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第 3 讲 定积分与微积分基本定理
一、选择题
1.(2017·西安调研)定积分(2x＋ex)dx的值为( )
A.e＋2 B.e＋1 C.e D.e－1
解析 (2x＋ex)dx＝(x2＋ex))＝1＋e1－1＝e.故选C.
答案 C
2.若dx＝3＋ln 2(a>1)，则a的值是( )
A.2 B.3 C.4 D.6
解析 dx＝(x2＋ln x)＝a2＋ln a－1，
∴a2＋ln a－1＝3＋ln 2，则a＝2.
答案 A
3.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地
已知自由落体的运动速度为 ＝gt(g为常数)，则电视塔高为( )
v
A.g B.g C.g D.2g
解析 电视塔高h＝gtdt＝ ＝g.
1
答案 C
4.如图所示，曲线y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部
分的面积为( )
A.|x2－1|dx
B.
C.(x2－1)dx
D.(x2－1)dx＋(1－x2)dx
解析 由曲线y＝|x2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积
相等，即|x2－1|dx.
答案 A
5.若S ＝x2dx，S ＝dx，S ＝exdx，则S ，S ，S 的大小关系为( )
1 2 3 1 2 3
A.S 0，若(2x－2)dx＝8，则t＝________.
解析 由(2x－2)dx＝8得，(x2－2x) ＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去).
答案 4
7.已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围成的
面积为________.
解析 根据f(x)的图象可设f(x)＝a(x＋1)·(x－1)(a<0).
因为f(x)的图象过(0，1)点，
所以－a＝1，即a＝－1.
所以f(x)＝－(x＋1)(x－1)＝1－x2.
所以S＝(1－x2)dx＝2(1－x2)dx
＝2＝2＝.
答案
8.(2017·济南模拟)设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积
为a2，则a＝________.
解析 封闭图形如图所示，则dx＝ ＝a－0＝a2，解
得a＝.
答案
三、解答题
9.计算下列定积分：
(1)dx；
(2)dx；
(3) sindx；(4)(x2tan x＋x3＋1)dx；
(5)|x2－2x|dx.
解 (1)原式＝＝－＝－ln 2；
(2)由定积分的几何意义知，所求定积分是由x＝0，x＝2，y＝，以及x轴围成的
图象的面积，即圆(x－1)2＋y2＝1的面积的一半，∴＝；
(3)原式＝ (sin x＋cos x)dx＝(－cos x＋sin x) ＝－(－cos 0＋sin 0)＝2；
(4)原式＝(x2tan x＋x3)dx＋1dx＝0＋x＝2；
(5)∵|x2－2x|＝
∴|x2－2x|dx＝(x2－2x)dx＋(－x2＋2x)dx＝＋＝8.
10.求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积.
解 作出曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x的图象，所求面积为
图中阴影部分的面积.
解方程组得交点(1，1)，
解方程组得交点(3，9)，
因此，所求图形的面积为
S＝(3x－x)dx＋(3x－x2)dx
＝2xdx＋(3x－x2)dx＝x2
＝1＋－＝.
11.若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝( )
A.－1 B.－
C. D.1
解析 由题意知f(x)＝x2＋2f(x)dx，
设m＝f(x)dx，∴f(x)＝x2＋2m，
f(x)dx＝(x2＋2m)dx＝
＝＋2m＝m，∴m＝－.
答案 B
12.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 (t)＝7－3t
v
＋(t的单位：s， 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位
v
m)是( )
A.1＋25ln 5 B.8＋25lnC.4＋25ln 5 D.4＋50ln 2
解析 令 (t)＝0，得t＝4或t＝－(舍去)，
v
∴汽车行驶距离s＝dt
＝
＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m).
答案 C
13.(2017·郑州调研)(＋ex－1)dx＝________.
解析 (＋ex－1)dx＝dx＋(ex－1)dx.
因为dx表示单位圆的上半部分的面积，
则dx＝，又(ex－1)dx＝(ex－x)|
＝(e1－1)－(e－1＋1)＝e－－2，
所以(＋ex－1)dx＝＋e－－2.
答案 ＋e－－2
14.在区间[0，1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，
使图中的阴影部分的面积S 与S 之和最小，并求最小值.
1 2
解 S 面积等于边长分别为 t与t2的矩形面积去掉曲线 y＝
1
x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S ＝t·t2－x2dx＝t3.
1
S 的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t2，
2
1－t的面积，即S ＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.
2
所以阴影部分的面积S(t)＝S ＋S ＝t3－t2＋(0≤t≤1).
1 2
令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0，得t＝0或t＝.
t＝0时，S(t)＝；t＝时，S(t)＝；t＝1时，S(t)＝.
所以当t＝时，S(t)最小，且最小值为.
