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第 18 章 平行四边形 章节复习卷（15 个知识点+50
题练习）
知识点
知识点1．平行线之间的距离
（1）平行线之间的距离
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
（2）平行线间的距离处处相等．
知识点2．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于
斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条
边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
知识点3．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝ BC．
知识点4．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
知识点5．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边
行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边
行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行
ABCD是平行四边形．
知识点6．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平
行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考
虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边
形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的
定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行
四边形的性质和判定去解决问题．
知识点7．菱形的性质
（1）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ ab．（a、b是两条对角线的长度）
知识点8．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
知识点9．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改
变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线
相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，
首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因
而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不
只是正方形．
知识点10．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有 2条对称轴，分别是每组对边中点连
线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半．
知识点11．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四
边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
知识点12．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四
边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行
四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等
有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝
∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
知识点13．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图
形，有四条对称轴．
知识点14．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
知识点15．正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
练习卷
一．平行线之间的距离（共3小题）
1．（2023春•思明区校级期中）如图，一把带有 角的三角尺放在两条平行线间，已知
量得平行线间的距离为 ，三角尺最短边和平行线成 角，则三角尺斜边的长度为
A． B． C． D．
【分析】过 作 于 ，依据 ， ，可得 ，再根据 中， ，可得 ．
【解答】解：如图，过 作 于 ，
， ，
，
又 中， ，
，
故选： ．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形．
2．（2021春•环江县期中）如图，直线 ， 和 的夹角 ， ．
求 和 之间的距离．
【分析】过点 作 于点 ，证明 ，所以 ，在 中，
，即可解答．
【解答】解：如图，过点 作 于点 ，直线 ， ，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，
两平行线 和 之间的距离为 ．
【点评】本题考查了两平行线之间的距离，解决本题的关键是作辅助线，构建等腰直角三
角形．
3．（2023春•宜都市期末）在同一平面内，已知直线 ，若直线 和 之间的距离
为5，直线 和 之间的距离为2，则直线 和 之间的距离为 3 或 7 ．
【分析】（1）当直线 在直线 与 之间时；（2）当直线 在直线 与 外面时两种情况
讨论直线 与直线 之间的距离．
【解答】解： 直线 ，直线 与直线 之间的距离为5，直线 与直线 之间的距
离为2，
当直线 在直线 与 之间时，则直线 与直线 之间的距离为 ；
