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专题 18.3 菱形的性质与判定【八大题型】
【人教版】
【题型1 由菱形的性质求线段的长度】..................................................................................................................1
【题型2 由菱形的性质求角的度数】......................................................................................................................2
【题型3 由菱形的性质求面积】..............................................................................................................................3
【题型4 由菱形的性质求点的坐标】......................................................................................................................4
【题型5 菱形判定的条件】......................................................................................................................................5
【题型6 证明四边形是菱形】..................................................................................................................................6
【题型7 菱形中多结论问题】..................................................................................................................................8
【题型8 菱形的判定与性质综合】..........................................................................................................................9
【知识点1 菱形的定义】
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【知识点2 菱形的性质】
①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条
对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2 条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
【题型1 由菱形的性质求线段的长度】
【例1】（2022•青县二模）如图，在菱形ABCD中，AB＝BD＝10，点F为AD的中点，FE⊥BD于E，则
EF的长为（ ）
5 5√3
A．2√3 B． C． D．5√3
2 2
【变式1-1】（2022春•北碚区校级期中）如图，菱形 ABCD的对角线交于点O，过点A作AE⊥CD于点
E，连接OE．若AB＝3，OE=√2，则DE的长度为（ ）5 3 4 √14
A． B． C． D．
3 2 3 2
【变式1-2】（2022春•江汉区期中）如图，菱形ABCD的对角线AC．BD相交于点O，过点D作DH⊥AB
于点H，连接CH，若AB＝2，AC＝2√3，则CH的长是（ ）
A．√5 B．3 C．√7 D．4
【变式1-3】（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、
F分别是AB、AO的中点，连接EF、BF．若AF＝1，AE=√3，则FB的长为（ ）
A．3√2 B．2√2 C．√7 D．3
【题型2 由菱形的性质求角的度数】
【例2】（2022春•延津县期中）如图，在菱形ABCD中，直线MN分别交AB、CD、AC于点M、N和O，
且AM＝CN，连接BO．若∠OBC＝65°，则∠DAC为（ ）
A．65° B．30° C．25° D．20°
【变式2-1】（2022•道里区二模）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【变式2-2】（2021秋•泰和县期末）如图，在菱形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE交对角线BD于
点F，连接CF，若∠AED＝50°，则∠BCF＝ 度．
【变式2-3】（2022•玄武区二模）如图，菱形ABCD和正五边形AEFGH，F，G分别在BC，CD上，则
∠1﹣∠2＝ °．
【题型3 由菱形的性质求面积】
【例3】（2022•焦作模拟）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD的中点，连接AE，AF，
EE若菱形ABCD的面积为16，则△AEF的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式3-1】（2022春•禹州市期中）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E，P，F分
别是线段 OB，CD，OD 的中点，连接 EP，PF，若 AC＝8，PE＝2√10，则菱形 ABCD 的面积为
（ ）A．64 B．48 C．24 D．16
【变式3-2】（2022•阿荣旗二模）两张菱形贺卡如图所示叠放，其中菱形ABCD的边长为6cm，∠BAD＝
60°，菱形A'B'C'D'可以看作是由菱形ABCD沿CA方向平移2√3cm得到，AD交C'D'于点E，则重叠部
分的面积为（ ）cm2．
A．8√3 B．9√3 C．10√3 D．11√3
【变式3-3】（2022•蓝田县二模）如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，点P为边AB上一点（点P不与端
点重合），连接CP，点E、F分别为AP、CP的中点，连接EF，若EF＝2，则菱形ABCD的面积为（
）
A．8 B．8√3 C．9 D．9√3
【题型4 由菱形的性质求点的坐标】
【例4】（2022•东丽区一模）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（−2√3❑ ，❑2），
（﹣1，−√3），对角线相交于点O，则点C的坐标为（ ）
A．（−2√3❑ ，❑−2） B．（2√3❑ ，❑−2） C．（1，−√3） D．（﹣1，
√3）【变式4-1】（2022•太湖县校级一模）如图，在平面直角坐标系中、四边形 OABC为菱形，O为原点，A
点坐标为（8，0），∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为（ ）
A．（4，2√3） B．（2√3，4） C．（2√3，6） D．（6，2√3）
【变式4-2】（2022•西平县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点B在x轴上，且OB
＝8cm，∠AOB＝60°．点D从点O出发，沿O→A→B→C→O以2cm/s的速度做环绕运动，则第85秒时，
点D的坐标为（ ）
A．(3√3，5) B．(3，3√3) C．(5，3√3) D．(3√3，3)
【变式4-3】（2022•巧家县二模）如图，菱形ABCD的四个顶点位于坐标轴上，对角线AC，BD交于原点
