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技巧 02 填空题的答题技巧
【目录】
考点一：特殊法速解填空题
考点二：转化法巧解填空题
考点三：数形结合巧解填空题
考点四：换元法巧解填空题
考点五：整体代换法巧解填空题
考点六：坐标法巧解填空题
考点七：赋值法巧解填空题
考点八：正难则反法巧解填空题
高考的填空题绝大部分属于中档题目，通常按照由易到难的顺序排列，每道题目一般是多个知识点的
小型综合，其中不乏渗透各种数学的思想和方法，基本上能够做到充分考查灵活应用基础知识解决数学问
题的能力．
（1）基本策略：填空题属于“小灵通”题，其解题过程可以说是“不讲道理”，所以其解题的基本策略
是充分利用题干所提供的信息作出判断和分析，先定性后定量，先特殊后一般，先间接后直接，尤其是对
选择题可以先进行排除，缩小选项数量后再验证求解．
（2）常用方法：填空题也属“小”题，解题的原则是“小”题巧解，“小”题快解，“小”题解准．求解的
方法主要分为直接法和间接法两大类，具体有：直接法，特值法，图解法，构造法，估算法，对选择题还
有排除法（筛选法）等．1、面对一个抽象或复杂的数学问题时，不妨先考虑其特例，这就是数学中常说的特殊化思维策略“特
殊化思维”是解高考数学填空题的一种常用解题策略，其实质是把一般情形转化为特殊情形，把抽象问题
转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，实现快速、准确求解的目的．
2、等价转化可以把复杂问题简单化，把陌生问题熟悉化，把原问题等价转化为便于解决的问题，从
而得出正确结果．
3、数形结合实际上就是把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述有机地结合起来，相互转化，实
现形象思维和抽象思维的优势互补．一方面，借助图形的性质使许多抽象概念和关系直观而形象，以利于
探索解题途径；另一方面，几何问题代数化，通过数理推证、数量刻画，获得一般化结论．
1．（2023·北京·统考高考真题）设 ，函数 ，给出下列四个结论：
在区间 上单调递减；
①当 时， 存在最大值；
②设 ，则 ；
③
设 ．若 存在最小值，则a的取值范围是 ．
其中所有正确结论的序号是 ．
④
【答案】
【解析】②依题③意， ，
当 时， ，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当 时， ，易知其图像是，圆心为 ，半径为 的圆在 轴上方的图像（即半
圆）；
当 时， ，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于 ，取 ，则 的图像如下，
①显然，当 ，即 时， 在 上单调递增，故 错误；
对于 ，当 时， ①
当 ② 时， ；
当 时， 显然取得最大值 ；
当 时， ，
综上： 取得最大值 ，故 正确；
对于 ，结合图像，易知在 ② ， 且接近于 处，
的距离最小，
③
当 时， ，当 且接近于 处， ，
此时， ，故 正确；
③
对于 ，取 ，则 的图像如下，
④
因为 ，
结合图像可知，要使 取得最小值，则点 在 上，点 在
，
同时 的最小值为点 到 的距离减去半圆的半径 ，
此时，因为 的斜率为 ，则 ，故直线 的方程为 ，联立 ，解得 ，则 ，
显然 在 上，满足 取得最小值，
即 也满足 存在最小值，故 的取值范围不仅仅是 ，故 错误.
故答案为： .
④
2．（2023·全②国③·统考高考真题）已知点 均在半径为2的球面上， 是边长为3的等边三角
形， 平面 ，则 ．
【答案】2
【解析】如图，将三棱锥 转化为正三棱柱 ，
设 的外接圆圆心为 ，半径为 ，
则 ，可得 ，
设三棱锥 的外接球球心为 ，连接 ，则 ，
因为 ，即 ，解得 .
故答案为：2.
3．（2023·全国·统考高考真题）在正方体 中， 为 的中点，若该正方体的棱
与球 的球面有公共点，则球 的半径的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设球的半径为 .