当直线 在直线 与 外面时，则直线 与直线 之间的距离为 ．
故答案为：3或7．
【点评】本题考查了平行线之间的距离，属于基础题，关键是掌握分类讨论的思想解题．
二．直角三角形斜边上的中线（共3小题）
4．（2022•新华区校级期末）如图，一架梯子 斜靠在竖直墙上，点 为梯子 的中点，当梯子底端向左水平滑动到 位置时，滑动过程中 的变化规律是
A．变小 B．不变 C．变大 D．先变小再变大
【分析】不变，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【解答】解： ， 为 的中点，
．
同理 ．
．
的长度不变．
故选： ．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于
斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）．
5．（2024•泉州模拟）在 中， ， ，点 为 的中点，则 的
长为 2 ．
【分析】在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，由此即可得到答案．
【解答】解： ，点 为 的中点，
，
，
．
故答案为：2．
【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边的中线的性质．
6．（2023春•麻章区期末）在 中， ， 是 的中点．
求证： ．【分析】先证四边形 是平行四边形，再证平行四边形 是矩形，再利用矩形的
对角线相等解答即可．
【解答】证明：延长 到 ，使 ，连续 ， ，
在四边形 中，
， ，
四边形 是平行四边形，
平行四边形 是矩形．
，
，
．
【点评】本题主要考查了直角三角形斜边的中线，通过构造矩形得到对角线相等，得出
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．
三．三角形中位线定理（共3小题）
7．（2023春•相城区校级月考）如图， 中， ， 分别是 ， 的中点， 是
延长线上的一点，且 ，若 ， ，则 的长为 1 6 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 ，根据三角形中位线定理求得 ，则 ．
【解答】解：在直角 中， 是斜边 上的中线， ，则 ．
在 中， 是中位线， ，则 ．
则 ．
故答案为：16．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的三边关系，掌握三角形的中位线平行
于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
8．（2024•榆阳区校级一模）如图，在 中， ， 是 边上的高，垂
足为 ，点 在边 上，连接 ， 为 的中点，连接 ，若 ，则 的长
为
A．3 B．6 C．5 D．4
【分析】根据等腰三角形的“三线合一”得到 ，根据三角形中位线定理计算得到
答案．
【解答】解： ，
．
， ，
，
，
是 的中位线，
．
．
．
．
故选： ．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第
三边的一半是解题的关键．
9．（2023春•桥西区期末）【三角形中位线定理】
已知：在 中，点 ， 分别是边 ， 的中点．直接写出 和 的关系；
【应用】
如图，在四边形 中，点 ， 分别是边 ， 的中点，若 ， ，
， ，求 的度数；
【拓展】
如图，在四边形 中， 与 相交于点 ，点 ， 分别为 ， 的中点，
分别交 ， 于点 ， ， ．
求证： ．
【分析】【三角形中位线定理】根据三角形中位线定理即可得到结论；
【应用】连接 ，根据三角形中位线定理得到 ， ，根据勾股定理
的逆定理得到 ，计算即可；
【拓展】取 的中点 ，连接 、 ，则 、 分别是 、 的中位
线，由中位线的性质定理可得 且 ， 且 ，根据等腰三角形的性质即可得结论．
【解答】解：【三角形中位线定理】 ， ；
理由： 点 ， 分别是边 ， 的中点，
是 的中位线，
， ；
【应用】连接 ，如图所示，
、 分别是边 、 的中点，
， ，
，
， ，
， ，
，
，
；
【拓展】证明：取 的中点 ，连接 、 ．
、 分别是 、 的中点，
是 的中位线，
且 （三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），
同理可得 且 ．，
，
， ，
， ，
，
，
．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中
位线的性质是解题的关键．
四．平行四边形的性质（共4小题）
10．（2023春•如东县月考）已知平行四边形 的周长为56， ，则
A．4 B．12 C．27 D．283
【分析】根据平行四边形的性质对边相等结合周长即可得到答案．
【解答】解： 平行四边形 的周长为56，
，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查平行四边形性质，关键是掌握平行四边形，对边平行且相等．
11．（2023春•海淀区校级月考）如图， 的对角线 、 交于点 ，
的周长为30，直线 过点 ，且与 ， 分别交于点 ． ，若 ，则四边形
的周长是
A．30 B．25 C．20 D．15
【分析】由平行四边形的性质得 ， ， ， ，所以， 而 ， 即 可 证 明 ， 得 ，
，则 ， ，由 ，得 ，
则 ，于是得到问题的答案．
【解答】解： 四边形 是平行四边形，对角线 、 交于点 ，
， ， ， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
的周长为30，
，
，
，
四边形 的周长是25，
故选： ．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明
是解题的关键．
12．（2024•青山湖区模拟）在 中， ， ， ，点 为平行四
边形 边上的动点，且满足 是直角三角形，则 的长度是 3 或 或
．
【分析】由平行四边形的性质得 ， ， ， ，所
以 ，再分三种情况讨论，一是点 与点 重合，取 的中点 ，连接 ，
则 是等边三角形，可证明 ，此时 ；二是点 为 的中点，可 证 明 是 等 边 三 角 形 ， 求 得 ， ； 三 是
，则 ，所以 ，由 ，求得
