文档内容
专题05 平行四边形50道压轴题型专训（10大题型）
【题型目录】
题型一 平行四边形的性质与判定压轴题
题型二 矩形的性质与判定压轴题
题型三 菱形的性质与判定压轴题
题型四 正方形的性质与判定压轴题
题型五 三角形的中位线压轴题
题型六 四边形中的折叠问题
题型七 四边形中的最值问题
题型八 平行四边形中的动点问题
题型九 平行四边形的存在性问题
题型十 四边形其他综合问题
【经典压轴题一 平行四边形的性质与判定压轴题】
1．（2023下·全国·八年级假期作业）在四边形 中， ， ．
(1)如图①，求证：四边形 是平行四边形；
(2)如图②， 平分 ，交 于点 ．若 ， ，求 的面积；
(3)如图③， 平分 ，交 于点 ，作 交射线 于点 ，交 于点 ．若 ，
请探究线段 ， ， 之间的数量关系．
2．（2023上·吉林·八年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学
教第78页的部分内容：例 如图， 的对角线 和 相交于点 过点 且与边 分别相交于点 和点 ．求
证： ．
分析要证明 ，只要证明它们所在的两个三角形全等即可．
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ （平行四边形的对角线互相平分），
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
【方法运用】如图 ，平行四边形 的对角线 和 相交于点 过点 且与 分别相
交于点 ， ， 的周长为 ，求 的值；
【拓展提升】如图 ，平行四边形 的对角线 和 相交于点 过点 且与 的延长线
分别相交于点 ，连结点 ，若 ， 的面积为1，则四边形 的面积为
________；
【拓展应用】如图 ，若四边形 是平行四边形，过点 作直线 分别交边 于 ，过点
作直线 分别交边 于 ，且 ，若 ，则
________．3．（2023下·湖北武汉·八年级湖北省水果湖第二中学校考期中）已知 为平行四边形．
(1)如图1，若 于M， 于N，求证： ；
(2)如图2，若 为两条对角线，求证： ．
4．（2024·辽宁抚顺·统考一模） 中， ，垂足为点 ，连接 ，将 绕点E逆时针旋转
，得到 ，连接 ．
(1)如图 ，当点 在线段 上， 时，求证： ；
(2)如图 ，当点 在线段 延长线上， 时，
如图 ，当点 在线段 延长线上， 时，请猜想并直接写出线段 、 、 的数量关系；
(3)在（ ）、（ ）的条件下，若 ， ，请直接写出图 、图 中线段 的长．5．（2023上·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，在平行四边形 中， ，
， ． 动点 从点 出发沿 以2cm/s速度向终点 运动，同时点 从点 出发，以8cm/s
速度沿射线 运动，当点 到达终点时，点 也随之停止运动，设点 的运动时间为 秒（ ）
(1) 的长为 ．
(2)用含 的代数式表示线段 的长．
(3)连结 ．是否存在 的值，使得 与 互相平分？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
(4)若点 关于直线 对称的点恰好落在直线 上，请直接写出 的值．
【经典压轴题二 矩形的性质与判定压轴题】
6．（2024上·山西吕梁·八年级统考期末）综合与实践
问题情境：
在数学课上，老师让同学们利用长方形纸片 进行折叠研究数学问题：如图1，点P是长方形
的边 上一动点，连接 ，将 沿着 折叠得到 ．
初步探究：
（1）如图1，当点P与点A重合时， 与 交于点E，求证： ；深入探究：
（2）如图2，当点P为 的中点时，延长 交 于点F，连接 ，求证： ；
拓展延伸：
（3）在问题（2）中，若 ， ， 的面积为 ，直接写出长方形 的面积．
7．（2024上·甘肃酒泉·八年级校联考期末）综合与实践：
在《第七章平行线的证明》中我们学习了平行线的证明，今天我们继续探究：折纸中的数学——长方形纸
条的折叠与平行线：
(1)知识初探：如图1，长方形纸条 中， ， ， .将长方形
纸条沿直线 折叠，点A落在 处，点D落在 处， 交 于点G．
①若 ，求 的度数．
②若 ，则 ________（用含α的式子表示）．
(2)类比再探：如图2，在图1的基础上将 对折，点C落在直线 上的 处.点B落在 处，得到折
痕 ，点 、G、E、 在同一条直线上，则折痕 与 有怎样的位置关系？并说明理由．8．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）如图，在矩形 中， ， ，点E是 上一点.将
沿 折叠后，得到 .点F在矩形 内部，延长 交 于点G.
