文档内容
八下期末真题百题大通关（184 题 42 题型）（提升版）
题型一 求二次根式中的参数 题型二十二 三角形中位线
题型二 二次根式有意义的条件 题型二十三 证明四边形是菱形
题型三 利用二次根式的性质化简 题型二十四 根据菱形的性质与判定求解
题型四 最简二次根式与同类二次根式 题型二十五 根据正方形的性质求解
题型五 二次根式的混合运算 题型二十六 正方形折叠问题
题型六 化简求值 题型二十七 利用平移的性质求解与证明
题型七 分母有理化 题型二十八 正方形折叠问题
题型八 比较二次根式的大小 题型二十九 证明四边形是正方形
题型九 二次根式的应用 题型三十 根据正方形的性质与判定求解与证明
题型十 勾股定理与网格问题 题型三十一 中点四边形
题型十一 勾股定理与折叠问题 题型三十二 （特殊）平行四边形的动点问题
题型十二 勾股定理的证明方法 题型三十三 四边形其他综合问题
题型十三 以弦图为背景的计算题 题型三十四 变量与函数
题型十四 勾股定理的应用 题型三十五 函数的图象
题型十五 勾股定理的逆定理 题型三十六 正比例函数
题型十六 利用平行四边形的性质求解 题型三十七 一次函数
题型十七 利用平行四边形的性质证明 题型三十八 一次函数与方程、不等式
题型十八 证明四边形是平行四边形 题型三十九 选择方案
题型十九 利用平行四边形的判定与性质求解 题型四十 平均数、中位数、众数
题型二十 利用平行四边形性质和判定证明 题型四十一 求方差
题型二十一 平行四边形性质和判定的应用 题型四十二 数据分析中的决策问题
第十六章 二次根式
1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法．
(1)【回顾旧知，类比求解】
解方程： ．
解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解．
(2)【学会转化，解决问题】
①运用上面的方法解方程： ；
②代数式 的值能否等于7？若能，求出 的值；若不能，请说明理由．2．（23-24八年级下·全国·期末）若式子 有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
3．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数
，（其中 为连续的整数），则称无理数的“臻美区间”为 ，如 ，所以
的“臻美区间”为 ．
(1)无理数 的“臻美区间”是______．
(2)若一个无理数的“臻美区间”为 ，且满足 ，其中 是关于 的二元一次
方程 的一组正整数解，求 的值．
(3)实数 满足如下关系式： ，求 的算
术平方根的“臻美区间”．
4．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若关于x的方程 存在整数解，则正整数m的
所有取值的和为 ．
5．（23-24八年级下·河南安阳·期末） 为自然数，且 是大于0小于4的整数，那么 的值可能是
．（写出一个即可）
6．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）在平面直角坐标系中，点 满足 ．
(1)求点A的坐标．
(2)如图，将线段 沿x轴向右平移6个单位长度后得到线段 （点O与点B对应），在线段 上取点，当 时，求D点的坐标．
7．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知 ， 为实数， ，那么 的值为
（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如果 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像 ，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复
合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简：
如： ，
再如： ，
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：
(2)化简：
(3)若 ，且 为正整数，求 的值．
10．（23-24八年级下·贵州安顺·期末）阅读理解：若 ， ，由 ，得 ，
当且仅当 时取到等号．利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值．
例如：已知 ，求式子 的最小值．
解：令 ， ，则由 ，得 ，
当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：(1)当 时，当且仅当 ______时，式子 的最小值为______（直接写出答案）；
(2)如图，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆
周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？
11．（23-24八年级下·云南德宏·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24八年级下·山东威海·期末）若 与最简二次根式 是同类二次根式，则 的平方根是
（ ）
A．3 B． C． D．
13．（23-24八年级下·河北张家口·期末）将式子 （a为正整数）化为最简二次根式后，可以与
合并．写出一个符合条件a的值 ．
14．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期末）如果两个最简二次根式 与 是同类二次根式，那么
使 有意义的x的取值范围是 ．
15．（23-24八年级下·云南红河·期末）计算： ．
16．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）计算：
(1) ； (2) ．
17．（23-24八年级下·山东济宁·期末）计算：
(1) ； (2) ．
18．（23-24八年级下·全国·期末）计算：
(1) ； (2) ．19．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知 ，求下列式子的值：
(1)
(2)
20．（23-24八年级下·江苏南京·期末）（1） ， ，求代数式 的值．
（2）先化简，再求值．
，其中 ， ．
21．（23-24八年级下·陕西西安·期末）先化简，再求值： ，其中
22．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知 ，先化简再求
的值．
23．（23-24八年级下·河南许昌·期末）已知 ，求 的值．
24．（23-24八年级下·广东广州·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如 的式子，
这样的式子我们可以将其进一步化简， ， ，这种化
简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题：
(1)化简： ______； ______；(2)矩形的面积为 ，一边长为 ，求这个矩形的周长；
(3)当 时，化简： ．
25．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）阅读材料：
像 两个含有二次根式的代数式相
乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
例如， 与 、 与 、 与 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，
利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
根据以上阅读材料回答下列问题：
(1)计算： ；
(2)计算： ．
26．（23-24八年级下·山东威海·期末）计算下列各题：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)27．（23-24八年级下·江西上饶·期末）【阅读理解】阅读下列材料，然后解答下列问题．
像 ， ， ，两个含有二次根式的代数式相
乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如： 与 ， 与 ，
与 等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中
的根号，请回答下列问题：
(1)化简： ；
(2)计算： ；
(3)计算： ．
28．（23-24八年级下·安徽六安·期末）阅读下面问题：
；
；
；
(1)直接写出：① 的值为 ；② 的值为 ；
(2)试求 的值．29．（23-24八年级下·广西崇左·期末）阅读下面的材料，然后解答问题：
， ，
① ②
．
③
以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
还可以用以下方法化简：
．
④
(1)化简： =______， =______；
(2)参照 式化简： ；
③
(3)参照 式化简： ．
④
30．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）像 ， ，两个含有二次根式的代
数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如 与 ， 与
等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号．
(1)化简：① ．② ．
(2)计算
(3)已知 ， ， ，试比较a，b，c的大小，并说明理
由．31．（23-24八年级下·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得
很好的效果，例如，比较 和 的大小，我们可以把 和 分别平方， ， ，则
，
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较 ， 大小， （填写 ， 或者 ）
(2)猜想 ， 之间的大小关系，并证明．
32．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在一个矩形中放入面积分别为 和 的两张正方形纸片，
两张正方形纸片不重叠，则图中阴影部分的面积为 ．
33．（23-24八年级下·陕西安康·期末）在一个长为 ，宽为 的长方体塑料容器中装满水，然
后将这个塑料容器内的一部分水倒入一个高为 的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容
器中的水面下降了 ．求圆柱形玻璃容器的底面半径．
34．（23-24八年级下·陕西安康·期末）快递公司为顾客的快递提供纸箱包装服务，现有三款长方体包装纸
箱的高相同，底面规格如表：
型
长 宽
号小
号
中
号
大
号
已知甲、乙两件长方体礼品底面都是正方形，底面积分别为 ， ，两件礼品的高都小于包装纸
箱的高．若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底
面型号的纸箱?