，则 ，于是得到问题的答案．
【解答】解： 四边形 是平行四边形， ， ， ，
， ， ， ，
，
如图1，点 与点 重合，取 的中点 ，连接 ，则 ，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
即 是直角三角形，此时 ；
如图2，点 是 的中点，则 ，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
是直角三角形， ；
如图3， 是直角三角形，且 ，则 ，
，，
，
，
，
综上所述， 的长是3或 或 ，
故答案为：3或 或 ．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、数形结
合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，证明 是解题的关键．
13．（2023春•长顺县期末）如图，在平行四边形 中，对角线 、 相交于点 ，
．
（1）求证： ；
（2）若点 、 分别为线段 、 的中点，连接 ， ， ，求 的长及四边形 的面积．
【分析】（1）由四边形 是平行四边形， ，证明四边形 是矩形，
可推导出 ，所以 ．
（2）点 、 分别为线段 、 的中点，根据三角形的中位线定理得 ，而
， ，所以 ，则 ，由勾股定理
得 ，则 ．
【解答】（1）证明： 四边形 是平行四边形， ，
四边形 是矩形，
， ，且 ，
，
．
（2）解： 点 、 分别为线段 、 的中点，
，
，
，
，
，
，
，
的长为6，四边形 的面积是48．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、矩形的面积公式等知识，证明四边形 是矩形是解题的关键．
五．平行四边形的判定（共4小题）
14．（2023春•播州区期中）在四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，下列条件
不能判定这个四边形是平行四边形的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可．
【解答】解： 、错误．当 ， 时，四边形 可能是等腰梯形可能
是平行四边形，故错误．
、正确．因为两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
、正确．因为对角线互相平分的四边形是平行四边形．
、正确．因为两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
故选： ．
【点评】本题考查平行四边形的判断，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键，属
于基础题，中考常考题型．
15．（2023春•大同期末）如图，点 ， ， 的坐标分别是 ， ， ，在第
三象限内有一点 使四边形 为平行四边形，那么点 的坐标是 ．
【分析】根据平行四边形的性质得到 ， ，据此即可得到答案．
【解答】解： ， ，
，四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，熟知平行四边形对边平行且相
等是解题的关键．
16．（2023春•商城县期末）在四边形 中， ，再从下列四个条件中：①
；② ；③ ；④ 任选一个，能使四边形 为平行
四边形的条件的序号是 ① 或 ③ ．
【分析】由平行四边形的判定分别对各个条件进行判断即可．
【解答】解：① ， ，
四边形 是平行四边形，故①符合题意；
②由 ， ，不能得出四边形 是平行四边形，故②不符合题意；
③ ，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，故③符合题意；
④由 ， ，不能得出四边形 是平行四边形，故④不符合题意；
故答案为：①或③．
【点评】本题考查平行四边形的判定以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边
形的判定是解题的关键．
17．（2023春•竞秀区期末）如图，四边形 的对角线 ， 交于点 ，已知 是
的中点， ， ．
（1）求证： ．
（2）求证：四边形 是平行四边形．【分析】（1）由点 是 中点，得出 ，因为 ，则 ，因为
，则 ，
利用 证明 和 全等即可，
（2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．
【解答】（1）证明： 点 是 中点，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
（2）证明： ， ，
四边形 是平行四边形．
【点评】此题是平行四边形的判定，主要考查了线段的中点，平行线的性质，全等三角形
的判定和性质，解本题的关键是判断 ．
六．平行四边形的判定与性质（共4小题）
18．（2023春•越秀区校级月考）四边形 的两条对角线相交于点 ， ，且
， ，则四边形 的面积为 2 0 ．【分析】先证明四边形 是平行四边形，得出对角线互相平分，然后得出四个小三角
形的面积相等，即可求出四边形 的面积．
【解答】解： ，且 ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
四边形 的面积 ；
故答案为：20．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质；证明四边形 是平行四边形得出四个
三角形面积相等是解决问题的关键．
19．（2023•贵阳模拟）如图，将两条宽度相同的纸条重叠在一起，使 ，则
等于
A． B． C． D．
【分析】由题意可知 ， ，则四边形 是平行四边形，再由平行四
边形性质即可得出结论．
【解答】解：由题意可知， ， ，
四边形 是平行四边形，
，
故选： ．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，证明四边形 为平行四边形是解题的
关键．
20．（2024•和平区模拟）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直
角三角形围成，即 ，其中四边形 是正方形，四边形 是正方形，如图2，将图1中的线段 和线段 分别延长到点 和点 ，
