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考点巩固卷 08 利用导数研究函数的单调性、极值和最值（ 十一大
考点）
考点01：利用导数求函数的单调区间
1．已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的单调增区间．
【答案】(1) ；
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学科网（北京）股份有限公司(2) ， .
【分析】（1）利用导数几何意义即可求得曲线 在点 处的切线方程；
（2）利用导数即可求得函数 的单调增区间．
【详解】（1） ，则
则 ，又 ，
则曲线 在点 处的切线方程为 ，即
（2） ，
则 ，
由 可得 或 ，
则函数 的单调增区间为 ， .
2．设函数 ，则函数 的单调增区间为__________．
【答案】 和
【分析】首先求出 ，再因式分解，令 ，解不等式组即可得出单调增区间．
【详解】 ，
令 ，得 或 ，
解得 或 ，
所以函数 的单调增区间为 和 ，
故答案为： 和 ．
3．函数 的单调递减区间为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求定义域，再求导，根据导函数小于0求出单调递减区间.
【详解】 的定义域为 ，
，
由 ，可得 ，故 的单调递减区间为 .
故选：C．
4．函数 的单调递减区间是__________．
【答案】
【分析】对函数求导，令 ，解之即可.
【详解】因为 ，则 ，
令 ，则 ，所以函数 的单调递减区间是 ，
故答案为： .
考点02：求已知函数的极值（点）
5．已知函数 ，则 的极小值为______．
【答案】 /-0.5
【分析】根据函数的导数与单调性、极值的关系求解.
【详解】函数的定义域为 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，即 ，得 ，
令 ，即 ，得 ，
故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
故当 时，函数 取得极小值，极小值为 ．
故答案为: .
6．已知函数 在点 处的切线方程为 ．
(1)求 的值；
(2)求 的极值．
【答案】(1)
(2)极大值为 ，极小值为 .
【分析】（1）由题得 ，化简得 ，再求导代入得 ，化简得 ，联立
解出 即可；
（2）根据（1）得 ，利用导数即可求出其极值.
【详解】（1）依题可知点 为切点，
代入切线方程 可得， ，
所以 ，即 ，
又由 ，则 ，
而由切线 的斜率可知 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，即 ，
由 ，解得 .
（2）由（1）知 ，则 ，
令 ，得 或 ，
当 变化时， ， 的变化情况如下表:
1
+ 0 0 +
极大值 极小值
∴ 的极大值为 ，极小值为 .
7．求下列函数的极值：
(1) ；
(2)
【答案】(1)极小值0；极大值
(2)极大值0；极小值
【分析】利用导数分析函数的单调性，求函数的极值即可.
【详解】（1） ，
令 ，解得 ， ．
0 2
0 0
0
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学科网（北京）股份有限公司所以当 时， 有极小值0；当 时， 有极大值 ．
（2） ，
令 得 或4，列表如下：
0 4
0 0
0
所以当 时， 有极大值0；当 时， 有极小值
8．已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的极值与单调区间.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由函数 ，求得 ，再根据导数的几何意义求解即可；
（2）求得 ，讨论 与0的大小，再根据函数极值点的定义求出函数的极值即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
，
所以曲线 在点 处的切线方程为：
，即
曲线 在点 处的切线方程为 .．
（2） ，
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学科网（北京）股份有限公司当 或 时， ；当 时， ，
所以函数 的递增区间为 和 ，递减区间为 ，
所以当 时函数取得极大值为 ，
当 时函数取得极小值为 .
考点03：导函数图象与原函数图象的关系
9．（多选）已知函数 的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． 在区间 上单调递减
B． 在区间 上单调递增
C． 在 处取得极大值
D． 在 处取得极大值
【答案】AC
【分析】由 的图象得出 在对应区间上的符号，从而得出 的单调性，从而可得出答案.
【详解】由 的图象可知：
当 时， ， 单调递减，故A正确；
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，故B错误；
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 处取得极大值，故C正确；
由于 在 上单调递增，所以 在 没有取得极大值，故D错误.
故选：AC.
10．设 是定义在R上的连续可导函数，其导函数记为 ， 函数 的图象如图所示，
给出下列判断：
① 在 上是增函数； ② 共有2个极值点；
③ 在 上是单调函数； ④ .