O，线段AD的中点E的坐标为(−√3，1)，P是菱形ABCD边上的点，若△PDE是等腰三角形，则点
P的坐标可能是 ．
【知识点3 菱形的判定】
①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形．
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
【题型5 菱形判定的条件】
【例5】（2022春•房山区期中）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．现存在以下四个条件：
①AB∥CD； ②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB．从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为菱形．则可以选择的条件序号是 （写
出所有可能的情况）．
【变式5-1】（2022•海淀区二模）如图，在平行四边形ABCD中，过AC中点O的直线分别交边BC，AD
于点E，F，连接AE，CF．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是
（写出一个即可）．
【变式5-2】（2022春•无锡期中）如图，已知点 E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H
分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC
【变式5-3】（2022•上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，平行四边形BCDE的顶点E在边AB
上，联结CE、AD．添加一个条件，可以使四边形ADCE成为菱形的是（ ）
A．CE⊥AB B．CD⊥AD C．CD＝CE D．AC＝DE
【题型6 证明四边形是菱形】
【例6】（2022春•泗洪县期中）如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，AE．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）从下列条件①∠BAC＝90°，②AE平分∠BAC，③AB＝AC中选择一个添加到题干中，使得四
边形ADEF为菱形．我选的是 （写序号），并证明．【变式6-1】（2022•南京一模）如图，在 ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF与DE相交于点
G，CE与BF相交于点H． ▱
（1）证明：四边形EHFG是平行四边形；
（2）当 ABCD具备怎样的条件时，四边形EHFG是菱形？请直接写出条件，无需说明理由．
▱
【变式6-2】（2022•盐城二模）如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交
AB延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A＝50°，则当∠ADE＝ °时，四边形BECD是菱形．
【变式6-3】（2022•静安区二模）已知：如图，在四边形 ABCD中，点E、F分别是边BC、DC的中点，
AE、AF分别交BD于点M、N，且BM＝MN＝ND，联结CM、CN．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）如果AE＝AF，求证：四边形ABCD是菱形．【题型7 菱形中多结论问题】
【例7】（2022春•番禺区校级期中）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD
延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：（ ）
1
①OG= AB；
2
②与△EGD全等的三角形共有2个；
③S四边形ODEG ＝S四边形ABOG ；
④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；
A．①③④ B．①④ C．①②③ D．②③④
【变式7-1】（2022春•下城区校级月考）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝
2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．下列结论正确的是（ ）
①EG＝EF；
②△EFG≌△GBE；
③FB平分∠EFG；
④EA平分∠GEF；
⑤四边形BEFG是菱形．
A．③⑤ B．①②④ C．①②③④ D．①②③④⑤
【变式7-2】（2022•泰安一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，E，F分别是AB，AD上的点（不与端
点重合），且AE＝DF，连接BF，DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①DE＝
BF；②∠BGE＝60°；③CG⊥BD；④若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确结论的序号是（ ）A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④
【变式7-3】（2022•天桥区一模）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D，E为线段AC上两动点，且
∠DBE＝30°，过点D，E分别作AB，BC的平行线相交于点F，分别交BC，AB于点H，G．现有以下
√3 1
结论：①S△ABC = ；②当点D与点C重合时，FH= ；③AE+CD=√3DE；④当AE＝CD时，四边
4 2
形BHFG为菱形．则其中正确的结论的序号是 ．
【题型8 菱形的判定与性质综合】
【例8】（2022•巴彦县二模）如图，AB＝BD，AC＝CD，AD平分∠BAC，AD交BC于点O．
（1）如图1，求证：四边形ABDC是菱形；
（2）如图2，点E为BD边的中点，连接AE交BC于点F，若2∠FAO＝∠ACD，在不添加任何辅助线
和字母的条件下，请直接写出图2中所有面积是△ABF面积的整数倍的三角形．
【变式8-1】（2022•南岗区模拟）已知：BD是△ABC的角平分线，点E在AB边上，BE＝BC，过点E作
EF∥AC，交BD于点F，连接CF，DE．
（1）如图1，求证：四边形CDEF是菱形；
（2）如图2，当∠DEF＝90°，AC＝BC时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2中度数为∠ABD的度数2倍的角．
【变式8-2】（2022春•东莞市期中）如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，交AB边于点E，
EF∥BC，交CD于点F，点G是BC边的中点，连接GF，且∠1＝∠2，CE与GF交于点M，过点M作
MH⊥CD于点H．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CH＝1，求BC的长；
（3）求证：EM＝FG+MH．
【变式8-3】（2022春•洪泽区期中）如图，在平行四边形 ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交
DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．
（1）证明平行四边形ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连接BG、CG、DG，如图2所示，
①求证：△DGC≌△BGE；
②求∠BDG的度数．
（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．