使 ， ，连接 ， ， ， ，得到四边形 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ，求四边形 的面积．
【 分 析 】 （ 1 ） 由 全 等 三 角 形 的 性 质 得 ，
， ，因为 ， ，所以 ，
可 推 导 出 ， ， 进 而 证 明 及 ， 则
， ，所以四边形 是平行四边形；
（ 2 ） 由 ， ， 得 ， ， 则
， ，求得 ， ，
，则 ．
【解答】（1）证明： ，
， ， ，
， ，
，
， ，
， ，
在 和 中，
，，
；
在 和 中，
，
，
，
四边形 是平行四边形．
（2）解： ， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
四边形 是正方形，
，
，
四边形 的面积是86．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、根据转化思想求图
形的面积等知识与方法，证明 及 是解题的关键．
21．（2023春•泉港区期中）在 中， ， 是斜边 上的一点，作
，垂足为 ，延长 到 ，连结 ，使 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形．
（2）连接 ，若 平分 ， ， ，求四边形 的面积．【分析】（1）由 ， ，推出 ，得出 ，再证
，则 ，即可得出结论；
（2）先由 证得 ，得出 ，由平行四边形的性质得
， ，设 ，则 ，再由勾股定理求出
， ，即可得出结果．
【解答】（1）证明： ，
，
，延长 到 ，
，
，
，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形；
（2）解： 平分 ，
，
在 和 中，
，
，
，
由（1）得：四边形 是平行四边形，， ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
解得： ，
，
．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定
与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
七．菱形的性质（共3小题）
22．（2023春•上杭县期中）在平面直角坐标系中，四边形 是菱形．若点 的坐标
是 ，点 的坐标是 ．
【分析】过 、 作 轴， 轴，根据菱形的性质可得 ，
再证明 ，可得 ，然后可得 点坐标．
【解答】解：过 、 作 轴， 轴，
点 的坐标是 ，
，
四边形 是菱形，
， ，，
轴， 轴，
，
在 和 中 ，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握菱形四
边相等．
23．（2024•正阳县一模）在菱形 中，对角线 与 交于点 ，则
的值可以是
A． B． C． D．
【分析】根据菱形的性质，判断 、 、 能构成直角三角形，由勾股定理的逆定理
只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：菱形 中，对角线 与 交于点 ，
由 与 垂直， 、 、 能构成直角三角形，
、 ，则 、 、 不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；、 ，则 、 、 不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
、 ，则 、 、 不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
、 ，则 、 、 能构成直角三角形，故该选项符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角
形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
24．（2023春•番禺区期末）如图，菱形 的对角线 、 相交于点 ，过点 作
，且
，连接 交 于点 ，连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）若菱形 的边长为4， ，求 ．
【分析】（1）由菱形 中， 且 ，易证得四边形 是平行四
边形，继而可得 即可；
（2）由菱形的对角线互相垂直，可证得四边形 是矩形，根据菱形的性质得出
，再根据勾股定理得出 的长度即可，理由等边三角形的性质求出 ，可得
结论．
【解答】（1）证明：四边形 是菱形，
， ，
且 ，
，
四边形 、四边形 都是平行四边形，，
；
（2）解：连接 ．
，
四边形 是矩形，
，
在菱形 中， ，
，
，
，
在矩形 中， ．
在 中， ．
，
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用．注意证得四边形
是平行四边形，四边形 是矩形是关键．
八．菱形的判定（共4小题）
25．（2023春•岳阳县期末）小惠自编一题：“如图，在四边形 中，对角线 ，
交于点 ， ， ．求证：四边形 是菱形，并将自己的证明过程
与同学小洁交流．
小惠：证明： ， ，小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一
个条件才能证明．
垂 直 平 分 ， ，
， 四边形 是菱形．若赞同小惠的证法，请在第一个方框内的 中打“ ”；若赞成小洁的说法，请你
补充一个条件，并证明．
（1）你补充的条件是： ．
（2）证明：
【分析】根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行分析推理．
【解答】解：（1）赞成小洁的说法，补充条件： ；
（2）证明： ， ，
四边形 是平行四边形，
又 ，
平行四边形 是菱形．
【点评】本题考查菱形的判定，掌握平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形
是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）一组对边平行且相等的
四边形是平行四边形（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形以及菱形的判定方法：
（1）四条边相等的四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）一组
