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专题 18.1 平行四边形【十大题型】
【人教版】
【题型1 由平行四边形的性质求解】......................................................................................................................2
【题型2 由平行四边形的性质证明】......................................................................................................................3
【题型3 判定平行四边形的条件】..........................................................................................................................5
【题型4 证明平行四边形】......................................................................................................................................6
【题型5 确定平行四边形的个数】..........................................................................................................................7
【题型6 利用平行四边形的判定与性质求解】.....................................................................................................8
【题型7 利用平行四边形的判定与性质证明】.....................................................................................................9
【题型8 平行四边形的判定与性质的应用】.......................................................................................................10
【题型9 利用平行四边形的判定与性质解决新定义问题】...............................................................................12
【题型10 利用平行四边形的判定与性质解决阅读类问题】...............................................................................14
知识点1：平行四边形的性质
性质 数学语言 图示
边 平行四边形的对
四边形 是平行四边形，
边相等
角 平行四边形的对
四边形 是平行四边形，
角相等
对角线 平行四边形的对
四边形 是平行四边形，
角线互相平分
【拓展延伸】
（1）证明平行四边形的性质时，一般通过作对角线把四边形转化为三角形来解答.
（2）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了理论依据.
（3）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成两个全等的三角形.
（4）平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，每个小三角形的面积都等于平行四边形
面积 的 四分之一 ；相邻两个三角形周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值.
【规律方法】（1）平行四边形的邻角互补；
（2）若一条直线经过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积.
【题型1 由平行四边形的性质求解】
【例1】（24-25八年级·吉林长春·期末）如图，在平行四边形ABCD中，
AB=6，AD=8，∠ADC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB 于点 F，延长FE交DC的延长线于点
G，则DE的长为（ ）．
A．❑√19 B．2❑√19 C．8 D．2❑√5
【变式1-1】（24-25八年级·全国·期末）如图， ▱ABCD的对角线相交于点O， 且AD≠CD， 过点O
作OM⊥AC， 交AD于点M．如果△CDM的周长为18， 那么 ▱ABCD的周长是 ．
【变式1-2】（23-24八年级·安徽黄山·期末）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，
AD=AE=BE，∠D=114°，则∠BAC的度数是 ．
【变式1-3】（2024·北京通州·二模）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点P为BC
上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值
．【题型2 由平行四边形的性质证明】
【例2】（23-24八年级·北京海淀·期末）如图1，AC和BD是 ▱ABCD的对角线，AB=BD．点E为射线
BD上的一点，连接AE．
(1)当点E在线段BD的延长线上，且DE=BD时，
①依题意补全图1；
②求证：AE=AC；
(2)如图2，当点E在线段BD上，且∠AEB=2∠ACD时，用等式表示线段AE，BE和AB的数量关系，并
证明．
【变式2-1】（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，在 ▱ABCD中，点E，F分别在AD、BC上，且
AE=CF，连接EF，AC交于点O．求证：OE=OF．
【变式2-2】（23-24八年级·陕西汉中·期末）如图，在 ▱ABCD中，连接AC，延长AC至点E，延长CA
至点F，使AE=CF，连接DF、BE．求证：∠F=∠E．【变式2-3】（23-24八年级·重庆渝北·期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，且
∠ABC=60°，点F为边AD上一点，连接BF交对角线AC于点G．
(1)如图1，已知CF⊥AD于点F，AB=6，BG=2GF，求线段FG的长．
(2)如图2，已知点E为边AB上一点，连接CE交线段BF于点H，且满足∠FHC=60°，CH=2BH，求证：
AH⊥CE．
知识点2：平行四边形的判定
判定方法 数学语言 图形
两组对边分别平行的四边
形是平行四边形.（定
义） 四边形 是平行四边形.
两组对边分别相等的四边
边
形是平行四边形.
四边形 是平行四边形.
一组对边平行且相等的四 （或 ），
边形是平行四边形.
四边形 是平行四边形.
对
对角线互相平分的四边形
角
是平行四边形.
线 四边形 是平行四边形.