当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包
含正方体，导致球面和棱没有交点，
正方体的外接球直径 为体对角线长 ，即 ，故
；分别取侧棱 的中点 ，显然四边形 是边长为 的正方形，且 为正方
形 的对角线交点，
连接 ，则 ，当球的一个大圆恰好是四边形 的外接圆，球的半径达到最小，即 的
最小值为 .
综上， .
故答案为：
4．（2023·全国·统考高考真题）在 中， ， 的角平分线交BC于
D，则 ．
【答案】
【解析】
如图所示：记 ，
方法一：由余弦定理可得， ，
因为 ，解得： ，
由 可得，
，
解得： ．
故答案为： ．
方法二：由余弦定理可得， ，因为 ，解得： ，
由正弦定理可得， ，解得： ， ，
因为 ，所以 ， ，又 ，所以 ，即 ．
故答案为： ．
5．（2023·全国·统考高考真题）若 为偶函数，则 ．
【答案】2
【解析】因为 为偶函数，定义域为 ，
所以 ，即 ，
则 ，故 ，
此时 ，
所以 ，
又定义域为 ，故 为偶函数，
所以 .
故答案为：2.
6．（2023·全国·统考高考真题）设 ，若函数 在 上单调递增，则a的取
值范围是 .
【答案】
【解析】由函数的解析式可得 在区间 上恒成立，
则 ，即 在区间 上恒成立，
故 ，而 ，故 ，
故 即 ，故 ，
结合题意可得实数 的取值范围是 .
故答案为： .
7．（2023·天津·统考高考真题）若函数 有且仅有两个零点，则 的取值范围
为 ．
【答案】【解析】（1）当 时， ，
即 ，
若 时， ，此时 成立；
若 时， 或 ，
若方程有一根为 ，则 ，即 且 ；
若方程有一根为 ，则 ，解得： 且 ；
若 时， ，此时 成立．
（2）当 时， ，
即 ，
若 时， ，显然 不成立；
若 时， 或 ，
若方程有一根为 ，则 ，即 ；
若方程有一根为 ，则 ，解得： ；
若 时， ，显然 不成立；
综上，
当 时，零点为 ， ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，只有一个零点 ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，只有一个零点 ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，零点为 ．
所以，当函数有两个零点时， 且 ．
故答案为： ．
8．（2023·天津·统考高考真题）在 中， ， ，点 为 的中点，点 为 的中
点，若设 ，则 可用 表示为 ；若 ，则 的最大值为 ．【答案】
【解析】空1：因为 为 的中点，则 ，可得 ，
两式相加，可得到 ，
即 ，则 ；
空2：因为 ，则 ，可得 ，
得到 ，
即 ，即 .
于是 .
记 ，
则 ，
在 中，根据余弦定理： ，
于是 ，
由 和基本不等式， ，
故 ，当且仅当 取得等号，
则 时， 有最大值 .
故答案为： ； .