邻边相等的平行四边形是菱形，是解题关键．
26．（2023春•儋州期末）如果一个四边的对角线互相平分、互相垂直，则这个四边形是
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．无法判定
【分析】先证这个四边形是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论．
【解答】解： 一个的对角线互相平分，
这个四边形是平行四边形，
又 对角线互相垂直，
这个平行四边形是菱形，
故选： ．
【点评】本题考查了菱形的判定以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判
定是解题的关键．27．（2023春•绥江县期中）在平面直角坐标系中，已知 、 ，点 在第一象
限，且 ，若存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，则点
的坐标为 ， 或 ， 或 ．
【分析】分三种情况讨论，由菱形的性质和勾股定理可求解．
【解答】解： ， ，
，
点 在第一象限，且 ，
，
是等边三角形，
过点 作 于点 ，
，
，
， ，
当 为菱形的对角线时，如图，
四边形 为菱形，
， ，
，
， ，
当 为菱形的对角线时，
与 关于 轴对称，
， ，
当 为菱形的对角线时，
与 关于 轴对称，
，
综上所述：点 的坐标为 ， 或 ， 或 ．故答案为： ， 或 ， 或 ．
【点评】本题考查了菱形的判定，坐标与图形性质，含 30度角的直角三角形，利用分类讨
论思想解决问题是解题的关键．
28．（2023•南海区校级模拟）如图，在 中， ，过点 的直线
， 为 边上一点，过点 作 ，交直线 于 ，垂足为 ，连接
、 ．
（1）求证： ；
（2）当 在 中点时，四边形 是什么特殊四边形？说明你的理由．
【分析】（1）先求出四边形 是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形 是平行四边形，求出 ，根据菱形的判定推出即可．
【解答】（1）证明： ，
，
，
，
，
，即 ，
四边形 是平行四边形，
；
（2）解：四边形 是菱形，理由如下：
为 中点，
，
，，
，
四边形 是平行四边形，
， 为 中点，
，
四边形 是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，
主要考查学生运用定理进行推理的能力．
九．菱形的判定与性质（共3小题）
29．（2023春•顺义区校级期中）下列关于菱形的描述不正确的是
A．菱形是特殊的四边形
B．菱形是特殊的平行四边形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．有一个角是直角的平行四边形是菱形
【分析】根据菱形的性质与判定进行一一判断，即可求解．
【解答】解： 、菱形是特殊的四边形，此选项正确，不符合题意；
、菱形是特殊的平行四边形，此选项正确，不符合题意；
、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，此选项正确，不符合题意；
、有一个角是直角的平行四边形是矩形，此选项错误，符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查菱形的性质与判定，解题的关键是能够熟练掌握菱形的性质．
30．（2023春•湘桥区期末）如图，在四边形 中， ， ，对角线
， 交于点 ， 平分 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接
．若 ， ，则 的长为 2 ．
【分析】先判断出 ，再证出四边形 是菱形，得 ，然后求出 ，利用勾股定理求出 ，即可得出结论．
【解答】解： ，
，
为 的平分线，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
是菱形；
， ，
，
，
，
，
在 中， ， ，
，
，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的
判定，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
31．（2023春•海淀区期末）如图，在 中， ，点 ， ， 分别为 ，
， 的中点．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求四边形 的面积．【分析】（1）由题意易得 且 ， 且 ．
结合已知推导出 ，从而证明四边形 是菱形；
（2）依据点 ， ， 分别为 ， ， 的中点，分别求出 、 ，然后根据
菱形 的面积 解答即可．
【解答】（1）证明： ， 分别是 ， 的中点，
且 ．
同理 且 ．
又 ，
，
四边形 是菱形．
（2）解： ， ，点 ， ， 分别为 ， ， 的中点，
， ，
，
菱形 的面积为 ．
【点评】此题主要考查菱形的判定及性质以及三角形中位线定理等，解答本题的关键是掌
握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
一十．矩形的性质（共3小题）
32．（2023春•香河县校级期中）矩形的两条对角线的夹角为60度，对角线长为15，则矩
形的较短边长为
A．12 B．10 C．7.5 D．5
【分析】如图所示： ，即： ， 是该矩
形较短的一边，根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，所以有
，又因为 ，所以 的长即可求出．
【解答】解：如图所示：矩形 ，对角线 ，
四边形 是矩形（矩形的对角线互相平分且相等）
又 ，
，
所以该矩形较短的一边长为7.5，
故选： ．
【点评】本题主要考查矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，且矩形对角线相交所
得角中“大角对大边，小角对小边”．
33．（2024•遂平县一模）在矩形 中， ， ，点 在 边上，
若点 是矩形 边上一点，且 是以 为底边的等腰三角形，则 的长是
或 ．
【分析】分两种情况分析， 分别在 和 上，根据等腰三角形的性质可得 ，
然后根据矩形的性质和勾股定理即可解答．
【解答】解：如图所示，
分两种情况：①当点 在 边上
时，如图1所示，此时 是等腰直角三角形，即 ，
底边 ；