其中正确的判断共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据图象，判断函数 的导数的符号，从而可求函数 的单调性及极值．
【详解】解：当 时， ，由图象可得 ，则 ， 为增函数；
当 时， ，由图象可得 ，则 ， 为减函数；
当 时， ，由图象可得 ，则 ， 为减函数；
当 时， ，由图象可得 ，则 ， 为增函数，
又 是定义在R上的连续可导函数，所以当 时 ， 为减函数；
故 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，所以 的极大值为 ，
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学科网（北京）股份有限公司极小值为 ，由函数在 上单调递减，所以 ，无法判断 与 的
大小关系；
故选：B．
11．已知 上的可导函数 的图像如图所示，则不等式 的解集为_____________
【答案】
【分析】根据图像得到当 时， ，当 时， ， 时， ，代入计
算得到答案.
【详解】根据图像：
当 时， ， ，即 ，故 ；
当 时， ， ，即 ，故 ；
当 时， ， ，即 ，故 ；
综上所述： .
故答案为：
12．已知函数 的导函数 的图像如图所示，给出以下结论：
① 在区间 上严格增；
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学科网（北京）股份有限公司② 的图像在 处的切线斜率等于0；
③ 在 处取得极大值；
④ 在 处取得极小值．正确的序号是______
【答案】②④
【分析】根据导函数图像得到导数的正负，从而得到函数的增减和极值情况，判断①②③，并根据导函数
的增减判断④.
【详解】根据 的图像可知，在 上， ，仅在 处有 ，
所以 在 上单调递减，故①错误；
，故②正确；
在区间 上单调，没有极值点，故③错误；
由 的图像可知， 在 上单调递减，在 上单调递增，故④正确．
故答案为：②④．
13．若定义在 上的函数 的导数 的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增
B．函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减
C．函数 在 处取极大值，无极小值
D．函数 在 处取极大值，无极小值
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学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【分析】根据导函数的正负可确定 单调性，结合极值点定义可确定正确选项.
【详解】对于AB，由 图象可知：当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，A正确，B错误；
对于CD，由单调性可知： 在 处取得极小值，无极大值，CD错误.
故选：A.
14．（多选）已知定义在区间 上的函数 的导函数为 ， 的图象如图所示，则（ ）
A． 在 上单调递增
B．曲线 在 处的切线的斜率为0
C．
D． 有1个极大值点
【答案】ABD
【分析】根据导函数为 的图象，结合导函数 与函数 的关系，以及函数的极值点的概念，
逐项判定，即可求解.
【详解】根据定义在区间 上的函数 的导函数 的图象，
对于A中，当 时， ，且仅当 时， ，所以 在 上单调递增，所
以A正确；
对于B中，当 时，可得 ，所以曲线 在 处的切线的斜率为 ，所以B正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于C中，因为 在 上单调递增，所以 不是函数 的最大值，所以C不正确；
对于D中，由 的图象，可得 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以只有当 时，函数 取得极大值，所以 有1个极大值点，所以D正确.
故选：ABD.
考点04：求已知函数的最值
15．已知函数 在区间 上最大值为M，最小值为m，则 的值是_______.
【答案】
【分析】求导，得到函数的单调性，进而求出最值，得到答案.
【详解】由题意， ， ，在 上 ，
故函数 单调递增，所以 ， ， ，
故 的值是 .
故答案为：
16．设 ，则函数 的最小值是________．
【答案】
【分析】求导根据导函数的正负与原函数的单调性求解最值即可.
【详解】 ，
因为 ，
所以当 时， ；函数递增
当 时， .函数递减
所以当 时， .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
17．已知函数 在 处取得极大值 .
(1)求 的值；
(2)求函数 在区间 上的最值.
【答案】(1)
(2)最大值是 ，最小值是
【分析】（1）根据 得方程组后进行求解，还需检验极值是否确切取到；
（2）先求出 上的极值，然后和端点值进行比较从而得到最值.
【详解】（1） ，则 ，
由题意知 ，即 ，
解得 ，此时 ，
时是 的变号零点.
于是 符合题意
（2）由（1）知，
， ，
令 ，得到 ，则 递增；
令 ，得到 ，则 递减，
于是 在 上只有极小值 ，
又 ，
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学科网（北京）股份有限公司故 在区间 上的最大值是 ，最小值是
18．已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)求 在 上的最值.
【答案】(1)增区间 、 ；减区间
(2) ，
【分析】（1）直接对函数求导，再利用导数与函数单调性间的关系即可求出结果；
（2）利用（1）中结果，确定 在区间 上的单调性，利用单调性即可求出结果.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
由 得到 或 ，由 得到 ，
所以 单调增区间为 和 ；单调减区间为 .
