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第 42 讲 等比数列
1、等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示．
2、 等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列{a }的第n项a ，有公式 1，这就是等比数列{a }的通项公式，其中a 为
n n n 1
首项，q为公比．第二通项公式为： m．
3、等比数列的前n项和公式
等比数列{a}的前n项和公式：S＝ (q≠1)或S＝ (q≠1)．
n n n
注意：(1)当q＝1时，该数列是各项不为零的常数列，S＝ ；
n 1
(2)有关等比数列的求和问题，当q不能确定时，应分q＝1，q≠1来讨论．
4、等比数列的性质
(1)若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，则 b.
(2)等比数列{a }中，若m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，则有 ，特别地，当m＋n＝2p
n
时，
(3)设S 是等比数列{a}的前n项和，则S ，S －S ，S －S 满足关系式 ．
m n m 2m m 3m 2m
(4)等比数列的单调性，若首项a ＞0，公比q>1或首项a ＜0，公比0<q<1，则数列为递增数列；若首
1 1
项a＞0，公比0<q<1或首项a＜0，公比q＞1，则数列为递减数列；若公比q＝1，则数列为常数列；公比
1 1
q＜0，则数列为摆动数列．
(5)若{a}和{b}均为等比数列，则{λa}(λ≠0)、{|a|}、、{a}、、{ma b}(m≠0)仍为等比数列．
n n n n n n
1、（2022•乙卷（文））已知等比数列 的前3项和为168， ，则
A．14 B．12 C．6 D．3
2、（2021•甲卷（文））记 为等比数列 的前 项和．若 ， ，则
A．7 B．8 C．9 D．10
3、（2023•甲卷（文））记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 的公比为 ．
4、（2021•上海）已知 为无穷等比数列， ， 的各项和为9， ，则数列 的各项和为
．
5、（2023•乙卷（理））已知 为等比数列， ， ，则 ．
6、（2021•甲卷（理））等比数列 的公比为 ，前 项和为 ．设甲： ，乙： 是递增数列，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7、（2023•天津）已知 为等比数列， 为数列 的前 项和， ，则 的值为
A．3 B．18 C．54 D．152
8、（2023•甲卷（理））已知等比数列 中， ， 为 前 项和， ，则
A．7 B．9 C．15 D．30
9、（2022•上海）已知等比数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，则下列选项判断正确的是
A．若 ，则数列 是递增数列
B．若 ，则数列 是递增数列
C．若数列 是递增数列，则
D．若数列 是递增数列，则
10、（2023•新高考Ⅱ）记 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则
A．120 B．85 C． D．
1、若等比数列{a}的各项均为正数，a＝3,4a＝aa，则a 等于( )
n 2 1 7 5
A. B. C．12 D．24
2、等比数列{a}的前n项和为S＝32n－1＋r，则r的值为( )
n n
A. B．－ C. D．－
3、已知递增的等比数列{a}中，a＝6，a＋1，a＋2，a 成等差数列，则该数列的前6项和S 等
n 2 1 2 3 6
于( )
A．93 B．189 C. D．3784、（2022年广州附属中学高三模拟试卷）已知等比数列 的前n项和为 ，若 ， ，则
______．
5、（2023·云南红河·统考一模）在数列 中， ， ，若 为等比数列，则
____________．
考向一 等比数列的基本运算
例1、（1）设正项等比数列{a}的前n项和为S，若S＝3，S＝15，则公比q等于( )
n n 2 4
A．5 B．4 C．3 D．2
（2）已知各项均为正数的等比数列{a}的前4项和为15，且a＝3a＋4a，则a 等于( )
n 5 3 1 3
A．16 B．8 C．4 D．2
（3）（2021·吉林延边朝鲜族自治州·高三月考（文））已知各项均为正数且单调递减的等比数列 满足
、 、 成等差数列.其前 项和为 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
方法总结：(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a ，n，q，a ，
1 n
S，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解；
n
（2）等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{a}的前n项和S＝na；当q≠1时，
n n 1
{a}的前n项和S＝＝。
n n
考向二 等比数列的性质
例2、(1)已知等比数列{a}的各项为正数，且aa＋aa＝18，则log a＋log a＋…＋log a ＝( )
n 5 6 4 7 3 1 3 2 3 10
A．12 B．10
C．8 D．2＋log 5
3
(2)设等比数列{a}中，前n项和为S，已知S＝8，S＝7，则a＋a＋a 等于( )
