文档内容
专题04 正方形的判定与性质重难点题型专训（15大题型+15道提优训练）
题型一 正方形的性质理解
题型二 根据正方形的性质求角度
题型三 根据正方形的性质求线段长
题型四 根据正方形的性质求面积
题型五 正方形折叠问题
题型六 根据正方形的性质证明
题型七 证明四边形是正方形
题型八 根据正方形的性质与判定求角度
题型九 根据正方形的性质与判定求线段长
题型十 根据正方形的性质与判定求面积
题型十一 根据正方形的性质与判定证明
题型十二 中点四边形
题型十三 （特殊）平行四边形的动点问题
题型十四 四边形中的线段最值问题
题型十五 四边形的其他综合问题
知识点1：正方形的概念与性质
1.概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
2.性质：
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分
成四个全等的小等腰直角三角形
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
知识点2：正方形的判定
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）对角线相等的菱形是正方形；
（3）对角线互相垂直的矩形是正方形。注意：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形
（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。
【经典例题一 正方形的性质理解】
【例1】（24-25九年级上·贵州毕节·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角互补
C．对角线互相平分 D．对角线相等
1．（24-25九年级上·广东河源·期中）已知4个完全相同的正方形的面积之和为100，则正方形的对角线长
为（ ）
A．2 B．5 C． D．10
2．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形 是正方形，点B的坐标
为 ．
（1）若直线 恰好经过点B，则 ；
（2）若直线 将正方形分成面积相等的两部分，则 ．
3．（23-24八年级下·黑龙江双鸭山·期末）我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边
形”．(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“宁美四边形”的是
___________（填序号）；
(2)如图，在正方形 中， 为 上一点，连接 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，连
、 ．求证：四边形 是“宁美四边形”；
【经典例题二 根据正方形的性质求角度】
【例2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点 在正方形 的内部，且 是等边三角形，
连接BD，DE，则 （ ）
A． B． C．30° D．
1．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，四边形 是正方形，以 为边作等边三角形 ，
与 相交于点 ，则 的度数是 ．
2．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）如图，四边形 为正方形，点 是 延长线上一点，且
，连接 ，交 于点 ，则 的度数为3．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在 中， ，以 为边向外作正方形
，对角线 与 交于点 ，若 ，求 的度数．
【经典例题三 根据正方形的性质求线段长】
【例3】（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，正方形 的一条边 与等腰 的一条边 在
同一直线上， 分别交 于点G， ．已知 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25九年级上·海南儋州·期末）如图，在边长为 的正方形 中，点 是 上一点，点 是
CD延长线上一点，连接 ， 平分 交CD于点 ．若 ，则 的长度为（ ）A．2 B． C． D．
2．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，边长为3的正方形 中， 为 边上一点，且 ，
是对角线 上的一个动点，则 的最小值为 ．
3．（24-25八年级上·全国·期末）如图，边长为6的正方形 中，M为对角线 上的一点，连接
并延长交 于点P．若 ，求 的长．
【经典例题四 根据正方形的性质求面积】
【例4】（24-25九年级上·辽宁本溪·期末）如图，正方形 是小明用木条制作的一个学具，在取放学
具时，学具发生了形变，此时 ，则形变后四边形 的面积是原正方形 面积的（ ）A． B． C． D．
1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图， 中， ， ， ．分别以 ，
， 为边在 的同侧作正方形 ， ， ，四块阴影部分的面积分别为 ， ， ，
．则 等于（ ）
A．64 B．60 C．56 D．52
