行四边形的性质可得 AD＝BC，AD∥BC，由“SAS”可证
△ADE≌△CBF，即可得结论．
【解答】解：DE∥BF DE＝BF
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AD∥BC
∴∠DAC＝∠ACB，且AE＝CF，AD＝BC
∴△ADE≌△CBF（SAS）
∴DE＝BF，∠AED＝∠BFC
∴∠DEC＝∠AFB
∴DE∥BF
题型7：平行四边形的性质与角平分线
7.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC
的延长线于点F．连接BE，若BE⊥AF，EF＝2， ，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．4
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的性质可证AB＝BF，在Rt△BEF中，由勾
股定理可求BF，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，∴∠F＝∠BAE，
∴AB＝BF，
∵BE⊥AF，EF＝2， ，
∴BF＝ ＝ ＝4，
∴AB＝BF＝4，
故选：D
【变式7-1】如图，在 ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交
AD于点E、F，若BE＝6，则CF＝ 8 ．
▱
【分析】过点A作AM∥FC，交BE与点O，由平行线的性质和角平分线的性质可证
∠BHC＝90°，由平行线的性质可求∠AOE＝∠BHC＝90°，由平行线的性质和角平分
线的性质可证 AE＝AB＝5，由勾股定理可求 AO 的长，由“ASA”可证
△ABO≌△MBO，可得AO＝OM＝4，通过证明四边形AMCF是平行四边形，可得
CF＝AM＝8．
【解答】解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB+180°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∵AM∥CF，
∴∠AOE＝∠BHC＝90°，
∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴AB＝AE＝5，
又∵∠AOE＝90°，
∴BO＝OE＝3，
∴AO＝ ＝ ＝4，
在△ABO和△MBO中，
，
∴△ABO≌△MBO（ASA），
∴AO＝OM＝4，
∴AM＝8，
∵AD∥BC，AM∥CF，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴CF＝AM＝8，
故答案为：8
【变式7-2】如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交
BC的延长线于点E．求证：CD＝BE．
【分析】直接利用平行四边形的性质结合角平分线的定义、等腰三角形的性质得出
AB＝BE，进而得出答案．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB．
∴BE＝AB，
∴BE＝CD
题型8：平行四边形的性质与垂直平分线
8.在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，连接CE．若平行四边形ABCD的周长为30cm，则△CDE的周长为（ ）
A．20cm B．40cm C．15cm D．10cm
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝CE，又AB+BC＝AD+CD＝15cm，
继而可得△CDE的周长等于AD+CD．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵平行四边形ABCD的周长为30cm，
∴AD+CD＝15（cm），
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝15（cm）．
故选：C
【变式 8-1】如图，在 ABCD 中，D 在 AB 的垂直平分线上，且 ABCD 的周长为
42cm，△BCD的周长 ▱ 比 ABCD的周长少12cm，则AB＝ 12 ▱cm，S ABCD ＝ 3 6
cm2． ▱ ▱
【分析】根据垂直平分线的性质可知，AD＝DB，由于△ABD的周长比 ABCD的周
长少10cm，所以可求出BD＝9cm，再根据周长的值求出AB，根据勾股定理求出高
▱
DE，即可求出答案．
【解答】解：∵AB的垂直平分线EF经过点D，
∴DA＝DB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DA＝CB，∵△ABD的周长比 ABCD的周长少10cm
∴BD＝9cm，
▱
∴ADBC＝BD＝9cm，
∵ ABCD的周长为42cm，
▱
∴AB＝DC＝ ×42cm﹣9cm＝12cm，
在△ADB中，AD＝BD＝9cm，AB＝12cm，
∵DE垂直平分AB，
∴∠AED＝90°，AE＝BE＝6cm，由勾股定理得：DE＝ ＝3 （cm），
∴S平行四边形ABCD ＝AB×DE＝12cm×3 cm＝36 cm2，
故答案为：12，36 ．
【变式8-2】如图，在平行四边形ABCD中，AC的垂直平分线分别交CD，AB于点F和
E，AB＝4，BC＝ ，AC＝3 ，求EF的长．
【分析】过C作CG∥FE交AB的延长线于G、作CH⊥BG交BG于H．构建直角
△AHC、直角△BCH，相似三角形△ACH∽△AGC，以及平行四边形EFCG．利用勾
股定理和相似三角形的对应边成比例可以求得CG的长度，则平行四边形EFCG的对
边相等：EF＝CG．
【解答】解：如图，过C作CG∥FE交AB的延长线于G、作CH⊥BG交BG于H．
由勾股定理得到：CH2＝AC2﹣（AB+BH）2＝BC2﹣BH2，
∵AB＝4，BC＝ ，AC＝3 ，
∴（3 ）2﹣（4+BH）2＝（ ）2﹣BH2，