(1)如图①，当点E是 中点时，求 的长；
(2)如图②，在（1）的条件下，当矩形变化为平行四边形时，求证： ；
(3)如图③，在矩形 中，当点F落在矩形对角线 上时， 的长是
9．（2023上·吉林松原·九年级统考期末）定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、
无重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形．
(1)如图1，将 纸片沿中位线 折叠，使点 落在 边上的 处，再将纸片分别沿 ， 折叠，
使点 和点 都与点 重合，得到双层四边形 ，则双层四边形 为______形．
(2) 纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形 为矩形，若 ， ，求 的长．
(3)如图3，四边形 纸片满足 ， ， ， ， ．把该纸片折叠，
得到双层四边形为正方形．请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时 的长．10．（2023上·吉林长春·八年级吉林省第二实验学校校考期末）如图①，在矩形 中， ，
，点E在边 上，且 ，动点P从点E出发，沿折线 以每秒1个单位长度的速
度运动．作 ， 交边 或边 于点Q，连接 ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．
设点P的运动时间为t秒．
(1)当点P和点B重合时，线段 的长为______；
(2)当点Q和点D重合时，求 的值；
(3)当点P在边 上运动时，如图②，求证： 为定值，并求这个值；
(4)作点E关于直线 的对称点F，连接 、 ，当四边形 和矩形 的重叠部分为轴对称四
边形时，直接写出t的取值范围．
【经典压轴题三 菱形的性质与判定压轴题】
11．（2024上·吉林长春·八年级校考期末）【教材呈现】下图是华师版数学教材八年级下册第 页的部
分内容
例 如图 ，已知矩形 的对角线 的垂直平分线与边 分别交于点 ，求证：四
边形 是菱形.
分析 要证四边形 是菱形，由已知条件可知 ，所以只需证明四边形 是平行四边形，又知 垂直平分 ，所以只需证 .
请根据教材分析，结合图 ，写出完整的证明过程
证明 【结论应用】如图 ，直线 分别交矩形 的边 于点 ，将矩形 沿 翻
折，使点 与点 重合，点 落到点 处，若 ， ，则矩形 的面积为________.
图① 图②
12．（2023上·山西晋中·九年级统考期末）综合与实践
【问题情境】
数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片 先沿 折叠．
【特例探究】
（1）如图1，使点C与点A重合，点D的对应点记为 ，折痕与边 ， 分别交于点E，F．四边形
的形状为 ，请说明理由；（2）如图2，若点F为 的中点， ， ，延长 交 于点P．求 与
的数量关系，并说明理由；
【深入探究】
（3）如图3，若 ， ， ，连接 ，当点E为 的三等分点时，直接写出 的值．
13．（2023上·吉林白城·九年级统考期末）已知 为等边三角形，点D为直线 的一个动点（点D
不与B、C重合），以 为边作菱形 （A、D、E、F逆时针排列），使 ，连接 ．
(1)如图1，当点D在边 上时，求证：① ；② ；
(2)如图2，点D在 的延长线上且其他条件不变时，结论 是否成立？若不成立，请写出
之间存在的数量关系，并说明理由．
14．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图， 是四边形 的对角线，边 在其所在的直线上
平移，将通过平移得到的线段记为 ，连接 、 ．
(1)如图1，四边形 是正方形时，作 ，垂足为O，连接 、 ．判断 、 之间的数
量关系和位置关系，并证明；
(2)如图2，四边形 是菱形时，设 ，点O在 上，且 ．判断 与 的数量关系，写出推理过程，并用含有 的代数式表示 ；
(3)在（2）的条件下，若 ， ，当四边形 是菱形时（如图3），请直接写出线段
平移的距离为 ．
15．（2024上·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）已知，如图， 为射
线 上的一动点， 为 的角平分线且交 于点 ，以 为边在 内部作菱形 ，使
得 交 于点 ，连接 并延长交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)判断 与 的位置关系并证明；
(3)若 的周长为3，求菱形 的周长．
【经典压轴题四 正方形的性质与判定压轴题】
16．（2024上·云南昭通·八年级统考期末）（1）如图1，已知在正方形 中，点E、F分别在边
上运动，当 时，求证： ；
（2）如图2，若将直角三角形 沿斜边翻折得到 ，且 ，点E、F分别在边