②当点 在 边上时，是以 为腰的等腰三角形，
， ，
在 中， ，
在 中，
，
综上， 的长为 或 ．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质和勾股定理等知识，解题的关键是先
利用等腰三角形的性质找到腰．
34．（2023•本溪开学）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天，人们已经
知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中
是长方形， 是 延长线上一点， 是 上一点，并且 ，
．
（1）求证： ；
（2）若 ，长方形 面积为4，请直接写出 的周长．
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 ，
从而得到 ，根据两直线平行，内错角相等可得 ，再求出
，从而得解；
（2）先求出 ，进而推导出 为正方形，依据长方形 面积为4，推
导出 ， ，进而求得 的周长．
【解答】（1）证明：在 中， ，，
，
，
，
，
故 ；
（2） ，
，
又 四边形 是长方形，
四边形 是正方形，
长方形 面积为4，
，
，
的周长 ．
【点评】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，熟记各性质并读懂题目信息理解三等分
角的方法是解题的关键．
一十一．矩形的判定（共3小题）
35．（2023•于洪区期中）在数学活动课上，老师让同学们判断一个由四根木条组成的四边
形是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是
A．测量四边形的三个角是否为直角
B．测量四边形的两组对边是否相等
C．测量四边形的对角线是否互相平分
D．测量四边形的其中一组邻边是否相等
【分析】根据矩形的判定定理即可得到结论．
【解答】解： 、测量其中三个角是否为直角，能判定矩形；符合题意；
、测量两组对边是否相等，能判定平行四边形；不符合题意；
、测量对角线是否相互平分，能判定平行四边形；不符合题意；
、测量四边形的其中一组邻边是否相等，不能判定形状；不符合题意；
故选： ．【点评】本题考查的是矩形的判定定理，牢记矩形的判定方法是解答本题的关键，难度较
小．
36．（2023春•廊坊期末）在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，点 ，
在平面直角坐标系中找一点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形为矩形，则 的
长为 4 ，点 的坐标为 ．
【分析】由题意可得 ， ， ，由矩形的性质可得 ，
，即可求解．
【解答】解： 点 ，点 ，点 ，
， ， ，
点 ， ， ， 为顶点的四边形为矩形，
， ，
点 ，
，
故答案为：4， ．
【点评】本题考查了矩形的判定，坐标与图形性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
37．（2022•朝阳区校级期末）如图，在 中， ，点 、 分别是线段 、
的中点，过点 作 的平行线交 的延长线于点 ，连接 、 ．
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）求证：四边形 为矩形．
【分析】（1）根据平行线的性质得到 ，根据线段中点的定义得到 ，
根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到 ，推出四边形 是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到 ，于是得到结论．
【解答】证明：（1） ，
，
是线段 的中点，
，
，
，
，
四边形 为平行四边形；
（2） ，
，
是线段 的中点，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
四边形 为矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三
角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
一十二．矩形的判定与性质（共3小题）
38．（2023春•仓山区校级期末）如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和
上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线 ， 就可以判断，其
推理依据是
A．矩形的对角线相等B．矩形的四个角是直角
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【分析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定．
【解答】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，
故选： ．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质，熟记“对角线相等的平行四边形为
矩形”是解题的关键．
39．（2023春•开福区校级期末）如图，在 中， ， ， ，
为 上任意一点， 于 ， 于 ，则 的最小值是 4. 8 ．
【分析】根据已知得出四边形 是矩形，得出 ，要使 最小，只要 最小
即可，根据垂线段最短得出即可．
【解答】解：连接 ，如图所示，
， 于 ， 于 ，
，
四边形 是矩形，
，
要使 最小，只要 最小即可，
当 时， 最小，
在 中， ， ， ，
由勾股定理得： ，
由三角形面积公式得： ，
，
即 ，
故答案为：4.8．【点评】本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是
确定出何时， 最短，题目比较好，难度适中．
40．（2023春•盱眙县期中）在矩形 中， ， ， 、 是对角线 上
的两个动点，分别从 、 同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为
秒，其中 ．
（1）若 ， 分别是 ， 中点，则四边形 一定是怎样的四边形 、 相遇
时除外）？