2．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，正方形 的对角线相交于点 ，以点 为顶点的正方形
的两边 ， 分别交正方形 的两边AB， 于点 ， ，记 的面积为 ，
的面积为 ，若正方形的边长 ， ，则 的大小为 ．3、（24-25八年级上·重庆巴南·阶段练习）四边形 和四边形 都是正方形、 、 、 三点在
同一直线上．
(1)如图1，点 在线段 上，点 在线段 上，延长 ， 分别交 ， 于点 ， ，连接 ，
， ．
①若 ，求三角形 的面积；
②若正方形 和正方形 的边长分别为 ，且 ， ，记三角形 的面积
为 ，四边形 的面积为 ，用含有 ， 的代数式表示 ，并求出 的值；
(2)如图2，点 ， 分别在线段 ， 的延长线上，连接 ，记正方形 和正方形 的面积
分别为 ， ．若 ， ，则直接写出 的面积．（用含 ， 的代数式表示）
【经典例题五 正方形折叠问题】
【例5】（24-25九年级上·重庆·期末）如图，已知正方形 的边长为 ，点 是正方形 的边
上的一点，点 关于 的对称点为 ，若 ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，将正方形 折叠，使点A与 的三等分点E重合，折痕
为 ，设梯形 的面积为 ，梯形 的面积为 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
由翻折知 ， ，
设 ，则 ，设 ，则 ，
∵正方形 ，
∴ ， ,2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，正方形 的边长是4，点 在边 上， ，点
是边 上不与点 重合的一个动点，把 沿 折叠，点 落在 处．若 恰为等腰三角形，
则 的长为 ．
3．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，将正方形 折叠，使点B落在 边的中点Q处，点A
落在P处，折痕为 ．已知 长为 ．
(1)求线段 的长；
(2)线段 的长．
【经典例题六 根据正方形的性质证明】
【例6】（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，已知四边形 为正方形， ， 为对角线
上一个动点，连接 ．过点 作 ，交 于点 ，以 ， 为邻边作矩形 ，连接
．(1)求证：矩形 是正方形（提示：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ．
(2)探究： 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
1．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）（1）【观察猜想】我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为
直角．如图1，在正方形 中，点E，F分别在边 ， 上，连接 ， ， ，并延长 到点
G，使 ，连接 ．若 ，则 ， ， 之间的数量关系为 ；
（2）【类比探究】如图2，当点E在线段 的延长线上，且 时，试探究 ， 、 之间
的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展应用】如图3，在 中， ，D，E在 上， ，若 的面积
为 ， ，请求出 的面积．
2．（24-25九年级上·四川广安·期末）如图， 是正方形 的边 上一点，将 绕点 逆时针旋
转一定角度后得到 ，连接 ．
(1)旋转角为_____度．；
(2)请判断 的形状，并说明理由．
3．（24-25九年级上·青海西宁·期末）综合与实践
【问题提出】
如图，在正方形 中，点M，N分别在边 ， 上，且 ．求证： ．
【思路梳理】我们可以利用本学期学习的旋转变换，将三条线段 ， ， 转化到同一个三角形中．（将下列分
析过程补充完整）
（1）证明：将 绕点A顺时针旋转 得到 ，
________ ________，
，
，
正方形 ，
，
，
， ， 三点共线
只需再证________ ________（________），
可得 ，
，
；
【类比引申】
（2）如图，在四边形 中， ， ，点M，N分别在边 ， 上，且
，则结论 是否仍然成立？并说明理由；
【联想拓展】
（3）如图，在 中， ， ，点D，E在 边上，且 ，则 ， ，
满足的数量关系是________．【经典例题七 证明四边形是正方形】
【例7】（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在 中， ， 为 中点，过点 作
，交 于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接， ， ．
(1)判断四边形 的形状，并说明理由．
(2)当 满足条件_______时，四边形 是正方形．
1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在学习了特殊平行四边形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了深
入研究，他们发现了一种构造菱形的方法．请你根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，在 中， 平分 ，过点 作 交 于点 ．用尺规在线段 的左侧作
，射线 交 于点 ．
(2)已知：在 中， 平分 ，过点 作 交 于点 ， ，射线 交