考点一：特殊法速解填空题【例1】已知数列 满足 为常数， ， ， ，给出下列四个结论：
若数列 是周期数列，则周期必为2： 若 ，则数列 必是常数列： 若 ，则数列
① ② ③
是递增数列： 若 ，则数列 是有穷数列，其中，所有错误结论的序号是__________．
【答案】
④
①②③④
【解析】 令周期 ，则
①
由题可知 ，则 ，即
因为
整理得 ，得 ，矛盾，所以错误；
若 ，
②
显然，可以是 ，不是常数列，所以错误；
令 ，由 可知
③
当 时，显然不是递增数列，所以错误；
当 时，有
④
当 ，则以后各项都可以为 ，是无穷数列，所以错误．
故答案为： ．
【变式1-1】①关②于③函数④ ，有下述三个结论：
是周期为 的函数；
①
在 单调递增；
②
在 上有三个零点；
其中所有正确结论的编号是__________
③
【答案】
【解析】①③ ，则
是周期为① 的函数，故 正确；
①
， ，
②
，则 在 单调递增错误，故 错误；
由 得 ， ②
③作出函数 和 的图象如图，
由图象知两个函数在 上的交点个数为3个，
故 在 上有三个零点正确，故 正确，
故正确的编号为 ．
③
故答案为： ．
①③
【 变 式 1 ① -2 ③】 给 出 下 列 8 个 命 题 ：
① ② ③
，
④ ⑤ ⑥ ⑦
， ，其中正确的命题的序号是__________ 将你
认为的所有正确的命题的序⑧号都填上
【答案】
【解析】①对于②③，⑦若 ，
则 ① ，即 ，故 正确；
对于 ，若 ， ①
② ，即 ，故 正确；
对于 ，若 ， ②
③
则 ， ， ， ，
则 ，
即 ，则 ，故 正确；
对于 ，若 ，取 ，③则 ， ，
则 ④ 不成立，故 不正确；
对于 ，若 ， ④，
取 ⑤ ， ， ， ，则 ， ，
则 不成立，故 不正确；
对于 ，若 ， ⑤
⑥取 ， ， ，则 ，
则 不成立，故 不正确；
对于 ，若 ，则⑥ ，
⑦
则 ，
即 ，故 正确；
对于 ，若 ⑦， ，
取 ⑧ ， ， ， ，则 ， ，
则 不成立，故 不正确．
故答案为 ．
⑧
考①点②二③：⑦转化法巧解填空题
【例 2】在等比数列 中， ， 是函数 的两个不同极值点，则
__________．
【答案】
【解析】函数 定义域为 R ，且 ，
令 ，即 ，因为 ，
所以方程 有两个不相等实数根 ，不妨令 ，
则当 或 时 ，当 时 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
又 ， ，所以 ，
又 ， 是函数 的两个不同极值点，
所以 且 ， ，则 ，
又 ，所以 ．
故答案为：
【变式2-1】若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 __________．【答案】
【解析】设 与 和 的切点分别为 、 ，
分别对 和 求导得 和 ，
由导数的几何意义可得 ，
曲线 在 处的切线方程为 ，
即 ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ，
联立 ，
消去 得 ，即 ，
解得 ，则 ，
故答案为
【变式2-2】已知函数 ，若 存在四个不相等的实根 ， ，
， ，且 ，则 的最小值是__________．
【答案】
【解析】作出函数 的图象如图所示：由图可知 ，即 ，
， ，
又 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
则 ，
当且仅当 时取等号．
考点三：数形结合巧解填空题
【例3】在 中， ， ， ，D在边BC上，延长AD到P，使得 ，
若 为常数 ，则CD的长度是________．
【答案】0或
【解析】如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
则 ， ，
由 ，得 ，
整理得：
由 ，得 ，
解得 或
当 时， ，此时C与D重合， ；
当 时，直线PA的方程为 ，
直线BC的方程为 ，
联立两直线方程 可得
即
的长度是0或
故答案为：0或
【变式3-1】已知当 时，函数 有且仅有5个零点，则 的取值
范
围是__________．
【答案】
【解析】可以将问题转化为研究函数 与直线 有且仅有5个交点．
如图，是满足条件的两个临界状态，由此得到 ， ，
计算可得临界态的 ，
依据题意可得
故答案为
【变式3-2】如图，某正方体的顶点A在平面 内，三条棱AB，AC，AD都在平面 的同侧．若顶点B，