上运动，且 ，试猜想（1）中的结论还成立吗？请加以说明；17．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）【问题呈现】
四边形 和 都是正方形，直线 ， 交于点P．
【问题解决】
（1）如图1，点G在边 上，判断线段 和 的关系，并证明；
【类比探究】
（2）如图2，将正方形 绕点A逆时针旋转一个锐角．
①（1）中线段 和 的关系是否仍成立？说明理由；
②若正方形 的边长为 ，对角线 与 的交点为O，在正方形 的旋转过程中，请直接写
出点P与点O的距离________．
18．（2023上·吉林长春·八年级校联考期末）综合与实践
活动课上，老师让同学们翻折正方形 进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展了空间观念，
并积累了数学活动经验．【问题背景】如图1，过点A引射线 ，交边 于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在
射线 上的点G处，折痕 交 于E，延长 交 于F．
【问题探究】
(1)如图2，当点H与点C重合时， 与 的大小关系是______； 是______三角形．
(2)如图3，当点H为边 上任意一点时（点H与点C不重合），连接 ，猜想 与 的数量关系，
并说明理由．
(3)在（2）条件下，当 ， 时，CF的长为______．
19．（2023下·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）【问题情境】
（1）如图1，已知 是正方形， 是对角线 上一点，求证： ；请你完成证明．
【深入探究】
（2）如图2，在正方形 中，点 是对角线 上一点， ， ，垂足分别为 ． ，
连接 ，猜想 与 的数量关系，并证明你的猜想．【拓展应用】
（3）如图3，在正方形 中，若 ， 是 上一点，过点 作 于 ， 于 ．
则 最小值为_______．
20．（2024上·重庆开州·九年级统考期末）如图，正方形 中， 是 边上的动点， 交
延长线于点 ， 交 于点 ，连接 ．
(1)若 ，求 的长；
(2)若点 是 的中点，探究 、 、 的数量关系，并说明理由；
(3)正方形 的边长为2，直接写出四边形 面积的最大值．【经典压轴题五 三角形的中位线压轴题】
21．（2024上·浙江湖州·八年级统考期末）如图1， 中， ， 于点E， 于
点D， ， 与 交于点F，连结 ．
(1)求证： ；
(2)求 的度数；
(3)如图2， ，点P是线段 上一点，连结 ，将 沿直线 翻折，使得点C落在同一平
面内的点 处，当 为等腰三角形时，求 的长．
22．（2024上·山东潍坊·八年级统考期末）八年级我们学习了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于
第三边，并且等于第三边的一半．
【问题背景】
已知 ， 均是等腰三角形，且有公共顶点 ， ，连接 ， 是
的中点，连接 ， ．(1)【思路探究】
如图1，当 与 在同一直线上时，延长 交 于点 ，求证： ；
(2)【迁移应用】
如图2，当 时，延长 ， 交于点 ，连接 ，求证： ．
23．（2023上·吉林·八年级校考期末）如图，点E为平行四边形 的边 上的一点，连接 并延长
使 ，连接 并延长，使 ，点H是 的中点，连接 ， ．
(1)若 ， ，求 的度数；
(2)求证：四边形 为平行四边形；
(3)连接 ，交 于点O，若 ， ，直接写出 的长度．
24．（2024上·河南南阳·九年级统考期末）综合与探究：
(1)【教材呈现】下面是华师版 上教材 页的一道习题，请完成证明：
如图 ，在四边形 中， ， 是对角线 的中点， 是 的中点， 是 的中点．求证：
；
(2)【拓展延伸】如图 ，在四边形 中， 是 的中点， 是 的中点．连接 并延长分别与
的延长线交于点 ．求证： ；
(3)【问题解决】
如图 ，在 中， ，点 在 上， ， 是 的中点， 是 的中点，连接
并延长，与 的延长线交于点 ，连接 ．若 ，当 是直角三角形时，直接写出
的长．
25．（2023上·湖北武汉·九年级统考阶段练习）已知以 的边 为边向外作等腰 和
， ， ， ， 分别为 中点，连 ，
， ．
(1)若 ，求 的长；
(2)求 ；
(3) 的长度的最大值为______．
【经典压轴题六 四边形中的折叠问题】
26．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在长方形 中，已知 ，点P是 上的
一个动点，连接 ，将 沿 折叠，点B的对应点为 ，射线 交线段 或线段 交于点E．(1)如图①，四边形 是正方形，点E在线段 上，且点E是 的中点，求 的长；
(2)如图②，当 时，射线 恰好经过点D，求 的长；
27．（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，将矩形 （ ）沿 折叠后，点 落
