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第3讲 数学归纳法及其应用
一、选择题
1.用数学归纳法证明“2n＞2n＋1对于n≥n 的正整数n都成立”时，第一步证
0
明中的起始值n 应取( )
0
A.2 B.3 C.5 D.6
解析 ∵n＝1时，21＝2，2×1＋1＝3，2n＞2n＋1不成立；
n＝2时，22＝4，2×2＋1＝5，2n＞2n＋1不成立；
n＝3时，23＝8，2×3＋1＝7，2n＞2n＋1成立.
∴n的第一个取值n ＝3.
0
答案 B
2.某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可以推出n＝
k＋1时该命题也成立.现已知n＝5时该命题成立，那么( )
A.n＝4时该命题成立
B.n＝4时该命题不成立
C.n≥5，n∈N*时该命题都成立
D.可能n取某个大于5的整数时该命题不成立
解析 显然A，B错误，由数学归纳法原理知C正确，D错.
答案 C
3.利用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)”的过程中，由“n
＝k”变到“n＝k＋1”时，左边增加了( )
A.1项 B.k项 C.2k－1项 D.2k项
解析 左边增加的项为＋＋…＋共2k项，故选D.
答案 D
4.对于不等式<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立.
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式<k＋1成立，当n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1.
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )
A.过程全部正确
B.n＝1验得不正确
C.归纳假设不正确
D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
解析 在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法.答案 D
5.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基
础上加上( )
A.k2＋1
B.(k＋1)2
C.
D.(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
解析 当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2.
当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，
故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.故
选D.
答案 D
二、填空题
6.设S ＝1＋＋＋＋…＋，则S －S ＝________.
n n＋1 n
解析 ∵S ＝1＋＋…＋＋＋…＋，
n＋1
S ＝1＋＋＋＋…＋.
n
∴S －S ＝＋＋＋…＋.
n＋1 n
答案 ＋＋＋…＋
7.数列{a }中，已知a ＝2，a ＝(n∈N*)，依次计算出a ，a ，a ，猜想a ＝
n 1 n＋1 2 3 4 n
________.
解析 a ＝2，a ＝＝，a ＝＝，a ＝＝.由此，猜想a 是以分子为2，分母是以首项
1 2 3 4 n
为1，公差为6的等差数列.∴a ＝.
n
答案
8.凸n多边形有f(n)条对角线.则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)与f(n)的递
推关系式为________.
解析 f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1＝f(n)＋n－1.
答案 f(n＋1)＝f(n)＋n－1
三、解答题
9.用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n∈N*，n≥2).
证明 (1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立.
(2)假设n＝k时命题成立，即1＋＋＋…＋<2－.
当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－，命题成立.由(1)(2)知原不等式在n∈N*，n≥2时均成立.
10.数列{a }满足S ＝2n－a (n∈N*).
n n n
(1)计算a ，a ，a ，a ，并由此猜想通项公式a ；
1 2 3 4 n
(2)证明(1)中的猜想.
(1)解 当n＝1时，a ＝S ＝2－a ，∴a ＝1；
1 1 1 1
当n＝2时，a ＋a ＝S ＝2×2－a ，∴a ＝；
1 2 2 2 2
当n＝3时，a ＋a ＋a ＝S ＝2×3－a ，∴a ＝；
1 2 3 3 3 3
当n＝4时，a ＋a ＋a ＋a ＝S ＝2×4－a ，
1 2 3 4 4 4
∴a ＝.
4
由此猜想a ＝(n∈N*).
n
(2)证明 ①当n＝1时，a ＝1，结论成立.
1
②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，
即a ＝，那么n＝k＋1时，
k
a ＝S －S ＝2(k＋1)－a －2k＋a ＝2＋a －a ，
k＋1 k＋1 k k＋1 k k k＋1
∴2a ＝2＋a .
k＋1 k
∴a ＝＝＝.
k＋1
所以当n＝k＋1时，结论成立.
由①②知猜想a ＝(n∈N*)成立.
n
11.(2017·昆明诊断)设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，经计算得f(2)＝，f(4)＞2，
f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，观察上述结果，可推测出一般结论( )
A.f(2n)＞ B.f(n2)≥
C.f(2n)≥ D.以上都不对
解析 因为f(22)＞，f(23)＞，f(24)＞，f(25)＞，所以当n≥1时，有f(2n)≥.
答案 C
12.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推
出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”.那么，下列命题总成立的是( )
A.若f(1)<1成立，则f(10)<100成立
B.若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立
C.若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
D.若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
解析 选项A，B的答案与题设中不等号方向不同，故A，B错；选项C中，应该
是k≥3时，均有f(k)≥k2成立；对于选项D，满足数学归纳法原理，该命题成立.答案 D
13.设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域)，则f(2)＝________，f(n)
＝________.(n≥1，n∈N*)
解析 易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再
放入第n＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n＋1个应与前面n个都
相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n＋1个圆周分成2n段，每段都
把已知的某一片划分成2片，即f(n＋1)＝f(n)＋2n(n≥1)，所以f(n)－f(1)＝n(n－
1)，而f(1)＝2，从而f(n)＝n2－n＋2.
答案 4 n2－n＋2
14.数列{x }满足x ＝0，x ＝－x＋x ＋c(n∈N*).
n 1 n＋1 n
(1)证明：{x }是递减数列的充要条件是c＜0；
n
(2)若0＜c≤，证明数列{x }是递增数列.
n
证明 (1)充分性：若c＜0，由于x ＝－x＋x ＋c≤x ＋c＜x ，∴数列{x }是递
n＋1 n n n n
减数列.
必要性：若{x }是递减数列，则x ＜x ，且x ＝0.
n 2 1 1
又x ＝－x＋x ＋c＝c，∴c＜0.
2 1
故{x }是递减数列的充要条件是c＜0.
n
(2)若0＜c≤，要证{x }是递增数列.
n
即x －x ＝－x＋c＞0，
n＋1 n
即证x ＜对任意n≥1成立.
n
下面用数学归纳法证明：
当0＜c≤时，x ＜对任意n≥1成立.
n
①当n＝1时，x ＝0＜≤，结论成立.
1
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即x ＜.
k
因为函数f(x)＝－x2＋x＋c在区间内单调递增，所以x ＝f(x )＜f()＝，
k＋1 k
∴当n＝k＋1时，x ＜成立.
k＋1
由①，②知，x ＜对任意n≥1，n∈N*成立.
n
因此，x ＝x －x＋c＞x ，即{x }是递增数列.
n＋1 n n n