于点 ．求证：四边形 是菱形．
证明： ，
① ．
又 ，四边形 是 ② ．
平分 ，
．
又 ，
③ ．
．
④ ．
四边形 是菱形．
进一步思考，当 是直角三角形， 时，请写出你的结论：四边形 是 ⑤ ．
2．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，已知在 中， ， ．
(1)尺规作图：以点 为圆心， 的长为半径画弧．再以点 为圆心， 长为半径画弧，两弧在 上方
交于点 ，连接 ， ， （不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：四边形 是正方形．
3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践
探究活动．
定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
【概念理解】如图①，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形
．判断四边形 的形状： 筝形（填“是”或“不是”）；
【性质探究】如图②，已知四边形 纸片是筝形，连结 ，BD相交于点O．
请补充结论1，再从不同角度写一个正确的结论2．结论1：筝形的内角和为 ．结论2： ．
【拓展应用】如图③，AD是锐角 的高，将 沿边AB翻折后得到 ，将 沿边 翻
折后得到 ，延长 ， 交于点G．
（1）求证：四边形 是筝形；
（2）若 ， ， ， ，求CD的长．
【经典例题八 根据正方形的性质与判定求角度】
【例8】（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，将正方形 绕点A顺时针旋转 ，得到正方形
， 的延长线交 于点H，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24八年级下·福建宁德·期末）如图，在四边形 中， ， ， ，
则 的度数是 °．
2．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，已知 ， 为线段 上一动点．
将 沿 翻折至 ，延长 交射线 于点 ．(1)如图1，当 为 的中点时，求出 的长．
(2)如图2，延长 交 于点 ，连接 ，求证： ．
3．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，
CE∥BD．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若AB=AD，求∠ADE的度数．
【经典例题九 根据正方形的性质与判定求线段长】
【例9】（24-25九年级上·重庆巫山·期末）如图， 为正方形 内一点， ， ，
，将 绕点 按顺时针方向旋转90°，得到 ．延长 交 于点 ，连接DE．则DE
的长为（ ）
A． B． C． D．1．（24-25九年级上·河南·期末）如图，在四边形 中， ， ，以 为腰作等腰直
角三角形 ，顶点 恰好落在 边上，若 ，则 的长是（ ）
A． B． C．2 D．1
2．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图， 为正方形 内一点， ， ， ，
将 绕点 按顺时针方向旋转 ，得到 ．延长 交 于点 ，连接 ， 的长为
．
3．（24-25九年级上·吉林松原·阶段练习）【教材呈现】
如图是某数学教材中平行四边形的性质章节中的部分内容．
探究如图，在 中，连接 ， ，并设它们相交于点 ， 与 ，
与 有什么关系?
（1）如图 ，在 中， 与 之间的数量关系为______， 与 之间的数量关系为______；
【性质应用】
（2）如图 ， 的对角线 ， 相交于点 ， 过点 且与 ， 分别相交于点 ， ，
连接 ， ．
求证：四边形 是平行四边形；
若 ， ， 的周长是 ， ，则 的长是______．【经典例题十 根据正方形的性质与判定求面积】
【例10】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点 是正方形 的对角线 上的一点，连接 ，
过点 作 ，垂足为 ，若 ， ，则正方形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24八年级下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，语文中的汉语拼音书写是由等距离、等长度的四线三
格平行横线组成，已知相邻两条平行线间的距离都是1，正方形 的四个顶点分别在四条直线上，则
正方形 的面积为（ ）
A． B． C．3 D．5
2．（2024·吉林长春·一模）如图，将矩形纸片 沿过点D的直线折叠，使点A落在 边
上的点F处，折痕为 ，连接 ，再将 沿直线 折叠，使点B落在 上的点G处，若，则 （阴影部分）的面积为 ．
3．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在 中， ， 为 边的中点，四边形
是平行四边形， 、 相交于点 ．
(1)求证：四边形 是矩形．
(2)若 ， 时，求 的面积．
【经典例题十一 根据正方形的性质与判定证明】
【例11】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点E为正方形 外一点， ，
将 旋转得到 ， 的延长线交 于H点．