35．（23-24八年级下·广东东莞·期末）我们已经学过一个三角形已知底边长为a，高为h，则这个三角形
的面积为 ，古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积
的公式，即如果一个三角形的三边长分别为 ，则有下列面积公式．
海伦公式： ，其中秦九韶公式： ．
(1)一个三角形的三边长分别为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积；
(2)一个三角形的三边长分别为 ， ， ，任选以上一个公式求这个三角形的面积．
36．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）阅读下面材料：
将边长分别为a， ， ， ，……的正方形面积分别记为 ， ， ， ，……．
则
；
；
……
根据以上材料解答下列问题：
(1)根据材料中的规律可得面积记为 的正方形边长是 ；
(2)猜想 的结果，并证明你的猜想；
(3)令 ， ， ，…， ，且 ，求T的值．
37．（23-24八年级下·四川达州·期末）阅读以下材料：如果两个正数 ，即 ，由完全平方式
的非负数性质可得：
（当 即 时，取等号），
（当且仅当 时取等号）
结论：对任意两个正数 ，都有 ；上述不等式当且仅当 时等号成立．当这两个正数
的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数 的和的最小值．
例如：当 为正数时，两数 和 均为正数，且 （常数），则有 当且仅
当 即 时取等号当 时， 有最小值，最小值为4.
利用以上结论完成下列问题：
(1)已知 为正数，即 ，则当 时， 取到最小值，最小值为 ；
(2)当 均为正数，即 时，求函数 的最小值；
(3)如图，四边形 的对角线 相交于点 的面积分别是4和9，求四边形 面
积的最小值．
第十七章 勾股定理
38．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在
格点上， 为 的高，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
39．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小
正方形的边长都为1， 的顶点都在格点上．(1) 的长为____________， 的长为____________．
(2)在正方形网格中，画出以 为公共边与 全等的所有三角形．
40．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，长方形纸片 中， ， ，将它沿对角线 折
叠，使点 落在点 处，则 ．
41．（23-24八年级下·甘肃白银·期末）如图，在长方形 中， 是 的中点，将 沿 翻折得
到 ， 交 于点 ，延长 ， 相交于点 ，若 ， ，求 的长．
42．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代
数学家赵爽根据弦图，利用面积进行证明．
定理表述（1）请根据图①中的直角三角形叙述勾股定理．（用文字或符号语言）
尝试证明
（2）以图①中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底， 为高的直角梯形（如图②），请你利
用图②，验证勾股定理．
拓展延伸
（3）利用图中②的直角梯形，我们可以证明 ，请将证明步骤补充完整．
∵ ， ______，
在直角梯形 中， ______ （填“＜”或“＞”或“＝”），即______， ，
∴
43．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，是 个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正
方形的面积是 ，小正方形的面积是 ，若用 表示直角三角形的两条直角边（ ），请观察图案，
下列式子不正确的是（ ）
A． B． C． D．
44．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它
为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形，若图中大正方形
的面积为34，直角三角形较短的直角边长 为3，则中间小正方形 的面积为
．
45．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）综合与实践长方体中蕴藏着丰富的数学知识，善思小组开展长方体中数学知识的探究．如图①底面为正方形 的
长方体盒子， ， ， ．该小组把长方体的两侧面 ， 剪下来，沿着
和 剪开，得到四个全等的直角三角形，拼成如图②所示的“弦图”．
【探究一】
（1）如图②，若每个直角三角形较小锐角为 ，小正方形 的面积为16．求大正方形 的面积；
【探究二】
（2）根据图②的“弦图”证明勾股定理（写出推理过程）；
【探究三】
（3）为了使长方体盒子更加美观，现准备在长方体外表面从点A到点G粘贴一条彩色条（宽度忽略不
计），设所用彩色条的长度为l，探究l的最小值（用含有a，b的式子表示），该小组探究如下：将长方
体盒子侧面 ， 展开成图③所示的平面图形，连接 ，在 中，
，即l的最小值为 ．上述探究结果是否正确？若不正
确，画图并求出l的最小值．
46．（23-24八年级下·陕西安康·期末）2023年8月18日， 世界机器人大会在北京亦庄召开．某科技
公司展示了首款人形通用机器人 ．乐乐爸爸是机器人研发工程师，其中一次机器人 的跑步测试方案
如下：在滑梯上的乐乐从滑梯顶端D处沿着 方向滑下，同时机器人 从乐乐对面的A处向B处跑去，
恰好在点B处与乐乐相遇，并且机器人 的跑步速度与乐乐的下滑速度相同．已知滑梯的高度 米，
滑梯底部与机器人 的出发点之间的距离 米．请问，机器人 跑步多少米与乐乐相遇？47．（23-24八年级下·广东潮州·期末）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘
测，得到如下记录表：
测量示意
图
①测得水平距离 的长为 米．
边的长
测量数据 ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为 米．
度
③小明牵线放风筝的手到地面的距离为 米．
实践探究小组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高
度 ．请完成以下任务．
(1)已知：如图，在 中， ．求线段 的长．
(2)如果小明想要风筝沿 方向再上升 米， 长度不变，则他应该再放出多少米线？48．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，
出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽 丈，芦苇
生长在 的中点O处，高出水面的部分 尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面
平齐，即 ， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．
(1)求水池的深度 ；
(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现
代符号语言可以表示为：若已知水池宽 ， 芦苇高出水面的部分 ，则水池的深度
可以通过公式 计算得到．请证明刘徽解法的正确性．
49．（23-24八年级下·河南开封·期末）如图，一艘轮船向正东方向航行，在 处测得灯塔 在 的北偏东
方向，航行40海里到达 处，此时测得灯塔 在 的北偏东 方向上．
(1)直接写出 的度数；
(2)小刚想知道轮船行驶到 处时，该轮船距灯塔 的距离，他过 做 于点 ．请帮小刚画出图形
并求 的长．50．（23-24八年级下·重庆巴南·期末）某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，
经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东 方向和东南方向各修一步道，从
A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测
得 米．（参考数据： ）
(1)求A、C两地之间距离．（结果精确到1米）
(2)小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择 路线，小明决定
选择 路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？
51．（23-24八年级下·福建南平·期末）如图， 、 是两条公路， ，沿公路 方向离点O
为160米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路 方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为
圆心， 长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假
设重型运输卡车沿着道路 方向行驶的速度为18千米/小时．
(1)求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离；
(2)求卡车沿道路 方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间．
52．（23-24八年级下·山东滨州·期末）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如
图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切
割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．(1)定理证明：图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．
如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理；
(2)问题解决：如图2，圆柱的高为 ，底面半径为 ，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短
路径是多少厘米？（结果可保留 ）
53．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在笔直的公路 旁有一座山，为方便运输货物，现要从公
路 上的点 处开凿隧道修通一条公路到点 处，已知点 与公路上的停靠站 的距离为 ，与公路
上的另一停靠站 的距离为 ，停靠站 ， 之间的距离为 ，且 ．
(1)判断 是什么三角形？并说明理由；
(2)求修通的公路 的长．
54．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，直角坐标系中，每个小正方形方格的边长都为1．(1)求四边形 的面积；
