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专题 21.5 期末复习之选择压轴题十五大题型总结
【人教版】
【题型1 二次根式的化简求值】..............................................................................................................................1
【题型2 二次根式的值是整数】..............................................................................................................................2
【题型3 由勾股定理求最值】..................................................................................................................................2
【题型4 由勾股定理求面积】..................................................................................................................................3
【题型5 由勾股定理的逆定理判断三角形形状】.................................................................................................4
【题型6 由平行四边形的性质求解】......................................................................................................................5
【题型7 矩形、菱形、正方形中的翻折问题】.....................................................................................................6
【题型8 矩形、菱形、正方形中的动点问题】.....................................................................................................7
【题型9 动点问题函数图像】..................................................................................................................................8
【题型10 一次函数性质的运用】............................................................................................................................10
【题型11 一次函数中的行程问题】........................................................................................................................11
【题型12 与一次函数有关的几何应用】................................................................................................................13
【题型13 数式或图形中新定义问题】....................................................................................................................14
【题型14 数式或图形中规律问题】........................................................................................................................15
【题型15 数式或图形中多结论问题】....................................................................................................................17
【题型1 二次根式的化简求值】
【例1】（2024八年级·河南洛阳·期末）设a为√3+√5-√3-√5的小数部分，b为√6+3√3-√6-3√3的
2 1
小数部分，则 - 的值为（ ）
b a
A．√6+√2-1 B．√6-√2+1 C．√6-√2-1 D．√6+√2+1
【变式1-1】（2024八年级··北京朝阳·期末）已知实数x，y满足（x- ）（y- ）
√x2-2008 √y2-2008
=2008，则3x2-2y2+3x-3y-2007的值为（ ）
A．-2008 B．2008 C．-1 D．1
【变式1-2】（2024八年级·安徽芜湖·自主招生）当 时， √x-2√3 √x+2√3 的值为
x=4 -
√x2-4√3x+12 √x2+4√3x+12（ ）
A．1 B．√3 C．2 D．3
1
【变式1-3】（2024八年级·湖北武汉·期末）已知x＝ ，则x6﹣2√2019x5﹣x4＋x3﹣2√2020
√2020-√2019
x2＋2x﹣√2020的值为（ ）
A．0 B．1 C．√2019 D．√2020
【题型2 二次根式的值是整数】
√ 2 √5
【例2】（2024八年级·江苏泰州·期末）已知m、n是正整数，若 + 是整数，则满足条件的有序数对
m n
（m，n）为（ ）
A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是
【变式2-1】（2024八年级·重庆巴南·期末）如果关于x的不等式组¿的解集为x>2，且式子√3-|m|的值是
整数，则符合条件的所有整数m的个数是（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式2-2】（2024八年级·北京朝阳·期末）若√12-n是整数，则满足条件的自然数n共有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
√x
【变式2-3】（2024八年级·河北邢台·期末）已知√18x+2 +√2x=m，若x的值为整数，则m的值可
2
能为（ ）
A．10 B．8 C．4 D．-25
【题型3 由勾股定理求最值】
【例3】（2024八年级·山东烟台·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，D为BC的