C，D到平面 的距离分别为 ， ，2，则该正方体外接球的表面积为____________．
【答案】
【解析】法一：设正方体的棱长为a，取空间的一个基底 ，设 是平面 的一个方向向上的
单位法向量．由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ，使得
由题意， ， ， 在 方向上的投影向量的长度分别为 ， ， 于是， ，即
，即 ，即 同理， ，
从而 由 ，得 ，即 ，解得
，所以正方体的外接球半径为 ，外接球的表面积为法二：如图，连结BC，CD，BD，过A向上作平面 的垂线段AH，接下来以AH为一条体对角线，同时
将顶点A处的三条棱放在正方体的棱AB，AC，AD上作一个长方体， ， ， 是长方体的三条
棱 图略 ，则
则
作 于 ， 于 ， 于 连结 ， ， ，
令 ， ， ，由 ，
可得 ，
设正方体的棱长为a，因为 ， ， ，
所以 ，解得 ，
故该正方体外接球半径为 ，外接球的表面积为
考点四：换元法巧解填空题
【例 4】已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，P 为双曲线上一点，
， 的外接圆半径是内切圆半径的 4 倍．若该双曲线的离心率为 e，则
__________．
【答案】
【解析】由题意，设 ， ，因为 ，
故 ，即 ，
根据双曲线的定义有 ，故 ，
所以 的面积为 ，
又 ，故 ，故内切圆半径r满足 ，解得 ，
又 的外接圆半径R满足 ，故 ，
由题意 ，即 ，
所以 ，
故 ，故 ，解得
故答案为：
【变式4-1】已知函数 ，若函数 有6个不同的
零点，则实数m的范围是__________．
【答案】
【解析】令 ，则
作出函数 的图象如图，
由图象可知
当 时，方程 有一个根，
当 时，方程 有三个根，
当 时，方程 有四个根，
当 时，方程 有三个根，
当 时，方程 有两个根，
要使关于x的函数 有6个不同的零点，
则方程 有两个根 ， ，且 ， 或 ， ，
令 ，则 时由根的分布可得，
将 ，代入得： ，
此时 的另一个根为 ，不满足 ， ，
若 ， ，则
解得： ，
故答案为：
【 变 式 4-2 】 设 若 互 不 相 等 的 实 数 ， ， 满 足
，则 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】作出函数 的图象如下图所示：
设 ，设 ，
由图象可知，当 时，直线 与函数 的图象有三个交点，
由 ，可得 ， ， ，
所以，
故答案为考点五：整体代换法巧解填空题
【例5】已知 ，若 ，则 __________；
【答案】3
【解析】因为 ，
所以 ，即 ，
所以
故答案为：
【变式5-1】设 ， ，且 ，则当 取最小值时， __________．
【答案】12
【解析】 ， ， 当 取最小值时， 取最小值，
， ，， ，
， ，
当且仅当 即 时取等号，
当 取最小值时，即 ， 时，
则 ，
，
故答案为
【变式5-2】已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为__________．
【答案】
【解析】由 ，
得 ，即 ，得 ，
， ，
， ， ，
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
此时 ，
的最小值为
故答案为
【变式5-3】已知正实数x，y满足 ，且关于x，y的不等式 恒成立，则k的最
大值为__________．
【答案】
【解析】若 恒成立，
则 ，
则 ，
当 时，
， ，
解得：
当 时，显然此时最大值不会超过 ，
实数k的最大值为 ，
故答案为：
考点六：坐标法巧解填空题
【例6】已知平面向量 ， 满足 ， ，则 的最大值为__________．
【答案】20
【解析】因为 ， ，又 ，
所以 ，
又 ，
所以 的最大值即为 的最大值，
设 ， ，
则 ，
故 ， ， 即 到原点的距离
即 ， ，
故 的最大值为20，
【变式6-1】近两年，中国移动推动5G和4G技术共享、资源共享、覆盖协同、业务协同，充分利用原
4G线路传输资源，并高效建设5G基站．如图，南北方向的公路l，城市A地 看作一点 在公路正东
处，城市B地 看作一点 在A北偏东 方向2km处，原有移动4 G 线路PQ曲线上任意一点满足
到公路l和到城市A地距离相等．现要在线路PQ上一处M建一座5G基站，则这座5G基站到城市A，B
两地的总距离最短时为__________