在点 处，且 交 于点 ，若 ， ．
(1)求 的长；
(2)求 和 的面积；
(3)求 中 点到 边上的距离．
28．（2023·江苏泰州·统考二模）如图 ，将 纸片按照下列图示方式折叠：①将
沿 折叠，使得点 落在 边上的点 处，折痕为 ；②将 沿 折叠，使得点 与点 重合，
折痕为 ；③将 沿 折叠，点 落在点 处，展开后如图 ， 、 、 、 为图 折叠
过程中产生的折痕．(1)求证： ；
(2)若 落在 的右侧，求 的范围；
(3)是否存在 使得 与 的角平分线重合，如存在，请求 的大小；若不存在，请说明理由．
29．（2023上·江苏徐州·八年级统考期中）数学实验：
对矩形纸片进行折纸操作，可以得到一些特殊的角、特殊的三角形．如图 ，①将矩形纸片 对折，
使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平；②再一次折叠纸片，使点 落在 上的点 处，并使折
痕经过点 ，得到折痕 ，同时得到线段 ．
提出问题：（1）观察所得到的 ， 和 ，猜想这三个角之间有什么关系？证明你的猜想．
变式拓展：
如图2，对折矩形纸片 ，使 与 重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点 落在
上的点 处，并使折痕经过点 ，得到折痕 、线段 ．提出问题：
（2）已知 ，求 的长．
（3）若点 是线段 上一动点，当 周长最小时， ________．
30．（2023上·江苏淮安·九年级统考期中）在一次数学探究性学习活动中，某学习小组进行以下的探究操
作；
(1)如图1，矩形 中， ， ，点P是边 上的一个动点，将 沿 进行翻折到
，当Q点折叠到 上时，求 和 的长．
(2)如图2，当矩形 变成正方形，且正方形的边长为 ，在P点移动的过程中，当 时，
求 的长．
(3)当矩形 变成正方形，且正方形的边长为10，请在备用图中探究并直接写出当 为等腰三角形
时线段AP的长．【经典压轴题七 四边形中的最值问题】
31．（2023下·江苏·八年级专题练习）如图，正方形 中，点 为边 的上一动点，作 交
、 分别于 、 点，连 ．
(1)若点E为 的中点，求证：F点为 的中点；
(2)若点E为 的中点， ， ，求 的长；
(3)若正方形边长为4，直接写出 的最小值________．
32．（2022下·江苏镇江·八年级校联考阶段练习）如图，在 中，E、F分别为边AB、CD的中点，
BD是对角线，过A点作 交CB的延长线于点G．
(1)求证： ；
(2)当 满足什么条件时，四边形DEBF是菱形（不需要证明）
(3)请利用备用图分析，在（2）的条件下，若 ， ，点M为BF的中点，当点P在BD边
上运动时，求 的最小值．33．（2023下·江苏·八年级专题练习）问题提出
(1)如图，点 、 是直线 外两点，在直线 上找一点 ，使得 最小．
问题探究
(2)在等边三角形 内有一点 ，且 ， ， ，求 度数的大小．
问题解决
(3)如图，矩形 是某公园的平面图， 米， 米，现需要在对角线 上修一凉亭 ，
使得到公园出口 、 ， 的距离之和最小．问：是否存在这样的点 ？若存在，请画出点 的位置，并
求出 的和的最小值；若不存在，请说明理由．
34．（2021下·江苏徐州·八年级统考期中）如图，在正方形 中，边 、 分别在 轴、 轴上，
点 的坐标为 ，点 在线段 上，以点 为直角顶点， 为直角边作等腰直角三角形 ，
交 轴于点 ．
（1）当 时，则点 坐标为______；
（2）连接 ，当点 在线段 上运动时， 的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求
出其周长；
（3）连接 ，当点 在线段 上运动时，求 的最小值．35．（2020上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）某课外活动小组对课本上的一道习题学习后，进行了拓展
应用：
（1）如图1，是在直线l上找一点P，使得PA＋PB最短（画图即可）．
（2）如图2，应用：已知正方形ABCD中，E为AB的中点，在线段BD上找一点P，使得PA＋PE的值最
小，画图即可．
（3）探索：E为正方形ABCD的AB边的中点，如图3，M为BC上一点，N为CD上一点，连接EM，
MN，NA，请你应用（1）的原理，在图2中找出点M，N，使得EM＋MN＋NA的值最小，画图即可．
【经典压轴题八 平行四边形中的动点问题】
36．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）如图，在矩形 中， ，动点
P、Q分别从点A、C同时出发，点P以 的速度向终点B匀速运动，点Q以 的速度向终点D匀
速运动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为 ．
(1)当 时，四边形 面积是多少?