中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值是（ ）
A．√5+1 B．√3 C．√5 D．√3+1
【变式3-1】（2024八年级·辽宁朝阳·期末）如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF=1，则GE+CF的最小值为（ ）
A．2√3 B．2√2 C．3√2 D．3√3
【变式3-2】（2024八年级·江苏苏州·期末）如图，在边长为4的等边△ABC中，D 是BC的中点，点E在
线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF，当DF最小时，AE的长度为（ ）．
A．√2 B．2 C．√3 D．3
【变式3-3】（2024八年级·重庆忠县·期末）如图，已知线段AB=4，∠BAC=15°，点E为AC边上动点，
√2
则 (AE+√2BE)的最小值为（ ）
2
A．2 B．2√2 C．2√3 D．6
【题型4 由勾股定理求面积】
【例4】（2024八年级·江苏泰州·期末）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了
“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC
为等边三角形，AD、BE、CF围成的△DEF也是等边三角形．已知点D、E、F分别是BE、CF、AD的
中点，若△ABC的面积为14，则△DEF的面积是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4-1】（2024八年级·浙江温州·期末）如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，∠ACB=90°，则
S 、S 、S 、S 的关系为（ ）
1 2 3 4
A．S +S +S =S B．S +S =S +S C．S +S =S +S D．不能确定
1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 2 4
【变式4-2】（2024八年级·陕西西安·期末）如图，分别以Rt△ACB的直角边AB和斜边AC为边向外作正
方形ABGF和正方形ACDE，连结EF．已知CB=6，EF=10，则△AEF的面积为（ ）
A．6√3 B．8√3 C．24 D．12
【变式4-3】（2024八年级·浙江绍兴·期末）已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点O是两个底角的角
平分线交点，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S ,S ,S ,S ．若
0 1 2 3
11
S +S +S = S ，则线段OP长的最小值是（ ）
1 2 3 6 0
5 19 7
A． B．2 C． D．
3 6 2
【题型5 由勾股定理的逆定理判断三角形形状】
【例5】（2024八年级·河南许昌·期末）若a，b，c为△ABC的三条边，满足
a2+b2+c2-12a-16b-20c+200=0，则△ABC的形状为（ ）A．等边三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
【变式5-1】（2024八年级·安徽合肥·期末）一个三角形的三边长都是整数，它的周长为12，则这个三角
形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．以上三种情况都有可能
【变式5-2】（2024八年级·山东烟台·期末）设三角形的三边a、b、c满足a4-b4-c4-2b2c2=0，则这个
三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定
【变式5-3】（2024八年级·河南南阳·期末）已知△ABC的三边长分别为a，b，c且
a+b=4,ab=1,c=√14，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
【题型6 由平行四边形的性质求解】
【例6】（2024八年级·安徽淮北·期末）如图，点P为平行四边形ABCD外一点，连接PA，PB，PC，
PD，若△PAB的面积为8，△PAD的面积为4，△PCD的面积为7，则△PBC的面积为（ ）．
A．21 B．19 C．17 D．15
【变式6-1】（2024八年级·江苏无锡·期末）已知在平行四边形ABCD中， AB=3√2，
AD=6,∠ABC=45°，点E在AD上，BE=DE，将△ABD沿BD翻折到△FBD，连接EF，则EF的长
为（ ）
A．2√3 B．√13 C．√15 D．4
【变式6-2】（2024八年级·江苏无锡·期末）□ABCD中，∠ABC的角平分线交线段AD于点E，DE=1，
点F是BE中点，连接CF，过点F作FG⊥BC，垂足为G，设AB=x，若□ABCD的面积为8，FG的长为
整数，则整数x的值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．1或3
【变式6-3】（2024八年级·浙江杭州·期末）如图在 ▱ABCD中，∠ABC=60°，BC=2AB=8，点C关
于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，BG．则△BEG的面积为（ ）
A．16√3 B．14√3 C．8√3 D．7√3
【题型7 矩形、菱形、正方形中的翻折问题】
【例7】（2024·陕西·期末）如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的
四边形EFGH，若EH=3,EF=4，则边BC的长是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【变式7-1】（2024八年级·重庆涪陵·期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，将△
BCE沿BE翻折至△BFE，连接DF，则DF的长度是（ ）√5 2√5 3√5 4√5
A． B． C． D．
5 5 5 5
【变式7-2】（2024八年级·山东济南·期末）如图，边长2的菱形ABCD中，∠A=60∘，点M是AD边的
中点，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为( )
A．√6 B．√6-1 C．√7 D．√7-1
【变式7-3】（2024八年级·江苏宿迁·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点O为矩形
ABCD的对称中心，点E为边AB上的动点，连接EO并延长交CD于点F．将四边形AEFD沿着EF翻折，
得到四边形A'EFD'，边A'E交边BC于点G，连接OG、OC，则△OGC的面积的最小值为（ ）
9 3√7 3√7
A．18－3 B． +3√7 C．12- D．6+
2 2 2
【题型8 矩形、菱形、正方形中的动点问题】
【例8】（2024八年级·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形ABCO，B(4,3)，点