【答案】
【解析】过A作l的垂线，垂足为 ，以此为x轴，以 中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则 ， ，
由B地 看作一点 在A北偏东 方向2km处，可知 ，
易知线路PQ的轨迹是抛物线： ，其中 为准线， 为焦点，
过B，M分别作l的垂线 ，根据抛物线的定义有
，
当且仅当 三点共线时取得等号．
故答案为
【变式6-2】在等边 中， ，点P是 所在平面内一点，且满足 ，则
的取值范围为__________．
【答案】
【解析】以线段AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示
的平面直角坐标系xOy，
则点A、B、C的坐标分别为 、 、 ，
设点P的坐标为 ，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
点P在以 为圆心， 为半径的圆上，
则 ，
，
故 的取值范围是
故答案为：
考点七：赋值法巧解填空题
【 例 7 】 已 知 的 展 开 式 的 二 项 式 系 数 和 为 128 ， 若
，则 __________．
【答案】
【解析】由 的展开式的二项式系数和为128，
则 ，
设 ，
则 ，
则 ，
， ，
故答案为：
【变式7-1】已知定义在R上的奇函数 满足 ，若 ，则曲线
在 处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】由 ，
令 ，则 ，即 ，
又 为奇函数，则 ，
故 是以4为周期的周期函数，则 ，
对 ，求导得 ，故 是以4为周期的周期函数，则 ，
即切点坐标为 ，切线斜率 ，
故切线方程为 ，即
故答案为：
【 变 式 7-2 】 设 为 的 展 开 式 的 各 项 系 数 之 和 ， ， ，
表示不超过实数x的最大整数 ，则 的最小值为__________．
【答案】
【解析】令 可得， ， ，
设 ，则 ，
令 ，得
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减．
则
故对任意的 ，
故 ，故 ，即
，
则 的几何意义为点 到点 的距离的平方，
最小值即点 到 的距离的平方，
与 的交点横坐标 ，
且点 到直线 的距离 ，
点 到直线 的距离 ，的最小值为
故答案为
考点八：正难则反法巧解填空题
【例8】命题“ ”为假命题，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【解析】 ， 为假命题，则 ， 为真命题，
对 恒成立，又 ，
而 ，当且仅当 ，即 时取等号，
，
故答案为
【变式8-1】镜湖春游甲吴越，莺花如海城南陌．四月正是春游踏春时，小明打算利用假期去打卡鄞江古
镇，千年水利工程它山堰就在此处．时间有限，小明打算游览6个景点，上午4场，下午2场．其中它山
堰不排在第一场，趣湾农庄和茶园不能相邻，其中上午第4场和下午第1场不算相邻，则不同的游览方式
有__________种．
【答案】444
【解析】因为相邻的排法有 ， ， ， ，所以趣湾农庄和茶园相邻的排法有
种．
若它山堰排在第一场，则相邻的排法有 ， ， ，
所以它山堰排在第一场，趣湾农庄和茶园相邻的排法有 种．
因为把6个景点进行排列有 种排法，其中它山堰排在第一场有 种排法，
所以不同的游览方式有： 种
故答案为
【变式8-2】由命题“存在 ，使 ”是假命题，得m的取值范围是 ，则实数a的值
是__________．
【答案】1
【解析】命题“ ，使 ”是假命题，
可知它的否定形式“ ， ”是真命题，
则 ， ，
又 ，可得m的取值范围是 ，
而 与 为同一区间，
故
故答案为
【变式8-3】厦门国际马拉松赛是与北京国际马拉松赛齐名的中国著名赛事品牌，两者“一南一北”，形
成春秋交替之势．为了备战2021年厦门马拉松赛，厦门市某“跑协”决定从9名协会会员中随机挑选3
人参赛，则事件“其中A，B，C，D这4人中至少1人参加，且A与B不同时参加，C与D不同时参
加”发生的概率为__________．
【答案】
【解析】从9人中任意选3人参加比赛共有 种不同的方法，
所求事件的对立事件对应的情况有三种；
，B同时参加，再从其他7人中选1人，共有 种不同的方法；
①
，D同时参加，再从其他7人中选1人，共有 种不同的方法；
②
，B，C，D都不参加，则从其他5人中选3人，共有 种不同的方法．
③
故共有 种不同的方法，故所求概率
故答案为
