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第 3 讲 等比数列及其前 n 项和
一、选择题
1.已知{a }，{b }都是等比数列，那么( )
n n
A.{a ＋b }，{a ·b }都一定是等比数列
n n n n
B.{a ＋b }一定是等比数列，但{a ·b }不一定是等比数列
n n n n
C.{a ＋b }不一定是等比数列，但{a ·b }一定是等比数列
n n n n
D.{a ＋b }，{a ·b }都不一定是等比数列
n n n n
解析 两个等比数列的积仍是一个等比数列.
答案 C
2.(2017·华师附中调研)在等比数列{a }中，a a a ＝8，a ＝8，则a ＝( )
n 2 3 4 7 1
A.1 B.±1 C.2 D.±2
解析 由a a a ＝a＝8，得a ＝2，所以a ＝a ·q4＝2q4＝8，则q2＝2，因此a ＝
2 3 4 3 7 3 1
＝1.
答案 A
3.(必修5P67A1(2)改编)一个蜂巢里有1只蜜蜂.第1天，它飞出去找回了5个伙
伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程
继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂( )
A.55 986 B.46 656 C.216 D.36
解析 设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为a ，根据题意得数列{a }成等比数列，a ＝
n n 1
6，q＝6，所以{a }的通项公式a ＝6×6n－1，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂
n n
巢中一共有a ＝6×65＝66＝46 656只蜜蜂，故选B.
6
答案 B
4.(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{a }满足a ＝3，a ＋a ＋a ＝21，则a ＋a ＋a
n 1 1 3 5 3 5 7
＝( )
A.21 B.42 C.63 D.84
解析 设等比数列{a }的公比为q，则由a ＝3，a ＋a ＋a ＝21得3(1＋q2＋q4)
n 1 1 3 5
＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a ＋a ＋a ＝q2(a ＋a ＋a )＝2×21＝
3 5 7 1 3 5
42，故选B.
答案 B
5.(2017·石家庄质检)设各项都是正数的等比数列{a }，S 为前n项和，且S ＝
n n 10
10，S ＝70，那么S 等于( )
30 40
A.150 B.－200C.150或－200 D.400或－50
解析 依题意，数列S ，S －S ，S －S ，S －S 成等比数列，因此有(S －
10 20 10 30 20 40 30 20
S )2＝S (S －S ).
10 10 30 20
即(S －10)2＝10(70－S )，故S ＝－20或S ＝30，
20 20 20 20
又S ＞0，
20
因此S ＝30，S －S ＝20，S －S ＝40，
20 20 10 30 20
故S －S ＝80.
40 30
S ＝150.故选A.
40
答案 A
二、填空题
6.(2017·肇庆模拟)在等比数列{a }中，S 表示前n项和，若a ＝2S ＋1，a ＝2S ＋
n n 3 2 4 3
1，则公比q等于________.
解析 两式相减得a －a ＝2a ，从而求得＝3.即q＝3.
4 3 3
答案 3
7.在各项均为正数的等比数列{a }中，若 a ＝1，a ＝a ＋2a ，则 a 的值是
n 2 8 6 4 6
________.
解析 因为a ＝a q6，a ＝a q4，a ＝a q2，所以由a ＝a ＋2a 得a q6＝a q4＋
8 2 6 2 4 2 8 6 4 2 2
2a q2，消去a q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，q2＝
2 2
－1舍去，a ＝a q4＝1×22＝4.
6 2
答案 4
8.已知各项均为正数的等比数列{a }的前n项和为S ，若S ＝3S ，a ＝2，则a ＝
n n 4 2 3 7
________.
解析 设等比数列{a }的首项为a ，公比为q，显然q≠1且q＞0，因为S ＝3S ，
n 1 4 2
所以＝，解得q2＝2，因为a ＝2，所以a ＝a q4＝2×22＝8.