（2）由（1）知，当 时， 单调递增， 时， 单调递减，
故
又 ，
故 .
19．已知函数 ， ，则 的最小值为______.
【答案】 /
【分析】先求函数的导数 ，再判断给定区间函数的单调性，从而求得函数的最小值.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，则 ， ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 .
故答案为： ．
考点05：已知函数在区间上递增（减）求参数
20．已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为______
【答案】
【分析】化为 ，即 在 上恒成立，再构造函数 ，利用导数求
出其最小值可得解.
【详解】由题可知 在 上恒成立，
则 ，即 在 上恒成立，
令 ，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，则 ，故 ， ，即m的取值范围为 .
故答案为：
21．（ 2023春·山东德州·高二统考期中）已知函数 ，若对任意两个不等的正实数 ， ，
都有 ，则实数 的取值范围是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，则转化得到 在 上单调递增，将题目
转化为 在 上恒成立，再利用分离参数法即可得到答案.
【详解】由题意,不妨设 ,
因为对任意两个不等的正实数 ,都有 ,
所以 ,即 ,
构造函数 ,
则 ,
所以 在 上单调递增，
所以 在 上恒成立,
即 在 上恒成立,
设 ,则 ，
所以当 时, 单调递增，
时, 单调递减，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
故选：D.
22．若任意两个不等正实数 ， ，满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】不妨令 ，即可得到 ，令 ，依题意只需 在 上单
调递减，利用导数求出函数 的单调区间，即可求出参数 的取值范围，即可得解.
【详解】因为对任意两个不等正实数 ， ，满足 ，
不妨令 ，则 ，所以 ，
即 ，所以 ，
令 ，则 ，
即 在 上单调递减，
由 ，当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 的最小值为 .
故选：D
23．若函数 在 上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【分析】根据题意，可得 ，令 ，转化为 恒成立，然后
求导即可得到结果.
【详解】∵ 递增，∴ 恒成立，
令 ，即 恒成立，
因为 ， ，
当 时， ，
而 在 上为增函数，故存在 ，使得 ，
当 时， ， 递减，
当 时， ， 递增，
所以 ，
即 ， ，即
故选：C
24．已知函数 ，则 单调递增的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对函数求导，根据 单调递增有 在 上恒成立，结合二次函数
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学科网（北京）股份有限公司性质求参数范围，最后由充分必要性定义，即可得答案.
【详解】由 且 ，
令 ，要使 单调递增，即 恒成立，
当 时 满足题设；
当 ，可得 ，则 ，满足题设；
综上，使 单调递增，则 ，
A为充要条件，B为充分不必要条件，C、D既不充分也不必要条件.
故选：B
25．已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意转化为 ，即 在 上恒成立，再构造函数，利用导数求出最小值
即可得解.
【详解】 ，
依题意可得 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
设 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司故 .
故选：D
考点06：已知函数存在单调区间或在区间上不单调求参数
26．（ 2022-2023学年河南省濮阳市高二下学期期末数学试题）若函数 在其定义域的
一个子区间 内不是单调函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出定义域，得到 ，求导，由 ，得 ，结合函数在 内不单调，得
到不等式，求出答案.
【详解】函数的定义域为 ，所以 ，即 ，
，令 ，得 ，或 （不在定义域内舍去），
由于函数在区间 内不是单调函数，
所以 ，即 ，解得 ，
综上可得， .
故选：B.
27．若函数 在区间 上不单调，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．不存在这样的实数k
【答案】B
【分析】利用导数与函数单调性的关系以及一元二次方程的根进行求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意得， 在区间 上至少有一个实数根，
又 的根为 ，且 在 或 两侧异号，
而区间 的区间长度为2，故只有2或-2在区间 内，
∴ 或 ，
∴ 或 ，故A，C，D错误.
故选：B.
28．若函数 在区间 内存在单调递增区间，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的导数，问题转化为 在 有解，进而求函数 的最值，即可求出
的范围.
【详解】∵ ，
∴ ，
若 在区间 内存在单调递增区间，则 有解，
故 ，
令 ，则 在 单调递增，
，
故 .
故选：D.
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学科网（北京）股份有限公司29．若函数 在区间 内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【分析】求出函数的导数，问题转化为 ，而 求出最小值，从而求出a的范围即可．
【详解】 ， 在 内成立，所以 ，
由于 ，所以 ， ，所以 ．
故答案为:
30．已知函数 .若函数 不存在单调递减区间，求实数 的取值范围.
【答案】
【分析】先求出定义域和导函数，利用分离参数法和基本不等式求出实数 的取值范围.
