文档内容
专题 17.1 勾股定理及其逆定理【九大题型】
【人教版】
【题型1 勾股定理的运用】......................................................................................................................................1
【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】..............................................................................................................2
【题型3 勾股定理解勾股树问题】..........................................................................................................................2
【题型4 勾股定理解动点问题】..............................................................................................................................4
【题型5 勾股定理的验证】......................................................................................................................................5
【题型6 直角三角形的判定】..................................................................................................................................7
【题型7 勾股数问题】..............................................................................................................................................8
【题型8 格点图中求角的度数】..............................................................................................................................9
【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】................................................................................................................10
【知识点1 勾股定理】
在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角
边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
【题型1 勾股定理的运用】
【例1】（2022•和平区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，则
AC的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式1-1】（2022春•上杭县期中）如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，AC的垂直平分线
DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（ ）3 7 5
A． B． C．2 D．
2 4 2
【变式1-2】（2022春•汉阳区期中）如图，在△ABC中AB＝AC＝10，BC＝16，若∠BAD＝3∠DAC，则
CD＝ ．
【变式1-3】（2021秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝30，D是AC上一点，
AD：CD＝25：7，且DB＝DA，过AB上一点P，作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF长是
．
【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】
【例2】（2022春•长沙月考）已知△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高为12．则△ABC的面积为
（ ）
A．24或84 B．84 C．48或84 D．48
【变式2-1】（2022春•宁津县期中）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是
（ ）
A．42 B．32 C．42或32 D．42或37
【变式2-2】（2022春•香河县期中）已知直角三角形两边的长为5和12，则此三角形的周长为（ ）
A．30 B．√119+17 C．√119+17或30 D．36
【变式2-3】（2022春•海淀区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC
上，且BP＝6，则线段AP的长为 ．【题型3 勾股定理解勾股树问题】
【例3】（2021秋•南关区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若
正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【变式3-1】（2021秋•高新区校级期末）如图，在四边形 ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边
形的四条边为边向外作四个正方形，若S +S ＝135，S ＝49，则S ＝（ ）
1 4 3 2
A．184 B．86 C．119 D．81
【变式3-2】（2022春•泗水县期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生
出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，
如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了 2022次后形成的图形中所有
正方形的面积之和为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【变式3-3】（2022春•张湾区期中）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三
角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为 4：3的直
角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的
面积和为（ ）
A．225 B．250 C．275 D．300
【题型4 勾股定理解动点问题】
【例4】（2021秋•开福区校级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，动点P从
点B出发沿射线 BC 以2cm/s的速度运动，设运动时间为 ts，当△APB为等腰三角形时，t的值为
（ ）
625 25 25
A． 或 B． 或24或12
96 2 2
625 625 25
C． 或24或12 D． 或 或24
96 96 2
【变式4-1】（2021秋•宛城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，动点P
从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动．则当运动时间t＝ s时，△BPC为直角三角形．
【变式4-2】（2022春•蚌山区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点P从点A
出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）BC的长是 ．（2）当点P刚好在∠BAC的角平分线上时，t的值为 ．
【变式4-3】（2022春•河东区期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是
△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始
沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．
（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；
（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？
【题型5 勾股定理的验证】
【例5】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他
惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪
利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a
1 1
∵S四边形ADCB ＝S△ACD +S△ABC = b2+ ab．
2 2
1 1
又∵S四边形ADCB ＝S△ADB +S△DCB = c2+ a（b﹣a）
2 2
1 1 1 1
∴ b2+ ab= c2+ a（b﹣a）
2 2 2 2
∴a2+b2＝c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．【变式5-1】（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同
学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角
形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的
面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．
【变式5-2】（2021秋•朝阳区期末）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四
个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为
1
a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4× ab，即（a+b）2＝c2+4
2
1
× ab，所以a2+b2＝c2．
2
【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成
一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．
【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．
求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．【变式5-3】（2022春•寿光市期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为 a，较短的直角边为
b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．
（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为 24，
OC＝3，求该飞镖状图案的面积．
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形 ABCD，正方形EFGH，正方形
MNKT的面积分别为S ，S ，S ，若S +S +S ＝40，则S ＝ ．
1 2 3 1 2 3 2
【知识点2 勾股定理的逆定理】
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
【题型6 直角三角形的判定】
【例6】（2022春•绥宁县期中）若△ABC的三边长分别为a、b、c，下列条件中能判断△ABC是直角三角
形的有（ ）
1
①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B= ∠C，⑤a2＝
2
（b+c）（b﹣c），⑥a：b：c＝5：12：13．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式6-1】（2022春•赣州月考）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
3 4
A．在△ABC中，若a= c，b= c．则△ABC为直角三角形
5 5
B．三边长的平方之比为1：2：3C．三内角之比为3：4：5
D．三边长分别为a，b，c，c＝1+n2，a＝n2﹣1，b＝2n（n＞1）
【变式6-2】（2022春•汉滨区期中）若△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣c）2＝b2﹣2ac，则（ ）
A．∠A为直角 B．∠B为直角
C．∠C为直角 D．△ABC不是直角三角形
【变式6-3】（2022春•开州区期中）下列是直角三角形的有（ ）个
①△ABC中a2＝c2﹣b2
②△ABC的三内角之比为3：4：7
③△ABC的三边平方之比为1：2：3
④三角形三边之比为3：4：5
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型7 勾股数问题】
【例7】（2022春•滑县月考）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记
录在如下的表格中．
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
则当a＝24时，b+c的值为（ ）
A．162 B．200 C．242 D．288
【变式7-1】（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观
察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差
为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类
勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 （结果用含m的式子表示）．
【变式7-2】（2022春•白云区期末）（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；
如果不是，请说明理由；
（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；
如果不是，请说明理由．
【变式7-3】（2022•石家庄三模）已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，整式C＞0．
（1）当n＝1999时，写出整式A+B的值 （用科学记数法表示结果）；
（2）求整式A2﹣B2；（3）嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明
理由．
【题型8 格点图中求角的度数】
【例8】（2021秋•伊川县期末）如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在
格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接AE，AF，则∠EAF的度数是 ．
【变式8-1】（2022•惠山区一模）如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点 A，B，P是网格线
的交点，则∠PAB+∠PBA＝ °．
【变式8-2】（2022春•武侯区校级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，
C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB﹣∠PCD＝ ．
【变式8-3】（2022春•孝南区期中）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线
交点，那么∠BCA+∠DCE＝ ．
【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】
【例9】（2021秋•蓝田县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CA的延长线上一点，连接BD．（1）若AC＝8，AD＝17，BD＝15，判断AB与BD的位置关系，并说明理由；
（2）若∠D＝28°，∠DBC＝121°，求∠DAB的度数．
【变式9-1】（2022春•陵城区期中）如图，在△ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交
BC、AC于点D、E．
（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；
（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长．
【变式9-2】（2021春•当涂县期末）如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点
E，且AE2﹣CE2＝BC2，
（1）试说明：∠C＝90°；
（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．
【变式9-3】（2022春•汉阳区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝
10，AD＝10√2．
（1）求四边形ABCD的面积．
（2）求对角线BD的长．