(1) 绕点 逆时针方向旋转 得到 ；
(2)试判定四边形 的形状，并说明理由；
(3)已知 ， ，求 的长．1．（2025·山东临沂·一模）【问题情境】
如图 1 ，在矩形 中，E 是边 上的一点，过点 D 作 ，过点 D 作 ， 过点
A 作 ，且 ．
【基础探究】
（1）判断图 1 中四边形 的形状，并说明理由；
【深入探究】
（2）如图 2 ，当 E 在 延长线上时，其他条件不变，请写出 ， ， 之间的数量关系， 并
证明；
【拓展迁移】
（3）如图 3 ，在（2）的条件下，连接 ， ，当 E 在 延长线上的位置发生改变时，判 断
的大小是否发生变化，请说明理由．
2．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图1，菱形 中， ，点E为对角线 上一动点，连
接 ．
(1) 与 的等量关系是______；
(2)如图2，将线段 绕点E逆时针旋转，使点E的对应点F落在直线 上
①问： 与 有怎样的等量关系？并说明理由．
②当 时，如图3，延长 交 的延长线于G，求证： ．3．（24-25九年级上·四川达州·期中）如图，点E为正方形 对角线 上一点，连接 ， ．过
点E作 ，交边 于点F，以 ， 为邻边作矩形 ．
(1)求证：矩形 是正方形；
(2)连接 ，若正方形 的边长为9， ，求正方形 的边长．
【经典例题十二 中点四边形】
【例12】（23-24九年级下·内蒙古包头·阶段练习）如图，在任意四边形 中，M，N，P，Q分别是
的中点．以下结论：①当 时，四边形 为正方形；②当 时，四边
形 为菱形；③当 时，四边形 为矩形；④四边形 一定为平行四边形．其中正
确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
1．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形 边 、 、 、
的中点，则下列命题中：①若 ，则四边形 为矩形；②若 ，则四边形 为
菱形；③若四边形 是平行四边形，则 与 互相平分；④若四边形 是正方形，则 与
互相垂直且相等．其中是真命题的序号是 ．2．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图， ， ， ， 分别是四边形 各边的中点，顺次连接
， ， ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)当四边形 的对角线 ， 满足______时，四边形 是正方形．
3．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形 的四边中点E，F，G，H依
次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题时，有如下思路：连接 ．
结合小敏的思路作答：
（1）若只改变图1中四边形 的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由；
参考小敏思考问题的方法，解决以下问题：
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接 ，BD．当 与BD满足什么关系时，四边形EFGH是正方
形．直接写出结论．【经典例题十三 （特殊）平行四边形的动点问题】
【例13】（新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题）如图，
在正方形 中， ， 是 上的一点且 ，连接 ，动点 从 点出发，沿着路
径 以 的速度运动，运动到 点停止，设点 的运动时间为 秒，当 和
全等时， 的值是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
1．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）如图，在矩形 中， ，点P从点A向点D以
的速度运动，点Q以 的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点
P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，那么运
动时间为 ．
2．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发
向点 运动，运动到点 停止，同时，点 从点 出发向点 运动，运动到点 即停止，点 、 的速度
都是 ，连接 、 、 ，设点 、 运动的时间为 ．(1)当 为何值时，四边形 是矩形；
(2)当 为何值时，四边形 是菱形；
(3)分别求出（2）中菱形 的周长和面积．
3．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在矩形 中， ， ，点P从点A出发，
以 的速度沿 向终点D运动，同时，点Q从点C出发，以 的速度沿 向终点B运动，设运
动时间为 ．
(1)当 时，判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)当 时，求四边形 的面积 与运动时间 的函数关系；
(3)四边形 可能为菱形吗？若可能，请求出t的值；若不可能，请说明理由．
【经典例题十四 四边形中的线段最值问题】
【例14】（23-24八年级下·重庆·期中）如图，已知正方形 的边长为3，点M在 上， ，