D为x轴上的一个动点，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接OE，则OE的最小值为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.4【变式8-1】（2024八年级·吉林·期末）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上
的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（ ）．
A．逐渐增加 B．逐渐减小
C．保持不变且与EF的长度相等 D．保持不变且与AB的长度相等
【变式8-2】（2024八年级·河南信阳·期末）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，点E是
BC边上的动点，连接OE并延长交AB的延长线于点P，过点O作OQ⊥OP交CD于点F，交BC延长线于
点Q，连接PQ．若点E恰好是OP中点时，则PQ的长为（ ）
A．2 B．√2 C．√5 D．√10
【变式8-3】（2024八年级·浙江绍兴·期末）如图，在边长为√2的正八边形ABCDEFGH中，已知I，J，
K，L分别是边AH，BC，DE，FG上的动点，且满足IA=JC=KE=LG，则四边形IJKL面积的最大
值为（ ）
A．4+2√2 B．2+2√2 C．4+√2 D．2+4√2【题型9 动点问题函数图像】
【例9】（2014·北京·中考真题）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时
针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如右图所示，
则该封闭图形可能是( )
A． B． C． D．
【变式9-1】（2024八年级·山东潍坊·期末）如图，在直角坐标系中，有一矩形ABCD，长AD=2，宽
AB=1, AB// y轴，AD//x轴．点D坐标为(3,1)，该矩形边上有一动点P，沿A→B→C→D→A运
动一周，则点P的纵坐标y 与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是( )
p
A． B．
C． D．
【变式9-2】（2024八年级·安徽芜湖·期末）如图1， O过正方形ABCD的顶点A、D且与边BC相切于点
E，分别交AB、DC于点M、N．动点P在 O或正方⊙形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运
⊙动．设运动的时间为x，圆心O与P点的距离为y，图2记录了一段时间里y与x的函数关系，在这段时间
里P点的运动路径为（ ）
A．从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段BM→线段BC
B．从B点出发，沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DA
C．从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CN
D．从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线段AB
【变式9-3】（2024·河南平顶山·期末）如图1，在△ABC中，∠ABC=60°．动点P从点A出发沿折线
A→B→C匀速运动至点C后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y随x变化的关系
图像，其中M为曲线DE的最低点，则△ABC的面积为（ ）
4√3 2√3
A．4√3 B． C．2√3 D．
3 3
【题型10 一次函数性质的运用】
【例10】（2024八年级·福建漳州·期末）在平面直角坐标系中，一次函数
y ＝m（x+3）-1（m≠0） 和y ＝a（x-1）+2（a≠0） ，无论x 取何值，始终有y ＞y
1 2 2 1
，m 的取值范围为（ ）
3 3 3 3
A．m≥ B．m> C．m≤ 且m≠0 D．m< 且m≠0
4 4 4 4
【变式10-1】（2024八年级·福建泉州·期末）如图，直线y=ax+b与x轴交于A点(4,0)，与直线y=mx交
于B点(2,n)，则关于x的一元一次方程ax-b=mx的解为（ ）A．x=2 B．x=-2 C．x=4 D．x=-4
【变式10-2】（2024八年级·福建福州·期末）一次函数y＝kx+b的部分自变量与相应的函数值如表：
x m 2﹣m
y n p
若满足m＜1，n+p＝b2+4b+3，则n与p的大小关系为（ ）
A．n＜p B．n≤p C．n＞p D．n≥p
【变式10-3】（2024·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，将函数y=3x的图象向上平移m个单位长度，
使其与y=-3x+6的交点在位于第二象限，则m的取值范围为（ ）
A．m<6 B．m>6 C．m<2 D．m>2
【题型11 一次函数中的行程问题】
【例11】（2024·重庆九龙坡·期末）甲乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车从A地匀速驶向B地，乙
车从B地匀速驶向A地．两车之间的距离y（单位：km）与两车行驶的时间x（单位：h）之间的关系如图
所示，已知甲车的速度比乙车快20km/h．下列说法错误的是（ ）
A．A、B两地相距360km B．甲车的速度为100km/h
18
C．点E的横坐标为 D．当甲车到B地时，甲乙两车相距280km
5
【变式11-1】（2024八年级·重庆·期末）周末老张和小胜相约从各自的家出发去体育馆打羽毛球，且老张
家，小胜家，体育馆顺次在同一直线上，老张先从家出发4分钟后来到小胜家和小胜汇合，汇合时间忽略
不计，两人以老张的速度一起走了4分钟后，小胜发现自己装备带错了需回家换装备，于是立即加速回家
用了少许时间取了装备后又以加速后的速度赶往体育馆，老张仍以原速前行，结果小胜比老张提前1分钟
到达体育馆．若老张与小胜两人和体育馆之间的距离y（米）与小胜出发的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．则以下说法错误的是（ ）．
A．小胜加速后的速度为250米/分钟
B．老张用了24分钟到达体育馆
C．小胜回家后用了0.6分钟取装备
D．小胜取了装备后追上老张时距离老张家3025米
【变式11-2】（2024八年级·重庆·期末）已知A、B、C三地顺次在同-直线上，甲、乙两人均骑车从A地
出发，向C地匀速行驶.甲比乙早出发5分钟；甲到达B地并休息了2分钟后，乙追上了甲.甲、乙同时从B地
5
以各自原速继续向C地行驶.当乙到达C地后，乙立即掉头并提速为原速的 倍按原路返回A地，而甲也立
4
即提速为原速的二倍继续向C地行驶，到达C地就停止.若甲、乙间的距离y(米)与甲出发的时间t(分)之间的
函数关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．甲、乙提速前的速度分别为300米/分、400米/分.