(2)求四边形 的周长；
(3)证明 为直角．
55．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形 中， ， ， ， ，
，求 的度数．
第十八章 平行四边形
56．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，在 中， ， ， 是 边上任意一
点，连接 ，以 ， 为邻边作 ，连接 ，则 长的最小值为（ ）A． B． C． D．
57．（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图，在 中， ，点E是 中点，作 于
点F，已知 ， ，则 的长为 ．
58．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，平移图形 ，与图形 可以拼成一个平行四边形，则图中
．
59．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在 中，对角线 ， 交于点 ， ，
，垂足分别为E，F．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长；
(3)若 ， ，当 时，求 的面积．
60．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在平行四边形 中， ，在 取一点E，使得
，连接 ．
(1)用尺规完成以下基本作图：作 的角平分线交 于点F，交 于点O；（保留作图痕迹，不写作法和结论）
(2)根据 （1）中作图，经过学习小组讨论发现 ，请你证明学习小组发现的结论．
61．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，在 中，连接 ，延长 至点E，延长 至点
F，使 ，连接 ．求证： ．
62．（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图，在平行四边形 中， ，求证：
63．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图， 、 为 的对角线 上的两点，请你添加一个
条件，使得 ．
(1)你添加的条件是________；
(2)根据你添加的条件和题目的已知条件，求证： ．64．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ，分别过点 ，
作 ， ，垂足分别为 ， ， 平分 ．
(1)当 时，求 的大小；
(2)求证： ．
65．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图， 中，D是 边上任意一点，F是 中点，过点C作
交 的延长线于点E，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ，求 的长．
66．（23-24八年级下·云南文山·期末）如图， 是线段 的中点，且 ，点 在线段 上，
交 于点 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)已知 ，连接 ，若 平分 ，求 的长．
67．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，点O是 内一点，连接 ，并将
的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形 ．(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)如果 ， ， ，求 的长．
68．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，四边形 中， ，且 、
的角平分线 、 分别交 于点 、 ．若 ，则 的长为 ．
69．（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图在平面直角坐标系中， 点的坐标分 、 ．
且 满足 ，现将线段 向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到 ，连接
．
(1)求 的值．
(2)点P是线段 上的一个动点（不与 重合），请找出 之间的关系，并证明．
(3)点Q是线段 上的动点，是否存在 使四边形 面积最大，如果存在，求出点Q的坐标；如果不
存在，请说明理由．70．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，在等边 中， 、 两点分别在边 、
上，连接 ，以 为边向右作等边 ，连接 ．
【初步发现】（1）求证： 为等边三角形；
【深入探究】（2）求证：四边形 为平行四边形；
【拓展延伸】（3）若 ，求四边形 的面积．
71．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在 中，点 ， 分别是 ， 的中点，连接 ，
．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 平分 ， ，求 的周长．72．（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在平行四边形 中，点E、F分别是边 的中点．
(1)求证： ；
(2)若 ，求平行四边形 的周长．
73．（23-24八年级下·广东茂名·期末）综合实践课上，老师让同学们开展了 的折纸活动， 是
边上的一动点， 是 边上的一动点，将 沿直线 折叠，使点 落在 边上的点 处，点
的对应点为点 ，连接 ．
(1)【观察发现】如图1，若 ， ， ，求 的长；
(2)【操作探究】如图2，当点 落在 的延长线上时，求证：四边形 为平行四边形．74．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，
图中 ， ， ， 都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)如图1， 是 上一点，在线段 上找一点 ，使 ；连接 ，作一点 ，使四边形
为平行四边形；
(2)在图2中作 的垂直平分线，分别交 ， 于 ， ；将四边形 沿 翻折，点 的对应
点为点 ，画出翻折后的四边形 ．
75．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在 中，E，F分别为 ， 上两点，且 ，
连接 ， 分别与对角线 交于点G，H．
(1)求证：四边形 为平行四边形：
(2)若 ， ，求点G到 的距离．76．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）综合实践：“构图法”计算图形面积．
提出问题： 在 中， 的长度分别为． ，求 的面积．素材准备：三
张 的网格纸．
分析问题：如果运用三角形面积公式 （a为底边，h为对应的高）求解，由于三角形的三条边均
为无理数，高h的计算较为复杂．进一步观察发现： ， ，
．若把 放到图1的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），且 的三个
顶点恰好都在小正方形的顶点（格点），这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出 的面积．
种借助网格计算面积的方法我们称为“构图法”．
解决问题：
（1）在图1中，已知点A的位置（点A是格点）．请分别画线段： （点
B、C也是格点）． 则可以计算出 的面积为______．
（2）已知以格点M、N、P、Q为顶点的平行四边形的面积为5，在图2中已经作出格点 M、N．
①在图2中作出格点 P、Q的位置（作出一种得可）；
②这样的平行四边形共有______个．
（3）若 的边长分别为： ．求 的面积．
77．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，在 中，点E，F在对角线 上，且 连接
， ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 求 的度数．
78．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，四边形 中， 为 上一点，连接 ，点
、 分别是 、 的中点，连接 ，则 的长等于（ ）
A． B． C． D．
79．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，四边形 是平行四边形， ， ，
是 的中位线，G为 上一动点，H为 上一动点，点G以 的速度从C点向B点运动，同
时点H以 的速度从D点向C点运动，用 表示时间 ．当t为何值时，四边形 是平
行四边形？
80．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，点E为平行四边形 的边 上的一点，连接 并延长，
使 ，连接 并延长，使 ，连接 ．H为 的中点，连接 ， ．(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)连接 ，交 于点O，若 ， ，求 的长度．
81．（23-24八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考
问题情境：
如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离．
可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪．
方法分析：
“圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出 的长和 的度数；
作 ；在射线 上找一点D，使 ；测出 的长度，就可得到A，B两点间的距离．
“智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接 ， ；分别取 ，
的中点D，E，测出 的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离．
说明：以上各点都在同一水平面内．
（1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量 的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组
通过测量 的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ．
迁移应用：
（2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求：
①在图1中画出可操作的方案图；
②简要说明你的操作步骤；
③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ．82．（23-24八年级下·广西南宁·期末）【综合与实践】