n n 3 6 7 8 9
A. B．－C. D.
(3)已知等比数列{a}共有 2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则公比 q＝
n
________.
变式1、 (1) 在等比数列{a}中，若aaaa＝1，a a a a ＝8，则a a a a ＝________；
n 1 2 3 4 13 14 15 16 41 42 43 44
(2) 已知数列{a}为等比数列，S 为其前 n项和，n∈N*，若 a ＋a ＋a ＝3，a ＋a ＋a ＝6，则 S ＝
n n 1 2 3 4 5 6 12
________；
(3) 已知{a}是等比数列，a＝2，a＝，则aa＋aa＋…＋aa ＝________．
n 2 5 1 2 2 3 n n＋1
方法总结：(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若 m＋n＝p
＋q(m，n，p，q∈N*)，则a ·a＝a·a”，可以减少运算量，提高解题速度．
m n p q
(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而
不求思想的运用
考向三 等比数列的判定与证明
例3、（1）设等比数列{a}的公比为q，则下列结论正确的是( )
n
A．数列{aa }是公比为q的等比数列
n n＋1
B．数列{a＋a }是公比为q的等比数列
n n＋1
C．数列{a－a }是公比为q的等比数列
n n＋1
D．数列是公比为的等比数列
（2）（2023·安徽蚌埠·统考三模）（多选）已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项积
为 ，则下列结论正确的是( )
A．数列 是等差数列 B．数列 是等差数列
C．数列 是等比数列 D．数列 是等差数列
变式1、(1) 已知数列{a}的前n项和为S ，且a ＋S ＝n.若数列 {b}满足b ＝a ，b ＝a －a (n≥2)，求
n n n n n 1 1 n n n－1
证：数列{b}是等比数列；
n
(2) 已知数列{a}满足a＝1，a＝2，a ＝，n∈N*.
n 1 2 n＋2
①令b＝a －a，求证：{b}是等比数列；
n n＋1 n n
②求数列{a}的通项公式．
n变式2、（2022年河北省高三大联考模拟试卷）已知数列 ， 满足 ，
，且 ，
（1）求 ， 的值，并证明数列 是等比数列；
（2）求数列 ， 的通项公式．
方法总结：证明一个数列为等差数列或者等比数列常用定义法与等差、等比中项法，其他方法只用于选择、
填空题中的判定；若证明某数列不是等差或等比数列，则只要证明存在连续三项不成等差或等比数列即可．
而研究数列中的取值范围问题，一般都是通过研究数列的单调性来进行求解
1、（2022年河北省张家口高三模拟试卷）已知等比数列 各项均为正数，且 ，则 （
）
A. B. C. D. 或
2、（2022年河北省衡水中学高三模拟试卷）等比数列{a}中，每项均为正数，且aa＝81，则log a＋
n 3 8 3 1
log a＋…＋log a 等于（ ）
3 2 3 10
A. 5 B. 10 C. 20 D. 40
3、（2023·吉林长春·统考三模）已知等比数列 的公比为 （ 且 ），若 ，则
的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
4、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）（多选题）已知 是等比数列 的前 项和，且
，则下列说法正确的是（ ）A．
B．
C．
D．
5、（2023·湖南永州·统考三模）已知等比数列 ，其前 项和为 ，若 ， ，则
________.
6、（2023·江苏南通·统考一模）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列 的通项公式
__________.
① ；②
7、（2023·江苏泰州·统考一模）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{ }的通项公式 ＝___．
① ；②