解得∴BH＝1．
∴AH＝AB+BH＝4+1＝5．
∴CH＝ ＝ ．
∵CG∥FE、AC⊥FE，
∴CG⊥AC．
∵∠CAH＝∠GAC，∠AHC＝∠ACG＝90°，
∴△ACH∽△AGC，
∴CH：CG＝AH：AC，
∴CG＝ ＝ ．∵四边形ABCD平行四边形，
∴FC∥EG．
又CG∥FE，
∴四边形EFCG是平行四边形，
∴EF＝CG＝ ．
题型9：平行四边形的性质与最值
9.如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，DC＝2，AD＝4，AB＝6，点M是
线段AD上任意一点，连接MC并延长到点E，使MC＝CE，以MB和ME为边作平行
四边形MBNE，请直接写出线段MN长度的最小值．
【分析】作辅助线，构建相似三角形，先根据平行线分线段成比例定理得：
＝ ，G是BC上一定点，得出
当MN⊥AD时，MN的长最小，计算AH的长就是MN的最小值．
【解答】解：当MN⊥AD时，MN的长最小，
∴MN∥DC∥AB，
∴∠DCM＝∠CAN＝∠MNB＝∠NBH，
设MN与BC相交于点G，
∵ME∥BN，MC＝CE，
∴ ＝ ，
∴G是BC上一定点，
作NH⊥AB，交AB的延长线于H，
∵∠D＝∠H＝90°，
∴Rt△MDC∽Rt△NHB，即 ＝ ，
∴BH＝2DC＝4，
∴AH＝AB+BH＝6+4＝10，
∴当MN⊥AD时，MN的长最小，即为10；
则线段MN长度的最小值为10．
【变式9-1】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＞AB，点D在BC上，以AC
为对角线的所有平行四边形ADCE中，求DE的最小值．
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段
取最小值．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD＝OE，OA＝OC，
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝ AB＝2，
∴ED＝2OD＝4；
则DE的最小值是4．【变式9-2】在平面直角坐标系中，已知平行四边形 ABCD的点A（0，﹣1）、点B
（m，m+1）（m≠﹣1），点C（4，1），则对角线BD的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．5 D．6
【分析】先根据B（m，m+1），可知B在直线y＝x+1上，设AC，BD的交点为M，
则M（2，0），BD＝2BM，所以当BM最小时，BD最小，根据垂线段最短，得到当
BM⊥直线y＝x+1时，BM最小，此时BD亦最小，如图2，可以证得△BEM为等腰直
角三角形，从而利用勾股定理，求得此时BM的值，即可解决．
【解答】解：∵点B（m，m+1），
∴令 ，
∴y＝x+1，
∴B在直线y＝x+1上，
设AC，BD交于点M，如图1，
∴M是AC和BD的中点，
∴M（2，0），BD＝2BM，
∴当BM最小时，BD最小，
过M作MH⊥直线y＝x+1于H，
根据垂线段最短，
BM≥MH，
所以BM的最小值为MH，
即当BM⊥直线y＝x+1时，BM最小，则BD最小，
设直线y＝x+1与x轴，y轴交于点E，F，如图2，
令x＝0，则y＝1，
∴F（0，1），
同理，E（﹣1，0），
∴OE＝OF＝1，
∴∠BEM＝45°，
又∠MBE＝90°，∴∠BEM＝∠BME＝45°，
∴△BME为等腰直角三角形，
∵E（﹣1，0），M（2，0），
∴ME＝3，
∵BE2+BM2＝ME2，且BM＝BE，
∴BM＝ ，
∴ ，
即对角线BD的最小值为3 ，
故选：A．
题型10：平行四边形的性质与折叠问题
10.如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则
∠B为（ ）
▱A．66° B．104° C．114° D．124°
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD＝∠BAC＝∠B′AC，由三角
形的外角性质求出∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝ ∠1＝22°，再由三角形内角和定理
求出∠B即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝ ∠1＝22°，
∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°；
故选：C
【变式10-1】如图，在 ABCD中，∠A＝70°，将 ABCD折叠，使点D、C分别落在点
F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于（ ）
▱ ▱
A．70° B．40° C．30° D．20°
【分析】根据折叠的性质得出AM＝MD＝MF，得出∠MFA＝∠A＝70°，再由三角形
内角和定理即可求出∠AMF．
【解答】解：根据题意得：AM＝MD＝MF，
∴∠MFA＝∠A＝70°，
∴∠AMF＝180°﹣70°﹣70°＝40°；
故选：B
【变式10-2】如图，把平行四边形 ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在
D ，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D AD＝ 55 ° ．
1 1【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠D AE＝∠BAD，得出∠D AD＝
1 1
∠BAE＝55°即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠C，
由折叠的性质得：∠D AE＝∠C，
1
∴∠D AE＝∠BAD，
1
∴∠D AD＝∠BAE＝55°；
1