(2)当t为何值时，以点P、Q、D为顶点的三角形是以 为腰的等腰三角形．37．（2023下·江苏常州·八年级统考期中）如图，在平行四边形 中， ， ， ，
点P从点B出发，沿射线 方向运动；点Q从点D同时出发，沿 方向运动，到点A 为止，运动的时
间为t．
(1)若点P的运动速度为3个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，若运动到以点P、C、D、Q为顶点
的四边形为平行四边形时，求t的值；
(2)若点 P 的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，若运动中能使以点P、C、D、Q
为顶点的四边形为菱形，请直接写出m、n的数量关系．
38．（2023下·江苏南京·八年级南京五十中校联考期中）已知：如图，在矩形 中， ， ．
在 上取一点 ， ，点 是 边上的一个动点，以 为一边作菱形 ，使点 落在 边
上，点 落在矩形 内或其边上．若 ， 的面积为 ．
(1)如图1，当四边形 是正方形时， 的值为 ，S的值为 ；(2)如图2，当四边形 是菱形时，
①求证： ；
②求 与 的函数关系式；
(3)当x 时， 的面积 最大；当 时， 的面积 最小；
(4)在点F运动的过程中，请直接写出点 运动的路线长： ．
39．（2023下·江苏无锡·八年级校考阶段练习）已知，如图，O为坐标原点，四边形 为矩形，
A(10，0)，C(0，4)，点D是 的中点，动点P在线段 上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．
设动点P的运动时间为t秒
(1)当t为何值时，四边形 是平行四边形？
(2)在直线 上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并
求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在线段 上有一点M，且 ，当P运动 秒时，四边形 的周长最小，并画图标出点M
的位置．
40．（2023下·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）如图，点O为矩形 的对称中心，
．点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，
点E的运动速度为 ，点F的运动速度为 ，点G的运动速度为 ．当点F到达点C（即点F
与点C重合）时，三个点随之停止运动，在运动过程中， 关于直线 的对称图形是 设点
E，F，G运动的时间为t（单位：s）(1)当 __________s时，四边形 为正方形；
(2)当x为何值时，以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形可能全等？
(3)是否存在实数t，使得点 与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【经典压轴题九 平行四边形的存在性问题】
41．（2023上·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，平行四边形 在直角坐标系中，点B、点C都
在x轴上，其中 ， ， ，E是线段 的中点．
(1)求出C，D的坐标；
(2)平面内是否存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的
坐标；若不存在，请说明理由．42．（2023下·广西柳州·八年级校考期中）如图，直角坐标系中，平行四边形 的边 ，
， ，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，点Q以每秒 个单位的速度从
点O向点C运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t．
(1)求出点C，B的坐标；
(2)当t为何值时， ？
(3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点M，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，
请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
43．（2023下·山东青岛·八年级统考期末）已知，平行四边形 中， ， ，
，点 ， 分别是线段 和 上的动点，点 以 的速度从点 出发沿 向点 运
动，同时点 以 的速度从点 出发，在 上沿 方向往返运动，当点 到达点 时，点
， 同时停止运动．连接 ， ．设运动时间为 ，请回答下列问题：
(1)当 为何值时， 平分 ？