B．A、C两地相距7200米
C．甲从A地到C地共用时26分钟
D．当甲到达C地时，乙距A地6075米
【变式11-3】（2024八年级·重庆·期末）已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙
两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，
2
发现此时与出租车相距120km，货车改变速度继续出发 h后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原
3路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间
的函数图象，则下列说法错误的是（ ）
A．a=120
B．点F的坐标为(8,0)
C．出租车从乙地返回甲地的速度为128km/h
125 123
D．出租车返回的过程中，货车出发 h或 h都与出租车相距12km
17 15
【题型12 与一次函数有关的几何应用】
【例12】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，一次函数y=x+√2的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把
直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（ ）
A．√6+√2 B．3√2 C．2+√3 D．√3+√2
【变式12-1】（2024八年级·广东深圳·期末）如图，在直角坐标系中，等腰Rt△ABO的O点是坐标原点，
A的坐标是(-8,0)，直角顶点B在第二象限，等腰Rt△BCD的C点在y轴上移动，我们发现直角顶点D点
随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是（ ）．1
A．y=-2x+2 B．y=- x+4 C．y=-3x-4 D．y=-x+4
2
【变式12-2】（2024·福建·期末）如图，△ABC的顶点A(-8,0)，B(-2,8)，点C在y轴的正半轴上，
AB=AC，将△ABC向右平移得到△A'B'C'，若A'B'经过点C，则点C'的坐标为（ ）
(7 ) (7 )
A． ,6 B．(3,6) C． ,6 D．(4,6)
4 2
【变式12-3】（2024·河南·期末）如图，正方形OABC中，点A（4，0），点D为AB上一点，且BD＝1，
连接OD，过点C作CE⊥OD交OA于点E，过点D作MN∥CE，交x轴于点M，交BC于点N，则点M的坐
标为（ ）
25 27
A．（5，0） B．（6，0） C．（ ，0） D．（ ，0）
4 4
【题型13 数式或图形中新定义问题】
【例13】（2024八年级·江苏镇江·期末）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则
称点A为“成双点”．例如：如图，点B(-1.5,0.5)到x轴、y轴的距离分别为0.5,1.5，距离和为2，则点
B是“成双点”，点C(1,1),D(-0.8,-1.2)也是“成双点”．一次函数y=kx+b(k≠0)的图象l经过点
(-3,-4)，且图象l上存在“成双点”，则k的取值范围为（ ）2 4 4 2
A． ≤k≤2 B． ≤k≤2 C． ≤k≤4 D． ≤k≤4
3 5 5 3
【变式13-1】（2024·湖北武汉·八年级期末）如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横、纵方向相
邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中的四个点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边形．
图中以A，B为顶点，面积为4的阵点平行四边形的个数为（ ）
A．6个 B．7个 C．9个 D．11个
【变式13-2】（2024八年级·福建三明·期末）对于实数a,b，定义符号min{a,b}其意义为：当a≥b时，
min{a,b}=b；当a
