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专题 18.8 四边形中的最值问题专项训练（30 道）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学
生对四边形中最值问题模型的记忆与理解！
一．选择题（共10小题）
1．（2022春•重庆期末）如图，矩形 ABCD中，AB＝2√3，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，
PC，则PA+PB+PC的最小值是（ ）
A．4√3+3 B．2√21 C．2√3+6 D．4√5
2．（2022•灞桥区校级模拟）如图，平面内三点 A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形
BDCE，连接AD，则AD的最大值是（ ）
7
A．5 B．7 C．7√2 D． √2
2
3．（2022春•中山市期末）如图，在边长为a的正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且BE＝BC，点
P是CE上一动点，则点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值（ ）√2
A．有最大值a B．有最小值 a
2
√2
C．是定值a D．是定值 a
2
4．（2022春•三门峡期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，
P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．√2 D．2√2
5．（2022春•滨湖区期末）如图，已知菱形ABCD的面积为20，边长为5，点P、Q分别是边BC、CD上
的动点，且PC＝CQ，连接PD、AQ，则PD+AQ的最小值为（ ）
A．4√5 B．√89 C．10 D．7√2
6．（2022•泰山区一模）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交
BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为2，则线段CF的最小值是（ ）
A．2 B．1 C．√5−1 D．√5−2
7．（2022•龙华区二模）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE＝1，F为
射线BC上一动点，过点E作EG⊥AF于点P，交直线AB于点G．则下列结论中：①AF＝EG；②若
∠BAF＝∠PCF，则PC＝PE；③当∠CPF＝45°时，BF＝1；④PC的最小值为√13−2．其中正确的有
（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2022•南平校级自主招生）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点
P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（ ）
A．4 B．4.8 C．5.2 D．6
9．（2022春•崇川区期末）如图，正方形ABCD边长为1，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且
BE＝CF，连接BF，DE，则BF+DE的最小值为（ ）
A．√2 B．√3 C．√5 D．√6
10．（2022•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形
DEFG．设DE＝d，点F、G与点C的距离分别为d、d，则d+d+d 的最小值为（ ）
1 2 3 1 2 3
A．√2 B．2 C．2√2 D．4
二．填空题（共10小题）11．（2022春•江城区期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在
边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程
中点D到点O的最大距离是 ．
12．（2022•东莞市校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，
且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+DQ的最小值为 ．
13．（2022•钱塘区一模）如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正
方形EFGH，连结AH，CG．若AB＝10，AD＝6，EF＝4，则AH+CG的最小值为 ．
14．（2022春•东城区期中）在正方形ABCD中，AB＝5，点E、F分别为AD、AB上一点，且AE＝AF，
连接BE、CF，则BE+CF的最小值是 ．
15．（2022春•虎林市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝12，AC＝16，点D是斜边BC
上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则
线段GF的最小值为 ．16．（2022•灞桥区校级三模）在菱形ABCD中，∠D＝60°，CD＝4，E为菱形内部一点，且AE＝2，连接
CE，点F为CE中点，连接BF，取BF中点G，连接AG，则AG的最大值为 ．
17．（2022春•靖江市校级期末）如图，线段AB的长为10，点D在AB上，△ACD是边长为3的等边三角
形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH
的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为 ．
18．（2022春•郫都区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E是BC边上一动点，作点B关
于AE的对称点F，连接CF，点P为CF中点，则DP的最小值为 ．
19．（2022春•江都区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2√3，E为AB的中点，F为EC上一动
点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是 ．20．（2022春•如东县期中）如图，已知AB＝2√2，C为线段AB上的一个动点，分别以AC，CB为边在
AB的同侧作菱形ACED和菱形CBGF，点C，E，F在一条直线上，∠D＝120°．P、Q分别是对角线
AE，BF的中点，当点C在线段AB上移动时，点P，Q之间的距离最短为 （结果保留根号）．
三．解答题（共10小题）
21．（2022•禹城市二模）（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别是边BC，CD上两
点，且BM＝CN，连AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．
（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿
BC、CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN，交于点P．求△APB周长的最大值．
22．（2022春•东坡区校级月考）正方形ABCD中，E、F是AD上的两个点，AE＝DF，连CF交BD于点
M，连AM交BE于点N，连接DN．如果正方形的边长为2．（1）求证：BE⊥AM；
（2）求DN的最小值．
23．（2022•黄埔区模拟）如图，在边长为 4的菱形ABCD中，BD＝4，E、F分别是AD、CD上的动点
（包含端点），且AE+CF＝4，连接BE、EF、FB．
（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；
（2）求EF的最大值与最小值．
24．（2022春•洪山区期中）如图1，E，F是正方形ABCD的边上两个动点，满足AE＝DF，连接CF交
BD于G，连接BE交AG于点H
（1）求证：AG⊥BE；
（2）如图2，连DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 ．
25．（2022•宁德）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上
任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为√3+1时，求正方形的边长．
26．（2022•南充模拟）如图，M，N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足CM＝DN，AC，BM相交于点E，DE与AN相交于点F，连接CF．
（1）求证：DE⊥AN．
（2）若正方形ABCD的边长为4，求CF的最小值．
27．（2022春•思明区校级期中）已知：在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，四边形EFGH的三个顶点
E、F、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、DA上．
（1）如图1，四边形EFGH为正方形，AE＝2，求GC的长．
1
（2）如图2，四边形EFGH为菱形，设BF＝x，△GFC的面积为S，且S与x满足函数关系S＝6− x．
2
在自变量x的取值范围内，是否存在x，使菱形EFGH的面积最大？若存在，求x的值，若不存在，请
说明理由．
28．（2022•南岗区校级一模）已知菱形ABCD的对角线相交于O，点E、F分别在边AB、BC上，且BE＝
BF，射线EO、FO分别交边CD、AD于G、H．
（1）求证：四边形EFGH为矩形；
（2）若OA＝4，OB＝3，求EG的最小值．
29．（2022春•戚墅堰区校级月考）如图，已知∠MON＝90°，线段AB长为6cm，AB两端分别在OM、ON上滑动，以AB为边作正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点P，连接OC．
（1）求OC的最大值；
（2）求证：无论点A、点B怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；
（3）若OP＝4√2cm，求OA的长．
30．（2012秋•吴中区月考）如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不
含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？
（2）求证：△AMB≌△ENB；
（3）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由．
