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第 3 讲 圆的方程
一、选择题
1.已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A.x2＋y2＝2 B.x2＋y2＝
C.x2＋y2＝1 D.x2＋y2＝4
解析 AB的中点坐标为(0，0)，
|AB|＝＝2，
∴圆的方程为x2＋y2＝2.
答案 A
2.(2017·漳州模拟)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(
)
A.(x－2)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C.(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D.(x－1)2＋(y＋2)2＝1
解析 已知圆的圆心C(1，2)关于直线y＝x对称的点为C′(2，1)，∴圆(x－1)2＋
(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选A.
答案 A
3.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－2)∪ B.
C.(－2，0) D.
解析 方程为＋(y＋a)2＝1－a－表示圆，则1－a－＞0，解得－2＜a＜.
答案 D
4.(2017·淄博调研)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程
是( )
A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析 设圆上任一点为Q(x ，y )，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2
0 0
＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案 A
5.(2015·全国Ⅱ卷)已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原
点的距离为( )
A. B. C. D.
解析 由点B(0，)，C(2，)，得线段BC的垂直平分线方程为x＝1，①由点A(1，0)，B(0，)，得线段AB的垂直平分线方程为
y－＝，②
联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为，
其到原点的距离为 ＝.故选B.
答案 B
二、填空题
6.若圆 C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线 y＝1 相切，则圆 C 的方程是
________.
解析 设圆心C坐标为(2，b)(b<0)，则|b|＋1＝.解得b＝－，半径r＝|b|＋1＝，故
圆C的方程为：(x－2)2＋＝.
答案 (x－2)2＋＝
7.(2017·广州模拟)已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，
圆心C的坐标为________.
解析 圆C的方程可化为＋(y＋1)2＝－k2＋1.所以，当k＝0时圆C的面积最大.
答案 (0，－1)
8.已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所
在直线的方程是________.
解析 过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2，1)，
∵k ＝＝1，
CM
∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.
答案 x＋y－1＝0
三、解答题
9.已知三条直线l ：x－2y＝0，l ：y＋1＝0，l ：2x＋y－1＝0两两相交，先画出图
1 2 3
形，再求过这三个交点的圆的方程.
解 l 平行于x轴，l 与l 互相垂直.三交点A，B，C连线构
2 1 3
成直角三角形，经过A，B，C三点的圆就是以AB为直径的
圆.
解方程组得所以点A的坐标是(－2，－1).
解方程组得
所以点B的坐标是(1，－1).
线段AB的中点坐标是，
又|AB|＝＝3.故所求圆的标准方程是＋(y＋1)2＝.
10.在△ABC中，已知|BC|＝2，且＝m，求点A的轨迹方程，并说明轨迹是什么图
形.
解 如图，以直线BC为x轴、线段BC的中点为原点，
建立直角坐标系.
则有B(－1，0)，C(1，0)，设点A的坐标为(x，y).
由＝m，得＝m.整理得(m2－1)x2＋(m2－1)y2－2(m2＋1)x
＋(m2－1)＝0.①
当m2＝1时，m＝1，方程是x＝0，轨迹是y轴.
当m2≠1时，对①式配方，得＋y2＝.
所以，点A的轨迹是以为圆心，为半径的圆(除去圆与BC的交点).
11.若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，
则＋的最小值为( )
A.1 B.5
C.4 D.3＋2
解析 由题意知圆心C(2，1)在直线ax＋2by－2＝0上，
∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，
∴＋＝(＋)(a＋b)＝3＋＋
≥3＋2 ＝3＋2，
当且仅当＝，即b＝2－，a＝－1时，等号成立.
∴＋的最小值为3＋2.
答案 D
12.已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，
则圆C的方程为________.
解析 由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角
形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆.
∵△OPQ为直角三角形，
∴圆心为斜边PQ的中点(2，1)，半径r＝＝，
因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
答案 (x－2)2＋(y－1)2＝5
13.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点.记d＝|PB|2＋|PA|2，其
中A(0，1)，B(0，－1)，则d的最大值为________.解析 设P(x ，y )，d＝|PB|2＋|PA|2＝x＋(y ＋1)2＋x＋(y －1)2＝2(x＋y)＋2.x＋y
0 0 0 0
为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x＋y) ＝(5＋1)2＝36，∴d ＝74.
max max
答案 74
14.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知以M
为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，
4).
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6
上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方
程；
(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得TA＋TP＝TQ，求实数t的
取值范围.
解 (1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6，7)，半径r
＝5，
由题意，设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0)，
且＝b＋5.
解得b＝1，∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)∵k ＝2，∴可设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.又|BC|＝|OA|＝
OA
＝2，
由题意，圆M的圆心M(6，7)到直线l的距离为d＝＝＝2，
即＝2，解得m＝5或m＝－15.
∴直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.
(3)由TA＋TP＝TQ，则四边形AQPT为平行四边形，
又∵P，Q为圆M上的两点，∴|PQ|≤2r＝10.
∴|TA|＝|PQ|≤10，即≤10，
解得2－2≤t≤2＋2.
故所求t的范围为[2－2，2＋2].