答： 四边形 是平行四边形 ；（直接填空，不用说理）
（2）在（1）条件下，若四边形 为矩形，求 的值；
（3）在（1）条件下，若 向 点运动， 向 点运动，且与点 ， 以相同的速度同
时出发，若四边形 为菱形，求 的值．
【分析】（1）利用三角形全等可得 ， ，则 ，即可证明；
（2）分为两种情况，一种是四边形 为矩形，另一种是 为矩形，利用
即可求解；
（3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形 为菱形，再利用勾股定理即可求解．
【解答】解：（1） 四边形 是平行四边形，理由如下：
由题意得： ，
四边形 是矩形，
， ，
，
， 分别是 ， 中点，， ，
，
，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形；
故答案为：四边形 是平行四边形；
（2）如图1，连接 ，
由（1）得 ， ， ，
四边形 是矩形，
，
①如图1，当四边形 是矩形时，
，
，
，
；
②如图2，当四边形 是矩形时，， ，
，
；
综上，四边形 为矩形时 或 ；
（3）如图3， 和 分别是 和 的中点，连接 ， ， ， 与 交于
，
四边形 为菱形，
， ， ，
， ，
四边形 为菱形，
，
设 ，则 ，
由勾股定理可得： ，
即： ，
解得： ，
，即 ，
当 时，四边形 为菱形．
【点评】本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾
股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用．
一十三．正方形的性质（共4小题）
41．（2023•茂南区校级期末）若正方形的对角线是6，则此正方形的面积是 1 8 ． ．
【分析】根据正方形的面积是对角线乘积的一半即可得．【解答】解： 四边形为正方形，
正方形的面积 ，
故答案为：18．
【点评】本题考查了正方形的性质，解题的关键清楚正方形是特殊的菱形，面积有两种表
示法．
42．（2024•江夏区校级模拟）如图，在正方形 中， 是 的中点， 是 上一
点， ．有下列结论：① ；②射线 是 的角平分线；③
；④ ．其中正确结论的为
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．②④
【分析】①根据题目中的条件和正方形的性质，利用锐角三角函数可以得到 是否等
于 ；
②根据题目中的条件，可以求得 和 的正切值，从而可以得到射线 是否为
的角平分线；
③根据前面的推论，可以得到 和 的关系，从而可以判断 是否成立；
④根据题目中的条件和全等三角形的判定与性质，可以得到 是否成立．
【解答】解： 在正方形 中， 是 的中点，
， ，
，
，
，故①错误；
， ，， ，
，
，
，
，
设 ，则 ， ，
， ， ，
，
，
即射线 是 的角平分线，故②正确；
， ，
，故③错误；
作 于点 ，
平分 ， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
又 ， ，
，故④正确，
由上可得，②④正确，正确的个数为2，
故选： ．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数，解答本题的
关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
43．（2023春•临邑县期末）如图，正方形 边长为4，点 在边 上（点 与点 、
不重合），过点 作 ，垂足为 ， 与边 相交于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 的面积为 ，求 的长；
（3）在（2）的条件下，取 ， 的中点 ， ，连接 ，求 的长．
【分析】（1）先证得 ，再利用 证明 即可；
（ 2 ） 根 据 全 等 三 角 形 的 性 质 可 设 ， 则 ， 再 由
得到方程 ，解方程求出 的值，
再利用勾股定理求出 的长即可；
（3）连接 并延长交 于点 ，连接 ，可证明 ，得到
，再根据 或1， 是 的中位线，求出 的长即可．
【解答】（1）证明： 四边形 是正方形，
， ，
，即 ，
，
，
在 与 中，，
；
（2）解： ，
可设 ，
，
，
，
解得 或 ，
或 ，
或 ；
（3）解：如图所示，连接 并延长交 于点 ，连接 ，
点 是 的中点，
，
在正方形 中， ，
， ，
，， 或1，
当 时， ，
，
，
是 的中点，
是 的中位线，
；
当 时， ，
，
，
同理可得 ；
综上所述， 的长度为 或 ．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，三角形中位
线定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
44．（2023春•夏津县期末）问题背景：如图，在正方形 中，边长为4．点 ，
是边 ， 上两点，且 ，连接 ， ， 与 相交于点 ．
（1）探索发现：探索线段 与 的关系，并说明理由；
（2）探索发现：若点 ， 分别是 与 的中点，计算 的长；
（3）拓展提高：延长 至 ，连接 ，若 ，请直接写出线段 的长．【分析】（1）证 ，得出 ， ，再证
即可；
（2）连 并延长交 于 ，求出 长，再根据中位线的性质求出 即可；
（ 3 ） 过 点 作 于 点 ， 根 据 勾 股 定 理 求 出 ，
， 即可．
【解答】解：（1） ，且 ，
理由： 四边形 是正方形，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
线段 和 的关系为： ，且 ；
（2）连接 并延长交 于 ，连接 ，
四边形 是正方形，
， ， ，
，在 和 中，
，
，
， ，
又 ，
，
正方形的边长为4， ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
，
，
；
（3）如图3，过点 作 于点 ，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线性质和勾股定理，
解题关键是构造三角形 从而使用中位线定理、作 构造直角三角形 ．
一十四．正方形的判定（共3小题）
45．（2022•青羊区期末）下列说法中，正确的是