如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．
任务
皮尺
皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点
间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）；
测量
工具
测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可
测角仪
及的P， Q两点，可测得 的大小．
小明的测量及求解过程
（1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得 ；
（2）分别在 上用皮尺测得 ，测得 ．
测量
过程
由测量可知：
求解 ∵ ， ，
过程
∴点M是 的中点， 点N是 的中点，
∴ 是 的______∵ ，
∴ ______ ．
(1)把小明的求解过程补充完整；
(2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ；
(3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两
点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，
测量次数不超过3次）．
83．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ，过点 作
，垂足为点 ，若 ，则 度．
84．（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形 中， 分别是 上的点， 分别是
的中点， ， ，则线段 的长为 ．
85．（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图，点 是矩形 的对角线 上一点，过点 作 ，
分别交 ， 于点 ， ，连接 ， ．若 ， ，则图中阴影部分的面积为
．
86．（23-24八年级下·吉林长春·期末）【知识回顾】我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有：三角形的中位线平行于第三边，并且等
于第三边的一半．
【定理证明】
将下列的定理证明过程补充完整：
已知：如图①，在 中，点D、E分别是 与 的中点．
求证： ， ．
证明：
【定理应用】
(1)如图②，在 中，对角线 、 相交于点O， 的平分线与边 相交于点E，点F是
的中点，若 ， ，则 ；
(2)如图③，将矩形 的边 绕点A旋转一定的角度 ，得到线段 ，连结 ，点
E，F分别是 和 的中点，连结 ， ， ，已知 ， ，则 的面积的最大值
为 ．
87．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在矩形 中， ，分别过点 ， 作
， 于点 ， ，连结 ， ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)分别取 ， 的中点 ， ，连结 ， ．若 ，求四边形 的面积．
88．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在 中， ， 是 的中位线，
连接 ．求证：
(1) ；
(2) .
89．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）在矩形 中，点E，F分别是 ， 上的动点，连接 ，
将 沿 折叠，使点A落在点P处，连接 ，若 ， ，则 的小值为 ．
90．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，在矩形 中， ，点E是 上一点，连接 ，
将 沿着 折叠，点B恰好落在 上的点F处， ．
(1)求 的长；
(2)求 的长．
91．（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图已知矩形 中 ， ，在边 上取一点
E，将 折叠使点D恰好落在 边上的点F，求 的长．92．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图1，在矩形 中，点 在 轴正半轴上，点 在 轴正半轴
上，点 在第一象限， ， ．
(1)直接写出点 的坐标： ；
(2)如图2，点 在 边上，连接 ，将 沿 折叠，点 恰好与线段 上的点 重合，求线段
的长度；
(3)如图3， 是直线 上一点且在 下方， 交线段 于点 ．若 在第一象限，且
，求点 的坐标．
93．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图， 为 的中位线，点F在 上，且
，若 ， ，则 的长为 ．94．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在 中， ， 是 的平分线，且 ，
， 是 的中点，则 的长为 ．
95．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在 中， ， 交于点O， 于E， 交
于F，求证：四边形 是矩形．
96．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在 中， ，D为 中点，四边形 是平行四
边形， ， 相交于点O．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ，求 的长度．
97．（23-24八年级下·全国·期末）如果， 是 斜边上的中线，延长 到点 ，使 ，
连接 ， ．四边形 是矩形吗？请说明理由．98．（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图，四边形 为平行四边形， ，点E在 的延
长线上，且 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ，求四边形 的面积．
99．（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图， ， 为 上一点．小明利用直尺和圆规完成了以
下作图：连接 ，分别以点 ， 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于 ， 两点，作直线 ，
交 于点 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)当 时，在 上取一点 ，使 ，连接 ．若 ，求 的度数．100．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平行四边形 中，过点D作 于点E，
点F在边 上，且 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 平分 ， ， ，求 的长．
101．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形 中， ， 与 相交于点O，且
O是 的中点．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 是等边三角形，且 ，求四边形 的面积．
102．（23-24八年级下·吉林长春·期末）在菱形 中， ，则 ．
103．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在菱形 中， ， ，对角线 与
相交于点 ．将边 沿 方向平移到 ，连接 ．当点 是 的中点时，四边形 的面积
为 ．104．（23-24八年级下·全国·期末）如图，平行四边形 的两条对角线相交于点O，且
．
(1)求证：平行四边形 是菱形；
(2)求平行四边形 的面积．
105．（23-24八年级下·全国·期末）如图，菱形 中，E，F分别是 ， 上的点，且 ．
求证： ．
106．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，四边形 是平行四边形，对角线 交于点F，
，延长 到点C，使 ，延长 到点D，使 ，连接 和 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ，求 与 间的距离．107．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图 ，在矩形纸片 中， ， ，折叠纸
片使点 落在边 上的点 处，折痕为 ，过点 作 交 于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 为菱形；
(2)当点 在 边上移动时，折痕的端点 ， 也随之移动，
当点 与点 重合时（如图 ），求菱形 的边长；
若限定 ， 分别在边 ， 上移动，求出点 在边 上移动的最大距离．
108．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图所示，E，F分别在 和 上，
，则 ．
109．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）将两张同样宽度的纸片按如图方式叠放在一起，记重叠部分为四
边形 ，若 ，则四边形 的周长为 ．
110．（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿图中的虚线 剪下，
已知 ，再将剪下的纸片展开，则得到一个新的四边形，它的面积是 ．111．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，已知点 分别是 的边 上的中点，且
，
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ，求菱形 的面积．
112．（22-23八年级下·贵州安顺·期中）如图，以正方形 的边 向外作等边三角形 ，则
的度数是 ．
113．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，正方形 ，E，F分别是 ， 的中点， ， 相交
于点G，连接 ，若 ，则 的长为 ．
114．（23-24八年级下·云南曲靖·期末）如图，在正方形 的边 上连接等腰直角三角形，然后在等
腰直角三角形的直角边上连接正方形，无限重复上述过程，如果第一个正方形 的边长为 ，那么第
个正方形的面积为 ．115．（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，在边长为8的正方形纸片 中，E是边 上的一点，
，连接 ，将正方形纸片折叠，使点D落在线段 上的点G处，折痕为 ，则 的长为
116．（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图，将正方形纸片 沿 折叠，使点 落在边 上，对
应点为点 ，点 落在点 处，若 ， ，则折痕 的长为 .