3 7 3
答案 8
三、解答题
9.在等比数列{a }中，a ＝3，a ＝81.
n 2 5
(1)求a ；
n
(2)设b ＝log a ，求数列{b }的前n项和S .
n 3 n n n
解 (1)设{a }的公比为q，依题意得
n
解得
因此，a ＝3n－1.
n(2)因为b ＝log a ＝n－1，
n 3 n
所以数列{b }的前n项和S ＝＝.
n n
10.(2017·合肥模拟)设{a }是公比为q的等比数列.
n
(1)推导{a }的前n项和公式；
n
(2)设q≠1，证明数列{a ＋1}不是等比数列.
n
解 (1)设{a }的前n项和为S ，
n n
当q＝1时，S ＝a ＋a ＋…＋a ＝na ；
n 1 1 1 1
当q≠1时，S ＝a ＋a q＋a q2＋…＋a qn－1，①
n 1 1 1 1
qS ＝a q＋a q2＋…＋a qn，②
n 1 1 1
①－②得，(1－q)S ＝a －a qn，
n 1 1
∴S ＝，∴S ＝
n n
(2)假设{a ＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，
n
(a ＋1)2＝(a ＋1)(a ＋1)，
k＋1 k k＋2
a＋2a ＋1＝a a ＋a ＋a ＋1，
k＋1 k k＋2 k k＋2
aq2k＋2a qk＝a qk－1·a qk＋1＋a qk－1＋a qk＋1，
1 1 1 1 1
∵a ≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.
1
∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾.
故数列{a ＋1}不是等比数列.
n
11.在正项等比数列{a }中，已知a a a ＝4，a a a ＝12，a a a ＝324，则n等
n 1 2 3 4 5 6 n－1 n n＋1
于( )
A.12 B.13 C.14 D.15
解析 设数列{a }的公比为q，
n
由a a a ＝4＝aq3与a a a ＝12＝aq12，
1 2 3 4 5 6
可得q9＝3，a a a ＝aq3n－3＝324，
n－1 n n＋1
因此q3n－6＝81＝34＝q36，
所以n＝14，故选C.
答案 C
12.(2017·临沂模拟)数列{a }中，已知对任意n∈N*，a ＋a ＋a ＋…＋a ＝3n－1，
n 1 2 3 n
则a＋a＋a＋…＋a等于( )
A.(3n－1)2 B.(9n－1)
C.9n－1 D.(3n－1)解析 ∵a ＋a ＋…＋a ＝3n－1，n∈N*，n≥2时，a ＋a ＋…＋a ＝3n－1－1，
1 2 n 1 2 n－1
∴当n≥2时，a ＝3n－3n－1＝2·3n－1，
n
又n＝1时，a ＝2适合上式，∴a ＝2·3n－1，
1 n
故数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列.
因此a＋a＋…＋a＝＝(9n－1).
答案 B
13.(2017·沈阳模拟)在等比数列{a }中，a ＝1，则其前3项的和S 的取值范围是
n 2 3
________.
解析 当q>0时，S ＝a ＋a ＋a ＝1＋a ＋a ≥1＋2＝1＋2＝3，当且仅当a ＝a
3 1 2 3 1 3 1 3
＝1时等号成立.
当q<0时，S ＝a ＋a ＋a ＝1＋a ＋a ≤1－2＝1－2＝－1，当且仅当a ＝a ＝－
3 1 2 3 1 3 1 3
1时等号成立.
所以，S 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞).
3
答案 (－∞，－1]∪[3，＋∞)
14.(2015·四川卷)设数列{a }(n＝1，2，3，…)的前n项和S 满足S ＝2a －a ，且
n n n n 1
a ，a ＋1，a 成等差数列.
1 2 3
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)记数列的前n项和为T ，求使得|T －1|＜成立的n的最小值.
n n
解 (1)由已知S ＝2a －a ，
n n 1
有a ＝S －S ＝2a －2a (n≥2)，
n n n－1 n n－1
即a ＝2a (n≥2)，所以q＝2.
n n－1
从而a ＝2a ，a ＝2a ＝4a ，
2 1 3 2 1
又因为a ，a ＋1，a 成等差数列，即a ＋a ＝2(a ＋1)，
1 2 3 1 3 2
所以a ＋4a ＝2(2a ＋1)，解得a ＝2，
1 1 1 1
所以，数列{a }是首项为2，公比为2的等比数列，
n
故a ＝2n.
n
(2)由(1)得＝，
所以T ＝＋＋…＋＝＝1－.
n
由|T －1|＜，得＜，
n
即2n＞1 000，
因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n≥10，
于是，使|T －1|＜成立的n的最小值为10.
n