点N是 上的一个动点，那么 的最小值是（ ）A．3 B．4 C． D．
1．（24-25八年级下·湖南湘西·期中）如上图所示，矩形 ， ， ，点 是边 上的
一个动点，点 是对角线 上一个动点，连接 ， ，则 的最小值是（ ）
A．6 B． C．12 D．
2．（24-25八年级下·湖北荆门·期中）如图，在矩形 中， ， ， ， 分别是 和
上的两个动点， 为 的中点，则 的最小值是 ．
3．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是
这样一个问题：
如图1，在正方形 中，点 、 分别在边 、 上，且 ，垂足为 ．那么 与 相
等吗？
（1）直接判断： （填“ ”或“ ” ；
在“问题情境”的基础上，继续探索：
问题探究：
（2）如图2，在正方形 中，点 、 、 分别在边 、 和 上，且 ，垂足为 ．
那么 与 相等吗？证明你的结论；
问题拓展：
（3）如图3，点 在边 上，且 ，垂足为 ，当 在正方形 的对角线 上时，连接
，将 沿着 翻折，点 落在点 处．①四边形 是正方形吗？请说明理由；
②若 ，点 在 上， ，直接写出 的最小值为 ．
【经典例题十五 四边形的其他综合问题】
【例15】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的
探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，已知四边形 ， ，像这样两条对角线
互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
【概念理解】
在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________．
【性质探究】
通过探究，小明探索并证明了“垂美四边形”的一些性质，请根据证明过程，完成填空．
性质1：垂美四边形四条边之间的数量关系
如图1， ，由勾股定理可知，
中， ， 中， ，
同理 ， ，
则 ，
即 _________．
性质2：垂美四边形的面积与两条对角线之间的数量关系
_________．【问题解决】
（1）如图1，若 ， ，则 _________．若 ， ，则四边形 的面
积 _________；
（2）如图2， ， 是 的中线， ，垂足为O， ，设 ，用含a的代数式表
示 _________；
（3）如图3，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正方形 和 ．连接
．求证：四边形 为垂美四边形．
1．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）小明在学习了平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究
产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)【概念理解】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________．
(2)【性质探究】通过探究，小明发现了垂美四边形的一些性质：垂美四边形 的面积S与对角线的数量关系为：_________．
(3)【问题解决】如图2，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正方形 和 ．连
接 ，已知 ．求证：四边形 为垂美四边形，并求出它的面积．
(4)【学以致用】（3）中 的长为_______．
2．（24-25九年级上·江西九江·期中）【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按
照图1所示的方式放置．如图1，正方形 的对角线相交于点 ，点 又是正方形 的一个顶点，
且这两个正方形的边长相等，四边形 为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点 旋转．
【问题发现】
（1）①线段 ， 之间的数量关系是________．
②在①的基础上，连接 ，则线段 ， ， 之间的数量关系是________．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形 的中心 是矩形 的一个顶点， 与边 相交点 ， 与边 相交
于点 ，连接 ，延长 交 于点 ，连接 ， ，矩形 可绕点 旋转．判断线段 ，
， 之间的数量关系并证明．
【拓展应用】
（3）如图3，在 中， ， ， ，直角 的顶点 在边 的中点处，它
的两条边 和 分别与直线 ， 相交于点 ， ， 可绕点 旋转．当 时，请直接写
出线段 的长．
3．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，取一张矩形纸进行折叠，具体操作过程如下：(1)【操作发现】
操作一：对折矩形 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展开；
操作二：在 上选一点 ，沿 折叠，使点 落在矩形内部点 处，把纸片展开，连接 ， ，
．
根据以上操作，当点 在 上时：
①则图1中 _____°；
②若 ， ，则 _____ ．
(2)【迁移探究】
如果将矩形纸片换成边长为 的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片 按照（1）中