117．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）如图，正方形 中， ，E为边 上一点， ，
连接 ， ． 点 为线段 上一个动点， ，将 沿线段 折叠，得到
，连接 ．
(1)求 ， 的长；
(2)当点 落在线段 上，求 的长；
(3)连接 ，若 为等腰三角形，求 的值及 ．118．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，四边形 是正方形，以点 为坐标原点， 分别
在 轴， 轴上，点 在 边上，点 的坐标为 ，点 在 边的延长线上， ，连接 ，
过点 作 于点 ，交 于点 ，连接 和 ，且 ．
(1)求证： 垂直平分 ；
(2)求正方形 的边长；
(3)求点 的坐标．
119．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在 中， ， 是 边上的中线， 是 的
中点，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)当 满足什么条件时，四边形 是正方形？请说明理由．
120．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在 中， ，过点 的直线 ，
为 边上一点．(1)请过点 作 ，交直线 于 ，垂足为 ，（保留作图痕迹，不要求写作法），则 与
的数量关系为 ；
(2)当 在 中点时，连接 和 ，判断四边形 的形状，并说明理由；
(3)若 为 中点，则当 为多少度时，四边形 是正方形？
121．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图1， 中，点 是 边上的一个动点，过点 作直线
，设 交 的平分线于点 ，交 的平分线于点 ．
(1)线段 与 的位置关系是______；（只写结果，不写证明过程）
(2)探究：线段 与 的数量关系，并加以证明；
(3)如图2，当点 运动到何处时，四边形 是矩形，并说明理由；
(4)在（3）的前提下，直接写出 满足什么条件时，四边形 是正方形．
122．（23-24八年级下·福建宁德·期末）如图，在四边形 中， ， ，
，则 的度数是 °．123．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，在四边形 中， ， ，
， ，则对角线 的长为 ．
124．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，P是正方形 对角线 上的一点，直线m，n经过点
P且 ，若四边形 与四边形 的面积分别是 ， ，那么四边形 与四边形
的面积之和是 ．
125．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）四边形 为正方形，点 为线段 上一点，连接 ，过点
作 ，交射线 于点 ，以 为邻边作矩形 ，连接 ．
(1)如图1，求证：矩形 是正方形；
(2)若 ， ，求 的长度；
(3)当线段 与正方形 的某条边的夹角是 时，求 的度数．
126．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）【问题情境】
数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形 中，点 为对角线 上一动
点，连接 ，过点 作 ，交射线 于点 ，以 ， 为边作矩形 ．【特例探究】
启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，当 时，点 与点 重合，此时
可以证明矩形 是正方形．
【探究发现】
(1)博学小组发现，如图2，当 时，点 落在 边上，此时，过点 作 于点 ，
于点 ，通过证明 ，进而可以证明出矩形 是正方形，请你帮助博学小组完成
证明．
(2)奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，当 时，点 落在 的延长线上．
①此时矩形 还是正方形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
②当 ，且 时，直接写出 的长．
127．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）顺次连接某四边形各边中点得到一个相邻两边分别为 ，
的四边形，则原四边形两条对角线长度之和为（ ）
A．20 B．18 C．36 D．无法确定
128．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图①，在四边形 中， ， 是对角线 的中点，
是 的中点， 是 的中点．求证： ．
【应用】如图②，连结图①中的 ，并取 中点 ，连结 、 ．
（1）若 ，则四边形 的周长为 ．
（2）图③，若 ，且 ，则四边形 的面积为 ．
129．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形 的四边中点E，F，G，H依
次连接起来得到的四边形 是平行四边形吗？
小敏在思考问题时，有如下思路：连接 ．
结合小敏的思路作答：
（1）若只改变图1中四边形 的形状（如图2），则四边形 还是平行四边形吗？请说明理由；
参考小敏思考问题的方法，解决以下问题：
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接 ， ．当 与 满足什么关系时，四边形 是正方
形．直接写出结论．
130．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿 以 的
速度匀速运动到点B，点F运动时， 的面积 随时间 的变化关系图象如图（2），则菱形
的面积为 ．
（1） （2）
131．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）如图 ．在四边形 中， ， ， ，
， ，点 从点 出发，沿射线 以每秒 个单位长度的速度运动．点 从点 出发，沿
方向以每秒 个单位长度的速度向终点 运动． 、 两点同时出发，当点 到达点 时，点 也随之
停止运动．设点 运动时间为 秒．(1)求线段 的长 （用含 的代数式表示）．
(2)当以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形时，求 的值．
(3)如图 ，若点 为 边上一点，且 ，当 是以 为腰的等腰三角形时，直接写出 的值．
132．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形ABCD中， ， ， ，
， ，动点P从A点开始沿 边以 的速度向点D运动，动点Q从点C开始沿
边以 的速度向点B运动，P，Q分别从A，C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动
点也随之停止运动．设运动的时间为 ．
(1)当t为何值时，四边形 是矩形；
(2)当t为何值时，四边形 是平行四边形；
(3)问：四边形 是否可以为菱形？若能，求出此时的t值；若不能，请说明理由．
133．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在 中， ， ， ，
．过点D作 ，垂足为E，动点P从点D出发沿 方向以 的速度向点A运动，动
点Q同时从点B出发，以 的速度沿射线 运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为 ．
(1)当 时，求t的值；
(2)连接 ，设四边形 的面积为 ，求S与t之间的函数关系式；
(3)当点P关于直线 的对称点恰好在直线 上时，请直接写出t的值．
134．（23-24八年级下·陕西西安·期末）【问题提出】（1）如图1，在 中， ， ．
若 ，求 的长．
【问题解决】（2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区欲建造如图2所示的四
边形 休闲广场．已知 ， ， 米，在对角线 上有一个凉亭
，测得 米．按规划要求，需过凉亭 修建一条笔直的小路 ，使得点 ， 分别在边 ，
上，连接 ， ，其中四边形 为健身休闲区，其他区域为景观绿化区．按此要求修建的这
个健身休闲区（四边形 ）是否存在最小面积？若存在，求出最小面积；若不存在，请说明理由．135．（23-24八年级下·青海西宁·期末）小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探
究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂
美四边形．
【概念理解】
（1）在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是_______．（填写相应的序号）
【类比学习】
（2）如图1，若 ， ，则 _____；
【性质探究】
（3）探究垂美四边形的四条边 之间的数量关系：（将下列探究过程补充完整）
在 中 在 中
在 中 在 中
__________ __________
【问题解决】
（4）如图2，在 中，点 ， 分别是边 ， 的中点，且 ，垂足为 ．若 ，
，则 的长为__________．136．（23-24八年级下·河北邢台·期末）如图1，在矩形 中， ，E是 边上的一个
动点（点E不与B、C重合）， ，垂足为点F，过点D作 ，交 的延长线于点G．
(1)若 ，
①求证：四边形 是菱形；②求四边形 的周长；
(2)如图2， 于点M， 于点N，探究：
①当 为何值时，四边形 是正方形；
②点E在 边上的运动过程中，四边形 的面积是否发生变化，若不变，请求出该四边形的面积；
若变化，请说明理由．137．（23-24八年级下·江西赣州·期末）【提出问题】
如图，在人教版八年级下册数学教材第18章平行四边形的复习题中有这样一道题：
求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的 ．（此空不填）
小红在探究该问题时从特殊的平行四边形开始，请你跟随小红的思路，帮她完成下列问题：
【探究问题】（1）①在正方形 中，设其边长为a，则对角线 和a的数量关系有：
；
②在菱形 中，设其边长为a，则对角线 和a的数量关系有： ；
③在矩形 中，设 ，则对角线 和a，b 的数量关系有： ；
【解决问题】（2）如图1，在 中，设 ，猜想对角线 和a，b的数量关系有：
并证明你的结论；
【知识应用】（3）如图2，在四边形 中， ，点M为
的中点，求 的长．
第十九章 一次函数
138．（23-24八年级下·河北唐山·期末）下列关于两个变量的关系，表述不正确的是（ ）
A．圆的面积公式 中， 是 的函数
B．同一物质，物体的体积是质量的函数
C．光线照到平面镜上，入射角为 ，反射角为 ，则 是 的函数
D．表达式 中 是 的函数
139．（23-24八年级下·山东临沂·期末）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．已知函数 ，则它的“Y函数”解析式为 ．
140．（23-24八年级下·云南红河·期末）在函数 中，自变量 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D．
141．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，线段 的长为 ，点C是线段 上一动点（点C不与
A，B重合），分别以 ， 为边，在 同侧作正方形．设线段 的长为 ，两正方形的面积和
为 ．
(1)写出两正方形的面积和 关于线段 的长 的函数解析式及自变量的取值范围；
(2)当 时，求此时两正方形的面积和S．
142．（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图1，是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是
一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变 的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度
（即B，D之间的距离）．在手柄转动过程中，B，D之间的距离y（单位： ）随 的长度x（单位：
）的变化规律如图2所示．(1)指出图中点P坐标的实际意义；
(2)求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围：
(3)直接写出B，D之间距离的变化范围．
143．（23-24八年级下·山西长治·期末）下列选项中， 不是 函数的是（ ）
A． B．
C． D．
144．（23-24八年级下·云南曲靖·期末）如图，向高为 的圆柱形水杯中注水，已知水杯底面圆半径为 ，
那么注水量与水深的函数关系的图象是（ ）A． B． C． D．
145．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图1， 地在 地的正东方向，某一时刻，乙车从 地开往 地，
1小时后，甲车从 地开往 地，当甲车到达 地的同时乙车也到达 地．如图2，横轴 （小时）表示两
车的行驶时间（从乙车出发的时刻开始计时），纵轴 （千米）表示两车与 地的距离．
(1) ， 两地相距多少千米？
(2) 和 两条线段分别表示两车距 地的距离 （千米）与行驶时间 （小时）之间的关系，请问哪一条
线段表示甲车？
(3)求两车相遇时距 地多少千米？
146．（23-24八年级下·河南南阳·期末）小强在学习菱形时遇到了这样一个问题：如图①，菱形 中，
， ，点 是 上的动点，点 是 的中点，连接 、 ，当 是等腰三角形
时，求线段 的长度．小强分析尝试结合学习函数的经验探究此问题．请将下面的探究过程补充完整：
根据点 在 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 ， ， 的长度，得到下表对应值．
0 1 2 3 4 5 6 7 8
2. 1. 1. 1. 2. 3. 4. 5. 6.
5 8 5 8 5 4 3 2 2
5. 4. 3. 3. 3. 3. 4. 5.
0 2 6 2 2 6 2 0(1) 的值是 ．
(2)将线段 的长度作为自变量 ， ， 的长度都是关于 的函数，分别记为 ， ，并在坐标系中
画出了 的函数图象，如图②所示，请在同一平面直角坐标系中描点，并画出 的函数图象．
(3)观察图象，可知函数 有最小值，请你利用学习过的几何知识，直接写出 的最小值．（写出准确值）
(4)在点 从 移动到 的过程中，当 时，直接写出 的长度．
147．（23-24八年级下·全国·期末）如图 ，点 从 的顶点 出发，沿 匀速运动到点 ，
图 是点 运动时，线段 的长度 随时间 变化的关系图象，其中 为曲线部分的最低点，则
的面积是（ ）
A． B． C． D．
148．（23-24八年级下·北京平谷·期末）如果函数 是正比例函数，那么（ ）
A． 或 B． C． D．149．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）将 的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系中，每
个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是 1，正方形 的顶点都在格点上，若直线
与正方形 有两个公共点，则k的取值范围是 ．
150．（23-24八年级下·广东东莞·期末）2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，联合国呼吁全世界
关注和重视水资源的重要性．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小明同学
在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每 记录一次容器中的水量，如下表．
时间 0 5 10 15 20 25
量杯中的水量
0 15 30 45 60 75
(1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点；
(2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出y关于t的函数解析式；
(3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下一天的漏水量．
151．（23-24八年级下·广东广州·期末）关于函数 （k为常数），下列说法不正确的是（ ）
A．当 时，该函数是一次函数
B．若点 ， 在该函数图象上，且 ，则
C．若该函数图象不经过第四象限，则
D．该函数图象恒过点152．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）当 时，函数 是一次函数．
153．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）已知一次函数 （k，b是常数，且 ）．
(1)若 ，此函数的图象过下列哪个点 ；
A． B． C． D．
(2)若该函数的图象经过 ， 两点，
①当 时，求函数值y的取值范围．
②当 时，对于x的每一个值，函数 的值都大于函数 的值，则t的取值范围为