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【分析】利用正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定依次判断可求
解．
【解答】解： 、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项 不合题意；
、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项 不合题意；
、对角线互相平分的四边形是菱形，故选项 符合题意；
、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故选项 不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定，掌握
这些判定方法是解题的关键．
46．（2023春•正阳县期末）已知矩形 ，请添加一个条件： （答案不唯一） ，使得矩形 成为正方形．
【分析】根据正方形的判定添加条件即可．
【解答】解：添加的条件可以是 ．理由如下：
四边形 是矩形， ，
四边形 是正方形．
故答案为： （答案不唯一）．
【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此
题的关键，注意：有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形．此
题是一道开放型的题目，答案不唯一，也可以添加 ．
47．（2023•南海区期中）综合与实践
通过对《平行四边形》一章内容的学习，我们可以认识到矩形、菱形都是特殊的平行四边
形，它们除了具有平行四边形的性质外，还有各自的特殊性质，联系前面学过的三角形知
识，我们会发现矩形和菱形中能得到很多特殊的三角形，因此在解决矩形、菱形问题时经
常会用到特殊三角形的知识．请你运用所学的知识解答下面的题目．
如图所示，在 中， ， 、 两点分别为 、 两边的中点，过点
作 的平行线，与 的延长线相交于点 ，连接 、 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）当 满足什么条件时，四边形 是正方形？请说明理由．
【分析】（1）根据已知条件得出 ， ，得出四边形 是平行四边
形，根据中位线的性质得出 ，则 即可得证；
（2）根据正方形的性质，对角线相等，得出 ，进而可得 是等腰直角三
角形，即可求解．
【解答】（1）证明： 在 中， ，
，
、 两点分别为 、 两边的中点，， ，
，
又 ，
四边形 是平行四边形，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形；
（2）解：当 时，四边形 是正方形，理由如下，
四边形 是正方形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
当 时，四边形 是正方形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半，菱形的判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
一十五．正方形的判定与性质（共3小题）
48．（2023春•岱岳区期末）小明在学习了正方形以后，给同桌小文出了道题：从下列四
个条件：
① ；
② ；
③ ；
④ 中选两个作为补充条件，使平行四边形 为正方形．
现有下列四种选法你认为错误的是
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【分析】利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得
出即可．
【解答】解： ． 四边形 是平行四边形，
当① 时，平行四边形 是菱形，当② 时，菱形 是正方形，故此选项正确，不符合题意；
． 四边形 是平行四边形，
当① 时，平行四边形 是菱形，
当③ 时，菱形 是正方形，故此选项正确，不符合题意；
． 四边形 是平行四边形，
当② 时，平行四边形 是矩形，
当③ 时，这是矩形的性质，无法得出四边形 是正方形，故此选项错误，符
合题意；
． 四边形 是平行四边形，
当② 时，平行四边形 是矩形，
当④ 时，矩形 是正方形，故此选项正确，不符合题意．
故选： ．
【点评】此题主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法，正确掌握正方形的判
定方法是解题关键．
49．（2023春•启东市期末）如图1，小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具，
测得对角线 ，将正方形学具变形为菱形（如图 ，且 ，则图2中
对角线 的长为 ．
【分析】先利用正方形的性质得到 ，在图2中，连接 交 于 ，证
明 是等边三角形得 ，再根据菱形的性质和勾股定理求得 的长即可求．
【解答】解：如图1， 四边形 是正方形， ，
，
在图2中，连接 交 于 ，， ，
是等边三角形，则 ，
四边形 是菱形，
， ， ，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查正方形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理，熟
练掌握菱形的性质是解答的关键．
50．（2023春•柘城县期末）四边形 为正方形，点 为线段 上一点，连接 ，
过点 作 ，交射线 于点 ，以 、 为邻边作矩形 ，连接 ．
（1）如图1，求证：矩形 是正方形；
（2）若 ， ，求 的长度；
（3）当线段 与正方形 的某条边的夹角是 时，直接写出 的度数．
【分析】（1）作 于 ， 于 ，证明 ，得到 ，
根据正方形的判定定理证明即可；
（2）通过计算发现 是 中点，点 与 重合， 是等腰直角三角形，由此即可
解决问题．（3）分两种情形考虑问题即可；
【解答】（1）证明：作 于 ， 于 ，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
矩形 是正方形；
（2）如图2中，在 中． ，
，
，
点 与 重合，此时 是等腰直角三角形，易知 ．（3）①当 与 的夹角为 时，点 在 边上， ，
则 ，
在四边形 中，由四边形内角和定理得： ，
②当 与 的夹角为 时，点 在 的延长线上， ，如图3所示：
， ，
，
综上所述， 或 ．