的方式操作，并延长 交 于点 ，连接 ．如图2，当点 在 上时， _____°，
_____；
(3)【拓展应用】
如图3，改变点 在 上的位置（点 不与点 ， 重合），正方形的边长仍为 ，仍然按（1）中的
方式操作，延长 交 于点 ，连接 ，当 时，请直接写出 的长_____．
1．（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，正方形 的顶点 、 分别落在直角坐标系的 轴、 轴
上， 、 则点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．如图，正
方形 与正方形 是由四个全等的直角三角形拼成的，连结 ．若 ， ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在正方形 中，点 是 上一点，点 是 延长线上
一点，连接 ， ， ．点 是 的中点，连接 ， ，若 ， ，则 的度
数为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级下·天津西青·期中）如图，四边形 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）A．当 时，平行四边形 是菱形
B．当 时，平行四边形 是矩形
C．当 时，平行四边形 是菱形
D．当 且 时，平行四边形 是正方形
5．（24-25九年级下·重庆南岸·开学考试）如图，在正方形 中，点 ， 分别在 ， 边上，且
， ，连接 平分 ，过点 作 于点 ，连接 ，若正方形
的边长为4，则 的长度是（ ）
A． B． C． D．
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
6．（2025·江西九江·模拟预测）如图，在 中， ， ， 是射线 上一点，将
沿 折叠，得到 ，连接 ．当 为直角三角形时， 的度数为 ．7．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在 中， ， ，分别以
的三边为边向外作三个正方形 ，连接 ．过点C作 的垂线 ，垂足为J，分
别交 H于点I，K．若 ，则四边形 的面积是 ．
8．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，正方形 的边长为4，点 和 分别为边 和
的中点，点 在 上， 交 于 ，且 ，点 和 分别是 和 上的动点，且
．当 时，线段 的长度为 ．
9．（24-25九年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，在边长为5的正方形 中，M为 上一点，且
，N为边 上一动点，连接 ，点B关于 对称，对应点为P，连接 ，则
的最小值为 ．10．（24-25九年级上·河南郑州·期末）已知正方形 的边长为4，点 为线段 上的动点（不与点
重合），点 关于直线 的对称点为点 ，连接 ， ， ， ，当 是以 为腰的等腰
三角形时， 的值为 ．
11．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在正方形 中，点E在 上，延长 到点F，使
，连接 ．若 ，求 的长．
12．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图1，在 中，点D在 的延长线上，点O是 边
上的一个动点，过点O作直线 ，设 交 的平分线于点E，交 的平分线于点F．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，连接 、 ，当点 运动到何处时，四边形 是矩形，并说明理由；
(3)在（2）的前提下 满足时，四边形 是正方形？（直接写出答案，无需证明）
13．（24-25九年级下·江西南昌·阶段练习）追本溯源
题（1）来自于课本中的习题，请你完成填空，并完成题（2）：（1）如图1，把一个长方形纸片 按如图方式折一下，得到四边形 是___________；（填“特殊
的四边形”的名称）
拓展应用
（2）如图2，将图（1）中的长方形纸片过点 的直线折叠，使得点 恰好落在 上的 处， 为折痕．
若 ，求 ．
14．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，正方形 中，点E、F分别在边 、 上，且
．
(1)求 的度数；
(2)求证： ．
15．（24-25九年级下·山西长治·期中）综合与实践
在综合与实践课上，赵老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
操作一：对折正方形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平；
操作二：在 上选一点P，沿 折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平．连接 并延长交
于点Q，连接 ．(1)数学思考：
如图1，当点M在 上时， 与 的数量关系是_______．
(2)拓展再探：
如图2，当改变点P在 上的位置（点P不与点A，D重合），使点M不在 上时，判断（1）中
与 的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)迁移应用：
在（2）的探究中，连接 ，已知正方形纸片 的边长为6，当 的周长最小时， 的长为多
少？