154．（23-24八年级下·广东江门·期末）已知 分别是 的三条边长， 为斜边长， ，
我们把关于 的形如 的一次函数称为“勾股一次函数”，若点 在“勾股一次函数”图象
上，且 的面积为9，则 的值为 ．
155．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）两个一次函数 与 ，它们在同一直角坐标系
中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
156．（23-24八年级下·广东广州·期末）已知一次函数 的图象不经过第四象限．
(1)求 的取值范围；
(2)当 时，在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象；(3)在（2）的情况下，当 时，根据图象求出 的取值范围．
157．（23-24八年级下·山西长治·期末）(阅读与思考)阅读下列材料，完成相应任务．
高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称，他和阿基米德、牛顿并列为
世界三大数学家，高斯函数 也常应用于生活、生产的各个领域，高斯函数也叫取整函数，其符号
表示不超过 的最大整数，如： ， ， ．我们规定函数 ．
任务：
(1)求当 时，因变量 的值______；
(2)在所给的平面直角坐标系中补全函数 的图象；(先填写下表，再描点、连线)(3)根据作出的函数图象写出函数值 的取值范围；
(4)根据作出的函数图象写出函数的两条性质．
158．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在直角坐标系中画出一次函数 的图象，并完成下列问题：
(1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ；
(2)观察图象，当 时，y的取值范围是 ；
(3)将直线 沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式．
159．（23-24八年级下·吉林·期末）已知 关于 的一次函数 ．
(1)若 随 的增大而减小，求 的取值范围；
(2)若 ，当 时，直接写出 的取值范围．160．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）学习函数时，王老师带领同学们探索了函数 的图象和
性质，部分过程如下：自变量 的取值范围是全体实数， 与 的几组对应值如下表所示：
… 0 1 2 3 4 …
… 3 2 1 0 1 2 3 4 5 …
根据表格中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分．
(1)请补全该函数的图象；
(2)观察该函数图象，写出该函数的一条性质： ________；
(3)已知函数 （其中 为常量），当自变量的取值范围是 时，该函数的最大值为 ，
请求出满足条件的 的值．
161．（23-24八年级下·河北张家口·期末）已知y关于x的函数 ．
(1)若该函数是正比例函数，求k的值；
(2)若 ．
①写出该函数图象经过的象限；
②若点 ， 在该函数的图象上，且 ，比较 与 的大小关系．
162．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知直线L： 交x轴于点A，交y轴于点 ，
点 ， ，…在直线L上点 ， ， ，…在x轴的正半轴上，若 ， ， ，…均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则点 的坐标为 ．
163．（23-24八年级下·四川成都·期末）一次函数 与 的图象如图所示，则下列说法中正
确的是（ ）
A． B．
C．当 时， D．
164．（22-23八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与y轴交于点A，
与x轴交于点B，另一条直线经过点A和点 ，且与x轴交于点D．
(1)求直线 的解析式；
(2)求 的面积．
165．（23-24八年级下·广西河池·期末）综合与实践
同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数 的图象．
(1)列表：x … 0 1 2 …
y … 3 m n 3 …
表格中 _____________， _____________；
(2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论．
结论1：_____________；
结论2：_____________；
(4)写出关于 的方程 的解，并简单说明此方程的解是如何得到的．
166．（23-24八年级下·云南红河·期末）一次函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A． B．
C．y随x增大而增大 D．当 时，
167．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，直线
与 轴相交于点 ，与直线 相交于点 ．
(1)填空：
①线段 的长度为 ；
②方程组 的解为 ；
(2)结合图形直接写出 的解集；
(3)求 的面积．
168．（23-24八年级下·云南昆明·期末）在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象经过
点 和 ，
(1)求该一次函数的解析式；
(2)在所给的坐标系中画出该一次函数的图象，若点P是该一次函数的图象与函数 的图象的交点，求点P的坐标．
169．（23-24八年级下·福建泉州·期末）（1）知识再现：
如图1，在 中， ，顶点C在直线l上．过点A、B分别作 于点D，
于点E，求证： ．
（2）活动探究：
我们知道，在平面直角坐标系中，点 的位置与n的取值有关．小明同学想研究点N的位置
是否均在某一个函数图象上，于是联想到课本中的方法：①研究函数图象性质的方法，即列表、描点、连
线、验证；②类比解方程组的消元法，即设 ， ，用消元法可求得y与x的关系，即可以
知道点N在什么函数的图象上．
请你任选上述一种方法判断：对于m取任意一实数，相应的点 是否在某一个函数图象上？
请说明你的判断理由．
（3）拓展应用：
如图2，在直角坐标系中，点 轴于点A, 轴于点C,P是线段 上的一个动点，第一
象限内的点Q是直线 与直线 的交点，点R在平面内．若以A、P、Q、R，为顶
点的四边形是以 为对角线的正方形，求a的值．
170．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）某乐队举行专场音乐会，为学校师生提供了两种优惠方案，教师
票每张100元，学生票每张50元．方案一：购买一张教师票赠送1张学生票；方案二：按总价的 付款．新星学校有4名教师与 名学生购票听音乐会，若付款总金额为 （元）．
(1)分别写出两种方案中 与 的函数关系式；
(2)至少有多少名学生参加时，选择方案二的购票方案比方案一便宜？
171．（24-25八年级上·四川成都·期末）2025年春节即将来临，某商场为满足顾客需求计划购进一批香蕉
和橙子．已知购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元．
(1)请问香蕉和橙子的进价分别是多少元？
(2)该商场准备购进香蕉和橙子共1000千克，已知香蕉的售价为12元/千克，橙子的售价为15元/千克，其
中香蕉的进货量不低于350千克，且不高于450千克．在可以全部售出的情况下，请问总利润的最大值是
多少？
172．（23-24八年级下·云南红河·期末）文化赋能乡村振兴，某县以文明实践引领乡村治理，在群众聚集
地打造文化墙，以文化人、以文惠民、以文兴城，该县现欲购买 、 两种绘画工具用于打造文化手绘墙．
已知每件 种工具的单价比每件 种工具便宜 元，用 元购买 种工具的数量和用 元购买 种工具
的数量相同．
(1)求 、 两种工具的单价各是多少元．
(2)该县计划购买 、 两种工具共 件，且 种工具的数量不大于 种工具数量的 倍，请你帮忙设计出
最省钱的购买方案，并求出最低购买费用．
第二十章 数据的分析
173．（23-24八年级下·重庆巫山·期末）已知a，b，c，d的平均数是6，则 的平均
数是
174.（23-24八年级下·福建泉州·期末）某大学自主招生考试需考查数学和物理，综合得分按数学占 、
物理占 计算，若小安物理得分为 分，综合得分为 分，则小安数学得分是 分．
175．（23-24八年级下·全国·期末）某居民小区共有800户家庭，有关部门准备对小区的自来水管网系统
进行改造．为此，需了解该小区的自来水的用水情况，该部门通过随机抽样，调查了其中的30户家庭，已
知这30户家庭共有87人．