故答案为：55°．
题型11：平行四边形的性质与证明题
11.如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC的三等分点，连接BE，
DF．证明：BE＝DF．
【分析】根据平行四边形的性质得出 AB＝CD，AB∥CD，进而利用全等三角形的判
定和性质解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵E，F是对角线AC的三等分点，
∴AE＝CF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF．
【变式11-1】如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1＝
∠2．
（1）求证：BE＝DF；（2）线段AF与CE有什么关系？请证明你的结论．
【分析】（1）利用平行四边形的性质得出∠5＝∠3，∠AEB＝∠4，进而利用全等三
角形的判定得出即可；
（2）利用全等三角形的性质得出AE＝CF，进而得出四边形AECF是平行四边形，即
可得出答案．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠5＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠AEB＝∠4，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF；
（2）AE＝CF且AF∥CE，理由如下：
由（1）得△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∵∠1＝∠2，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
【变式11-2】如图，在 ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、
F，AE、BF相交于点M．
▱
（1）求证：AE⊥BF；
（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以证明．【分析】（1）只要证明∠MAB+∠MBA＝90°即可；
（2）结论：DF＝CE．只要证明AD＝DE，CF＝BC，可得DE＝CF即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠EAB＝ ∠DAB，∠ABF＝ ∠ABC，
∵四边形ABCD是平行四边形∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴∠EAB+∠ABF＝ ×180°＝90°，
∴AE⊥BF．
（2）DF＝CE．
证明：∵AE平分∠DAB∴∠EAB＝∠EAD，
∵DC∥AB，
∴∠EAD＝∠EAD，
∴AD＝DE，
同理：FC＝BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴DE＝FC，
∴DF＝CE
两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条
平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
（2）平行线间的距离处处相等
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长
度.
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
题型12：平行线的距离
12.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC＝21cm，BE⊥AC，垂足为E，且BE＝
5cm，AD＝7cm，求AD和BC之间的距离．【分析】利用等积法，设AD与BC之间的距离为x，由条件可知 ABCD的面积是
△ABC的面积的2倍，可求得 ABCD的面积，再由S四边形ABCD ＝AD▱ •x，可求得x．
【解答】解：设AD和BC之间的距离为x，
▱
则平行四边形ABCD的面积等于AD•x，
∵S平行四边行ABCD ＝2S△ABC ＝2× AC•BE＝AC•BE，
∴AD•x＝AC•BE，
即：7x＝21×5，
x＝15（cm），
答：AD和BC之间的距离为15cm．
【变式12-1】如图，在 ABCD中，AC⊥AB，AB＝6，BC＝10，求：（1）AB与CD的
距离；（2）AD与BC的距离．
▱
【分析】（1）在直角三角形中，由勾股定理解直角三角形，再利用三角形的面积公
式求解即可；
（2）由面积相等建立等式关系，进而可求解其距离．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝ ＝ ＝
8，
∴AB与CD的距离＝AC＝8；
（2）∵在Rt△ABC中，AC＝8，
∴AD、BC之间的距离为6×8÷10＝4.8
【变式12-2】如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
▱
（2）若∠B＝60°，AB＝2，求AD与BC之间的距离．
【分析】（1）根据平行四边形的对边相等可得AB＝CD，对角相等可得∠B＝∠D，
然后利用“角角边”证明△ABE和△CDF即可；
（2）利用∠B的正弦值求出AE，再根据平行线间的距离的定义解答．
【解答】（1）证明：在 ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D，
▱∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中， ，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）解：∵∠B＝60°，AB＝2，
∴AE＝AB•sin60°＝2× ＝ ，
∵ ABCD的边AD∥BC，
∴AD▱与BC之间的距离为