(2)在运动过程中，是否存在某一时刻 ，使得以 ， ， ， 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存
在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
(3)连接 并延长，交 的延长线与点 ，连接 ．设 的面积为 ，求 与 之间的关系式．44．（2022下·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）在平面直角坐标系中， 的顶点A在y轴正半轴上，
BC边在x轴上，已知 ， ，且点B点C关于关于y轴对称
(1)如图1，求点A的坐标．
(2)如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，若 ，求OE的长．
(3)如图3，在（2）的条件下，点Q是 外一点，连接AQ、BQ、CQ，并且CQ交AO于F，交AB于
G，且 ，请问是否存在点P使得四边形 为平行四边形？若存在
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
45．（2023上·湖南怀化·九年级校考开学考试）综合与探究：如图，直线AB： 分别交x轴，y轴
于点B，E，过点A作直线 分别交x轴，y轴于点 ， ．
(1)求直线 的解析式．
(2)在y轴左侧作直线 轴，分别交直线 ， 于点F，G．当 时，过点G作直线轴，交y轴于点H．能否在直线 上找一点P，使 的值最小，求出P点的坐标．
(3)M为直线 上一点，在（2）的条件下，x轴上是否存在点Q使得以P，Q，M，O为顶点的四边形为平
行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【经典压轴题十 四边形其他综合问题】
46．（2023下·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在边长为12的正方形 内部有两个大小相同的矩形
、 ， 与 相交于点 ， 与 相交于点 ， ， ．
(1)用含有 、 的代数式表示矩形 与矩形 重叠部分的面积 ，并求出 应满足的条件；
(2)当 ， 时，
① 的长为________
②四边形 旋转后能与四边形 重合，请指出该图形所在平面内能够作为旋转中心的点，并分别
说明如何旋转的（至少两种）．
47．（2022下·江苏扬州·八年级校考阶段练习）【方法回顾】
如图1，过正方形 的顶点A作一条直l交边 于点P， 于点E， 于点F，猜想 ，
， 三条线段的数量关系： ，并证明你的猜想．【问题解决】
如图2，菱形 的边长为 ，过点A作一条直线l交边 于点P，且 ，点F是 上一点，
且 ，过点B作 ，与直线l交于点E，若 ，求 的长．
【思维拓展】
如图3，在正方形 中，点P在 所在直线上的上方， ，连接 ， ，若 的面积与
的面积之差为 ，则 的值为 （用含m的式子表示）
48．（2023下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）[初步探究]
（1）如图1，在四边形 中， ，点E是边 上一点， ， ，连接 、
．则 的形状为_______．
[解决问题]
（2）如图2，在矩形 中，点P是边 上一点，在边 、 上分别作出点E、F，使得点E、F、
P是一个等腰直角三角形的三个顶点，且 ， ．（要求∶仅用圆规作图，保留作图痕迹，
简要写出作法）．
[拓展应用]
（3）如图3，在平面直角坐标系 中，已知点 ，点 ，点C在第一象限内，点D在y轴的右
侧，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是正方形，求出点C的坐标．
（4）如图4，在平面直角坐标系 中，已知点 ，点C是y轴上的动点，线段 绕着点C按逆时
针方向旋转 至线段 ， ，连接 、 ，直接写出 的最小值．49．（2023下·江苏连云港·八年级统考期末）【问题情境】期中调研试题中的第26题对苏科版八年级下册
数学教材第94页第19题第（1）题进行了探究．小明在期末复习时，对该题进行了新的探究．
【探究活动1】（1）如图，在正方形 中，点 、 、 分别在边 、 和 上，且 ，
垂足为 ．那么 与 相等吗？证明你的结论；
【探究活动2】（2）如图，在（1）的条件下，当M在正方形 的对角线 上时，连接 ，将
沿着 翻折，点 落在点 处．
①四边形 是正方形吗？请说明理由；
②若 ，如图，点 在 上，且 ，直接写出 的最小值为 ．
50．（2023下·江苏泰州·八年级统考期中）在正方形 的对角线 上任取一点 ，连接 ，过点
作 的垂线交边 于点 ．
(1)如图1，写出 与 的数量关系并加以证明；
(2)如图2，连接 交 于点 ，若 ， ，求 的长；
(3)在（2）的条件下，将 沿着 翻折，得到 ，如图3，连接 ，求 的面积．