【题型3 判定平行四边形的条件】
【例3】（23-24八年级·山东济宁·阶段练习）如图，在等边△ABC中，AB=5cm，射线AG∥BC，点E
从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度运动．如果点E，F同时出发，设运动时间为t(s)，则当t= s时，以A，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形．
【变式3-1】（23-24八年级·浙江绍兴·期末）如图，在 ▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，连接
AE，CF，AC，EF，添加下列条件后不能使四边形AECF成为平行四边形的是（ ）
A．BE=DF B．AE∥CF C．OE=OF D．AF=AE
【变式3-2】（23-24八年级·浙江·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC,BD相交于点O，点E，F在
对角线BD上，有下列条件：①BF=DE；②AE=CF；③∠EAB=∠FCO；④AF//CE．其中一定能
判定四边形AECF是平行四边形的是 ．
【变式3-3】（23-24八年级·湖南郴州·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，
BC=18cm，点P在AD边上以每秒3cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从
点C向点B运动．若P、Q同时出发，当直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形时．点P运动
了 秒．
【题型4 证明平行四边形】
【例4】（24-25八年级·山东济宁·期中）如图，D是△ABC内部的一点，连接BD，CD，把BD绕点B逆时针旋转60°得到线段BE，把CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AE，ED，DF，FA．
AB=BC=CA．
(1)若BD=6，求AF的长；
(2)求证：四边形AEDF是平行四边形．
【变式4-1】（24-25八年级·广东东莞·阶段练习）如图，同学们用直尺和三角板画平行线，将一块三角板
ABC的一边AC贴着直尺推移到A B C 的位置．连接BB ，证明得到的四边形ABB A 是平行四边形．
1 1 1 1 1 1
【变式4-2】（24-25八年级·安徽黄山·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，将△ABC
绕点A顺时针旋转108°得到△ADE，点B，C的对应点分别是D，E．连接EC交AB于点G．求证：四边
形ADEG是平行四边形．
【变式4-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的平分线AF交
CD于点E，交BC的延长线于点F．(1)求证：BF=CD；
(2)请在图中连接BE,AC,DF，若BE恰好平分∠ABF，求证：四边形ACFD是平行四边形．
【题型5 确定平行四边形的个数】
【例5】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在4×4的正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个
小正方形的顶点叫格点，定义：由格点为顶点的平行四边形叫格点平行四边形．图中以A、B为顶点，面
积为2的格点平行四边形的个数为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式5-1】（23-24八年级·北京顺义·期末）如图所示的4×4正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，
线段AB的两个端点都在格点上，若线段AB为 ▱ABCD的一边， ▱ABCD的四个顶点都在4×4正方形网
格的格点上，则这样的平行四边形的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．8个 D．11个
【变式5-2】（23-24八年级·安徽阜阳·期末）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个
数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式5-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横、纵方向相邻的
两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中的四个点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边形．图中
以A，B为顶点，面积为4的阵点平行四边形的个数为（ ）A．6个 B．7个 C．9个 D．11个
【题型6 利用平行四边形的判定与性质求解】
【例6】（24-25八年级·吉林长春·期末）如图，在等腰△ABC中，腰长为5，AB=AC，E，M，F分别
是AB，BC，AC上的点，并且ME∥AC，MF∥AB，则四边形MEAF的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．13
【变式6-1】（24-25八年级·四川遂宁·期末）如图，AD∥BC，AB=BD，以B为圆心，AD长为半径的
圆弧交射线BC于点E，连接DE．若∠BED=50°，则∠DBC的度数为 ．
