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第 3 讲 基本不等式及其应用
一、选择题
1.下列不等式一定成立的是( )
A.lg>lg x(x>0) B.sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C.x2＋1≥2|x|(x∈R) D.＜1(x∈R)
解析 当x＞0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg≥lg x(x＞0)，故选项A不正确；运用
基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x≠kπ，k∈Z时，sin x
的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有
＝1，故选项D不正确.
答案 C
2.若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A.[0，2] B.[－2，0]
C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]
解析 2≤2x＋2y＝1，所以2x＋y≤，即2x＋y≤2－2，所以x＋y≤－2.
答案 D
3.(2016·合肥二模)若a，b都是正数，则·的最小值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
解析 ∵a，b都是正数，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号.故
选C.
答案 C
4.若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A.≤ B.＋≤1
C.≥2 D.a2＋b2≥8
解析 4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，选项A，C
不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项
D成立.
答案 D
5.(2015·湖南卷)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B.2 C.2 D.4
解析 依题意知a＞0，b＞0，则＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立.
因为＋＝，所以≥，即ab≥2，
所以ab的最小值为2，故选C.答案 C
6.若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是( )
A. B. C.2 D.
解析 由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等
号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.
答案 C
7.(2017·安庆二模)已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为( )
A.4 B.2 C.8 D.16
解析 由a>0，b>0，a＋b＝＋＝，得ab＝1，
则＋≥2＝2.当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立.故选B.
答案 B
8.(2017·福州六校联考)已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则
a的值是( )
A. B. C.1 D.2
解析 由题意可得a>0，①当x>0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝时取等
号；②当x<0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，当且仅当x＝－时取等号.所以解得a＝
1.
答案 C
二、填空题
9.正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.
解析 ∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，
解得≥3，即ab≥9.
答案 [9，＋∞)
10.(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则＋的最
大值为________.
解析 ∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，
∴＋＝－(m＋n)＝－≤－2－2＝－4，当且仅当m＝n＝－时，＋取得最大值－4.
答案 －4
11.若对于任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________.
解析 ＝，
因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，
则≤＝，即的最大值为，故a≥.
答案
12.(2017·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂
和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和
仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库
之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元.
解析 设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y 万元，仓储费为y 万元，则
1 2
y ＝k x(k ≠0)，y ＝(k ≠0)，
1 1 1 2 2
∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，
∴k ＝5，k ＝20，∴运费与仓储费之和为万元，
1 2
∵5x＋≥2＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元.
答案 2 20
13.已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为( )
A.9 B.12 C.18 D.24
解析 因为a>0，b>0，不等式＋≥恒成立，所以m≤，因为(a＋3b)·＝6＋＋≥6
＋2＝12，当且仅当a＝3b时取等号，所以m的最大值为12.
答案 B
14.(2017·石家庄调研)设等差数列{a }的公差是d，其前n项和是S ，若a ＝d＝
n n 1
1，则的最小值是( )
A. B.
C.2＋ D.2－
解析 易知a ＝a ＋(n－1)d＝n，S ＝.
n 1 n
∴＝＝
≥＝，当且仅当n＝4时取等号，
因此的最小值为.
答案 A
15.(2017·辽宁五校协作体联考)点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x＋1)2＋(y＋
1)2＝8上，则ab的最大值为________.
解析 由题意知a>0，b>0，且(a＋1)2＋(b＋1)2＝8，化简得a2＋b2＋2(a＋b)＝6，
则6≥2ab＋4(当且仅当a＝b时取等号)，令t＝(t>0)，则t2＋2t－3≤0，解得
0