(1)这30户家庭平均每户多少人？（精确到0.1人）
(2)这30户家庭的月用水量如下表所示，求这30户家庭的人均日用水量．（一个月按30天计算，精确到
0.001吨）月用水量
4 6 7 12 14 15 16 18 20 25 28
（吨）
户数 1 2 3 3 2 5 3 4 4 2 1
(3)根据上述数据，试估计该小区的日用水量．（精确到0.1吨）
176．（23-24八年级下·河南商丘·期末）某校期末评价成绩是由完成作业、半期检测、期末考试三项成绩
构成的，如果期末评价成绩 分以上（含 分），则评为“优秀”．下表是小王和小李两位同学的成绩
记录：
完成作业 半期检测 期末考试
小王
小李
(1)若按三项成绩的平均分记为期末评价成绩，请计算小王的期末评价成绩；
(2)若将完成作业、半期检测、期末考试三项成绩按 的比例来确定期末评价成绩．小李在期末考试中
至少考多少分才能达到优秀？
177．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船计划成功发射，激发
了同学们的爱国热情．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进
行了测试．现从七、八年级各随机抽取了15名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析：
【数据收集】
七年级：68，70，72，73，78，82，83，84，85，85、89，92，93，96，98；
八年级：56，69，73，77，79，82，85，88，88，88，90，90，93，93，94；
【数据分析】
平均
年级 中位数 众数
数
七年级 83 a 85
八年级 83 88 b
根据以上信息，解答下列问题：
(1) ______， ______；
(2)请推断哪个年级的测试成绩较好，并说明理由（写出一条理由即可）；
(3)测试成绩在 分的学生可以获得奖励，若该校七年级有600名学生，八年级有660名学生，估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为多少？
178．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期末）2024年巴黎奥运会，即第33届夏季奥林匹克运动会，是由法国
巴黎举办的国际性奥林匹克赛事．本届奥运会将于2024年7月26日开幕，8月11日闭幕，在奥运会来临
之际，某校七、八年级开展了一次“奥运知识”竞赛，对学生的竞赛成绩按10分制进行评分，成绩（单位：
分）均为不低于6的整数，为了解这次竞赛活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的竞赛成绩
作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：已知八年级10名学生竞赛成绩的中位数为 ．请
根据以上信息，完成下列问题：
成
绩
6 7 8 9 10
/
分
人
1 2 a b 2
数
八年级10名学生竞赛成绩统计表
(1) ， ，
(2)样本中，七年级竞赛成绩为7分的学生数是 ，七年级竞赛成绩的众数为 ；
(3)若该校七、八年级共640人，八年级的人数是七年级人数的 还多10人，请你估计该校七、八年级一
共约有多少人的成绩为10分．
179．（23-24八年级下·安徽黄山·期末） 年 月 日是第十六个世界海洋日．世界海洋日的设立是为
了提醒公众对海洋环境的认识，呼吁全球行动保护海洋环境，为此， 我校举行了海洋知识竞赛．竞赛结束后，随机在八年级抽取 名学生的成绩，并将他们的成绩（满分 分）进行整理、描述和分析，按成
绩分为如下 组， 组： ， 组： ， 组： ， 组： ， 组：
，下面给出了部分信息．
信息 ：随机抽取的八年级学生竞赛成绩频数分布直方图如下图所示：
信息 ：八年级学生在 这一组的 位同学的竞赛成绩是：
．
信息 ：八年级学生在 这一组的 位同学的竞赛成绩是： .
信息 ：八年级成绩的平均分、中位数、众数（注：众数在 这一组里）如表：
平均 中位 众
分 数 数
请根据以上信息，解决以下问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)表中 ， ；
(3)请计算八年级学生在 这一组的 位同学竞赛成绩的方差；
(4)已知该校参加知识竞赛的学生共有 人，试估计该校成绩在 组的人数．
180．（23-24八年级下·河南新乡·期末）为迎接中考体育测试．本学期九年级学生共进行了五次体育模拟
测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完
整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程．
甲同学五次体育模拟测试成绩统计表
第二 第四
次数 第一次 第三次 第五次
次 次成绩
（分）
小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式．计算过程如下：
根据上述信息，完成下列问题：
(1) 的值是 ；
(2)根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由；
(3)如果甲再测试 次，第六次模拟测试成绩为 分，与前 次相比，甲 次模拟测试成绩的方差 ．
（填“变大”“变小”或“不变”）
181．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）明德中学开展“每天锻炼1小时”的春季强身健体计划，为了解
活动落实情况，从甲、乙两班各随机抽取15名同学，由被抽取同学填写的问卷获得以下信息．
信息1：从甲班抽取的15名同学一周的锻炼时长（h）统计如下．
时长（h） 1 2 3 4 5 6 7
人数 0 3 3 3 4 1 1
信息2：从乙班抽取的15名同学一周锻炼时长（h）的数据如下．
1，5，2，3，4，3，2，4，3，4，4，6，5，7，7
信息3：从甲、乙两班抽取学生一周锻炼时长（h）的平均数、中位数、众数和方差统计如下．
班
平均数 中位数 众数 方差
级甲 4 m 5 2.13
乙 p 4 n 2.93
根据以上信息，回答以下问题：
(1)表格中的 ______， ______， ______；
(2)从哪个班抽取的学生一周锻炼时长的数据更稳定？为什么？
(3)如果该校共有学生2400人，按抽取的学生一周的锻炼时长推算，该校一周锻炼时长不低于4h的学生共
有多少人？
182．（23-24八年级下·全国·期末）某校为了招聘一名优秀教师，对入选的两名候选人进行教学技能与专
业知识两种考核，现将甲、乙两人的考试成绩统计如下（单位：分）：
候选
教学技能考核成绩 专业知识考核成绩
人
甲 86 92
乙 93 83
校方认为教师的教学技能水平比专业知识水平重要，因此分别赋予它们6和4的权，并规定平均成绩高者
将被录取，试说明甲、乙两人谁将被录取？
183．（23-24八年级下·四川广安·期末）为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的
最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各10架，规定运行的最长时间用x（分）表
示，当 时为合格，当 时为中等，当 时为优等．记录下它们运行的最长时间，并对
数据进行统计分析．
10架A款智能玩具飞机一次充满电后运行的最长时间是：60，64，67，69，71，71，72，72，72，82．
10架B款智能玩具飞机一次充满电后运行的最长时间属于中等的数据是：70，71，72，72，73．
B款智能玩具飞机运行的最长时间扇形统计图
A、B两款智能玩具飞机运行的最长时间统计表：
统计 平均 中位 众 方
量 数 数 数 差
A a 71 b 30.4B 70 c 67 26.6
请结合以上信息回答下列问题：
(1)上述图表中， ______， ______， ______， ______．
(2)根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
184．（23-24八年级下·全国·期末）在祖国植物的百花园中，云南素有“植物王国”之称，云南枸杞的主
要产区为禄劝县和景东县，某枸杞种植改良试验基地对新培育的甲、乙两个枸杞品种各试种一亩，从两块
试验地中各随机抽取 棵，对其产量（千克/棵）进行整理分析 下面给出了部分信息：甲品种： ， ，
， ， ， ， ， ， ， ；乙品种：如图所示：
甲、乙品种产量统计表：
平均 中位 众
品种 方差
数 数 数
甲品
种
乙品
种
根据以上信息，完成下列问题：(1)填空： ______， ______；
(2)若乙品种种植 棵，估计其产量不低于 千克的棵数；
(3)请结合以上统计量中的某一个方面简要说明哪个品种更好．