【变式6-2】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC,E是AB的中点，
EF⊥CD于点F，若EF=6，四边形ABCD的面积为24，则CD的长为（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5【变式6-3】（23-24八年级·湖北襄阳期末）如图，在四边形ABCD中，
AC=BD,AC⊥BD,∠BAD=105°,AD=4❑√2，CD=13，则AB= ．
【题型7 利用平行四边形的判定与性质证明】
【例7】（23-24八年级·陕西咸阳·期末）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．
(1)如图1，若AB=CD，∠BAC=∠DCA，求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)在（1）的条件下，将对角线AC绕点O顺时针旋转一个角度a(0<a≤90°)，分别交AD，BC于点
E，F（如图2），求证：四边形BEDF是平行四边形；
(3)如图3，若AC⊥BD，AC=5，BD=12，求AD+BC的最小值．
【变式7-1】（24-25八年级·四川遂宁·期末）已知：如图，点O是平行四边形ABCD的对角线BD的中点，
E，F 分别是BC和AD上的点， 且AE∥FC．
(1)求证：四边形 AECF是平行四边形；
(2)求证：△ABE≌△CDF；
(3)求证：EF经过点O ．
【变式7-2】（23-24八年级·河南平顶山·期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接
CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)若CF=BC=5，AB=3，求平行四边形ACDF的面积．
【变式7-3】（23-24八年级·贵州毕节·期末）平行四边形ABCD中，点O是对角线BD中点，点E在边BC
上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF､DE，如图1．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)在（1）中，若DE=DC,∠CBD=45°，过点C作DE的垂线，与DE､BD､BF分别交于点G､H､R，如
图2
①当CD=6时CE=4时，求BE的长．
②探究BH与AF的数量关系，直接写出答案．
【题型8 平行四边形的判定与性质的应用】
【例8】（23-24八年级·河南平顶山·期末）如图1是某小区的倾斜式停车位，如图2是其示意图，工人在
绘制时会保证四边形停车位ABCD的边AD=BC=6m，边AB=CD=2.8m，且∠A=60°．求这个四边形
停车位的面积．【变式8-1】（23-24八年级·浙江金华·期中）如图所示，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），
现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？
【变式8-2】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当
遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆
MN固定在垂直于地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四
边形ABCD始终是平行四边形．
(1)若遮阳蓬完全展开时，CE长2米，在与水平地面呈60°的太阳光照射下，CE在地面的影子有______米
（影子完全落在地面）
(2)长支杆与短支杆的长度比（即CE与AD的长度比）是______．
【变式8-3】（23-24八年级·云南昭通·期末）巩义某中学体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四
级高度相等的小台阶．已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为1米的
不锈钢架杆AD和BC（杆子的底端分别为D,C），且∠DAB=60°，则所用不锈钢材料的总长度为
米．【题型9 利用平行四边形的判定与性质解决新定义问题】
【例9】（23-24八年级·湖南娄底·期末）定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（
0°<α<180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β=180°时，我们称
△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补
中心”．
特例感知：
（1）在图2，图3中，是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系AD= BC；
②如图3，当∠BAC=90°,BC=8时，则AD长为 ．
猜想论证：
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
【变式9-1】（23-24八年级·浙江宁波·期中）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸
四边形叫做等邻边四边形．(1)如图1，四边形ABCD的顶点A、B、C在格点上，请你在5×7的网格中分别画出3个不同形状的等邻边
四边形ABCD，要求点D在格点上；
(2)如图2，在 ▱ABCD中，E是BC上一点，F是DE上一点，AD=DE，∠AFE=∠B，请证明四边形
