文档内容
第 3 讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、选择题
1.已知命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为( )
A.所有的指数函数都不是单调函数
B.所有的单调函数都不是指数函数
C.存在一个指数函数，它不是单调函数
D.存在一个单调函数，它不是指数函数
解析 命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为：存在一个指数函数，它
不是单调函数.
答案 C
2.设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于
直线x＝对称.则下列判断正确的是( )
A.p为真 B.綈p为假
C.p∧q为假 D.p∧q为真
解析 p为假命题，q为假命题，∴p∧q为假.
答案 C
3.2016年巴西里约奥运会，在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题p是
“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站
稳”可表示为( )
A.(綈p)∨(綈q) B.p∨(綈q)
C.(綈p)∧(綈q) D.p∨q
解析 命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况：“甲、乙落
地均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站
稳”，故可表示为(綈p)∨(綈q).或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等
价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“p∧q”的否定.
答案 A
4.(2017·西安调研)已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0
的根.则下列命题为真命题的是( )
A.p∧(綈q) B.(綈p)∧q
C.(綈p)∧(綈q) D.p∧q
解析 由题意知命题p是真命题，命题q是假命题，故綈p是假命题，綈q是真
命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p∧(綈q)是真命题.答案 A
5.下列命题中，真命题是( )
A. x ∈R，ex ≤0
0 0
B. x∈R，2x>x2
∃
C.a＋b＝0的充要条件是＝－1
∀
D.“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件
解析 因为y＝ex>0，x∈R恒成立，所以A不正确.
因为当x＝－5时，2－5<(－5)2，所以B不正确.
“＝－1”是“a＋b＝0”的充分不必要条件，C不正确.
当a>1，b>1时，显然ab>1，D正确.
答案 D
6.命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是(
)
A.(0，4]
B.[0，4]
C.(－∞，0]∪[4，＋∞)
D.(－∞，0)∪(4，＋∞)
解析 因为命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，
所以命题綈p：∃x ∈R，ax＋ax ＋1<0，
0 0
则a<0或解得a<0或a>4.
答案 D
7.(2017·衡阳模拟)已知命题p：∃α∈R，cos(π－α)＝cos α；命题q：∀x∈R，x2＋
1>0.则下面结论正确的是( )
A.p∧q是真命题 B.p∧q是假命题
C.綈p是真命题 D.綈q是真命题
解析 对于p：取α＝，则cos(π－α)＝cos α，
所以命题p为真命题；
对于命题q：∵x2≥0，∴x2＋1>0，所以q为真命题.由此可得p∧q是真命题.
答案 A
8.(2017·江西赣中南五校联考)已知命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，命题q：
∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立.若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为( )
A.[2，＋∞) B.(－∞，－2]∪(－1，＋∞)C.(－∞，－2]∪[2，＋∞) D.(－1，2]
解析 由命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0可得m≤－1；由命题q：∀x∈R，x2
＋mx＋1>0恒成立，可得－2
－1.
答案 B
二、填空题
9.命题“∃x ∈，tan x >sin x ”的否定是________.
0 0 0
答案 ∀x∈，tan x≤sin x
10.若命题“∃x ∈R，使得x＋(a－1)x ＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围
0 0
是________.
解析 ∵“∃x ∈R，使得x＋(a－1)x ＋1＜0”是真命题，
0 0
∴Δ＝(a－1)2－4＞0，即(a－1)2＞4，
∴a－1＞2或a－1＜－2，
∴a＞3或a＜－1.
答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)
11.(2017·石家庄调研)已知下列四个命题：
①“若x2－x＝0，则x＝0或x＝1”的逆否命题为“x≠0且x≠1，则x2－x≠0”
②“x<1”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件
③命题p：存在x ∈R，使得x＋x ＋1<0，则綈p：任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0
0 0
④若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
其中真命题的是________(填序号).
解析 显然①③正确.
②中，x2－3x＋2>0 x>2或x<1.
∴“x<1”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件，②正确.
⇔
④中，若p∧q为假命题，则p，q至少有一个假命题，④错误.
答案 ①②③
12.已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”；命题q：“∃x ∈R，使得x＋4x ＋a＝0”.
0 0
若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________.
解析 若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由∀x∈[0，1]，
a≥ex，得a≥e；由∃x ∈R，使x＋4x ＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，得a≤4，因此
0 0e≤a≤4.
答案 [e，4]
13.(2016·浙江卷)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A. x∈R，∃n∈N*，使得n2”是“<”的充分不必要条件；
④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真.
其中说法不正确的序号是________.
解析 ①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题
的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，此命题为真命题，
所以原命题也是真命题，②错误；③<，则－＝<0，解得x<0或x>2，所以“x>2”
是“<”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真
假性相同，故④正确.
答案 ①②
16.已知命题p：∃x∈R，ex－mx＝0，q：∀x∈R，x2－2mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假
命题，则实数m的取值范围是________.解析 若p∨(綈q)为假命题，则p假q真.
由ex－mx＝0得m＝，设f(x)＝，
则f′(x)＝＝.
当x＞1时，f′(x)＞0，此时函数单调递增；
当0＜x＜1时，f′(x)＜0，此时函数单调递减；
当x＜0时，f′(x)＜0，此时函数单调递减.
由f(x)的图象及单调性知当x＝1时，f(x)＝取得极小值f(1)＝e，所以函数f(x)＝
的值域为(－∞，0)∪[e，＋∞)，所以若p是假命题，则0≤m＜e；
命题q为真命题时，有Δ＝4m2－4≤0，则－1≤m≤1.
所以当p∨(綈q)为假命题时，m的取值范围是[0，1].
答案 [0，1]