ABEF是等邻边四边形；
(3)如图3，在 ▱ABCD中，∠B=60°，AD=8，M、N分别为CD、BC边上一点（N不与两端点重合），
连结AM、AN，AM=AB，DM=3，当四边形ANCM是等邻边四边形时，请直接写出BN的长度．
【变式9-2】（23-24八年级·北京西城·期中）对于平面直角坐标系xOy中的图形M、N，给出如下定义：P
为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，称P，Q两点间距离的最小值为图形M，N间的“近距
离”，记作d(M,N)．在▱ABCD中，点A(6,12)，B(−6,0)，C(−6,−12)，D(6,0)．
(1)d（点O， ▱ABCD）=__________．
(2)若点P在y轴正半轴上，d（点P， ▱ABCD）=2，直接写出点P坐标；
(3)已知点E(a,−a)，F(a+2,−a)，G(a+1,−a−1)，H(a+3,−a−1)，顺次连接点E、F、H、G，将得到的四边形记为图形W．
①当a=0时，在图2中画出图形W，直接写出d(W ,▱ABCD)的值；
②若d(W ,▱ABCD)≥1，直接写出a的取值范围．
【变式9-3】（23-24八年级·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点Q，给出
如下定义：若在直线y=x上存在点P，使得四边形ABPQ为平行四边形，则称点Q为线段AB的“银杏
点”．已知A(0，5)，B(2，3)．
(1)在Q (−2，0),Q (0，4),Q (2,−2),Q (2，6)中，线段AB的“银杏点”是 ；
1 2 3 4
(2)点Q为直线y=kx+2上一点，若点Q是线段AB的“银杏点”且不在第二象限，求k的取值范围；
(3)已知正方形CDEF边长为1，以T(t，3)为中心且各边与坐标轴垂直，点M，N在线段AB上．若对于正
方形CDEF上的任意一点，都存在线段MN，使得该点为线段MN的“银杏点”，直接写出t的取值范围．
【题型10 利用平行四边形的判定与性质解决阅读类问题】
【例10】（23-24八年级·山东潍坊·期中）【阅读材料】
老师的问题：如图1，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，CD⊥BE，垂足为点O，
CD=6，BE=3，求BC+DE的值．
E EF∥DC BC
小亮的思路：过点 作 ，交 的延长线于
点F，构造△BEF（如图2），经过推理和计算能够求出BC+DE的值．
【解答问题】
（1）BC+DE的值是______；
（2）你还有其他添加辅助线的方法吗？写出你的求解过程；
（3）如图3， ▱ABCD中，E是BC上的一点，连接DE,AC，且交于点O，AC=12，EC=DE=5，AD=8，求证：AC⊥DE．
【变式10-1】（2024·江苏南通·八年级期末）【阅读材料】
【解答问题】请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确，给出证明；若不正确，说明
理由．
小明的作法：（1）连接AC，BD，相
老师的问题：如图，在□ ABCD中，点E在BC上，连接
交于点O；
AE，只用一把无刻度的直尺，求作四边形AECF，使得 （2）连接EO并延长，交AD于点F；
四边形AECF是平行四边形． （3）连接CF．四边形AECF即为所
求．
【变式10-2】（2024·山西吕梁·八年级期末）阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的学习任务．
斯坦纳一雷米欧斯定理
对于命题“等腰三角形的两个底角的平分线相等”，利用全等三角形的
知识很容易获得证明，1840年德国数学家雷米欧斯(C.L.Leℎmus)在
他给斯图姆(C.Sturm,1803−1855)的信中提出了它的逆命题“如果三
角形中两内角平分线相等，三角形必为等腰三角形”，并要求给出这一
命题的几何证明.后来瑞士几何学家斯坦纳(J.Steiner,1796−1863)给
出了证明，因此把这一定理叫做斯坦纳−雷米欧斯定理．
下面给出该定理的一种证明方法(不完整)：
已知：如图，在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分
线，且BD=CE．
求证：AB=AC．
证明：如图，作∠BDF=∠1，取DF=BC，连接BF，且使点F，C
在BD的两侧，过点F作FH⊥AC，垂足为H，过点C作CG⊥BF，
交FB的延长线于点G．
∵BD=CE，∴△BDF≌△ECB，
∴∠DFB=∠ABC，∠DBF=∠BEC．
∵∠3=∠4，∠CBF=∠DBF+∠3，∠7=∠BEC+∠4，
∴∠CBF=∠7．
∵∠7=∠2+∠BDC，(依据1)∠BDF=∠1=∠2，
∴∠7=∠CDF，
∴∠CBF=∠CDF，
∴∠5=∠6，
∴△BGC≌△DHF．(依据2)
学习任务：
(1)分别写出上述证明过程中的“依据1”和“依据2”．
依据1：______．
依据2：______．
(2)在上面证明过程的基础上，求证：四边形FBCD是平行四边形．
(3)请结合材料和(2)中的证明过程，完成该定理的证明．
【变式10-3】（23-24八年级·山东临沂·期末）如图，已知△ABC和△ADE是等边三角形，点D、F分别为
边BC、AB上的点，且CD=BF，连接EF、CF．
(1)小华同学猜想：“四边形EDCF是平行四边形”，下面是她的证明过程，请阅读并将其证明过程补充完
整．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AC=CB，∠ACD=∠CBF=60°，
在△ACD和△CBF中
{
AC=CB
)
∠ACD=∠CBF ．
CD=BF
(2)若，求四边形的面积．