【详解】由函数 有意义，则
由 且 不存在单调递减区间，则 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立.
因为 ，所以 （当且仅当 时等号成立）
所以 ，解得：
所以 的取值范围为 .
31．若函数 在 存在单调递减区间，则a的取值范围为________．
【答案】
【分析】将题意转化为： 在 有解，利用参变量分离得到 ，转化为 ，
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学科网（北京）股份有限公司结合导数求解即可．
【详解】 ，等价于 在 有解，即 在 有解，
即 在 有解，所以 ，
令 ，
则 ，即 在 上是增函数，
∴ ，所以 .
故答案为： .
考点07：利用函数单调性比较大小
32．已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，其中 ，利用导数分析函数 的单调性，可判断 、 的大小关系，
利用作差法结合基本不等式可判断 、 的大小关系.
【详解】构造函数 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上为减函数，
所以， ，即 ，则 ，
，
因此， .
故选：D.
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学科网（北京）股份有限公司33．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】运用缩放法和对数的计算规则求解.
【详解】设 ，则 单调递增，
， ；
，又 ， ，
即 ；
故选：A.
34．已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用 ， ，构造函数 ，利用其单调性即可得出 的大小关系，
再通过作差比较即可得出 的大小关系，从而得出结果.
【详解】令 ，则 ，
当 时， ，即函数 在区间 上单调递减，
当 时， ，即函数 在区间 上单调递增，
令 ，则 在区间 上恒成立，所以 ，故当
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学科网（北京）股份有限公司时， ，
因为 ，又 ，所以 ，故 ，
又因为 ，由 ，得 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，综上所述 .
故选：A.
35．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ， ，再利用导数探讨单调性，即可比较大小作答．
【详解】设 ，则 ，从而 在 上单调递增，
则 ，即 ，
设 ，则 ，从而 在 上单调递增，
则 ，即 ，
所以 ．
故选：A．
36．（多选）下列不等关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据函数值的特征，构造函数 ，求出其导数，判断函数的单调性，可判断AB；同理
构造函数 ，判断CD.
【详解】令 ，则 ，
当 时， ，当 时，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 ，即 ，故A错误，
又 ，所以 ，即 ，故B正确；
令 ， ，则 ，
令 ，
则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减，所以 ，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减，所以 ，即 ，
即 ，故C正确，D错误，
故选：BC．
【点睛】关键点点睛：构造函数 和 ， ，是解决本题的关键.
37．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用常见放缩 ，构造函数 ，判断出 ，然后利用 构造
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学科网（北京）股份有限公司从而判断 即可.
【详解】
令 ，则 ，
当 时, ，所以 在 上单调递增，
，
；
，
易知
，
.
故选：D.
考点08：利用函数单调性解决抽象不等式
38．已知偶函数 满足 对 恒成立，下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】令 ，即可判断 的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性比较函数值的大
小.
【详解】因为 为偶函数，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，
所以 为偶函数，
又 ，则当 时 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
所以 ，即 ，故A正确；
，即 ，
则 ，即 ，故B错误；
，即 ，
则 ，即 ，故C错误；
，即 ，
则 ，即 ，故D错误；
故选：A
39．（多选）已知函数 在 上可导，其导函数为 ，若 满足： ，
，则下列判断不正确的是（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
【答案】BD
【分析】根据题意令 ，利用导数及题干所给条件求得 的单调性，利用函数的对称性，可得
，对其进行比较即可判断各选项.
【详解】令 ，则 ，
因为函数 满足 ，
当 时 在 上单调递增，
当 时 在 上单调递减，
又由 ，
所以 关于 对称，从而 ，
即 ， ， ，故A正确；
由 ， ， ，故B错误；
由 ，即 ， ，故C正确；
由 ，即 ， ，故D错误；
故选：BD.
40．设函数 在 上的导数存在，且 ，则当 时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【分析】依题意令 ，求出函数的导函数，即可得到 在 上单调递增，即可判断.
【详解】因为 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
当 时， ，即 ，
所以 且 .
故选：B
41．设函数 的导函数为 ，对任意 都有 成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意构造辅助函数，求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得答案．
【详解】由 ，则 ，
设 ，
则 在 上单调递减.
则 ，即 ，
即 .
故选：A.
42．已知 是可导的函数，且 对于 恒成立，则下列不等式关系正确的是（ ）
A． ， B． ，
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学科网（北京）股份有限公司C． ， D． ，
【答案】C
【分析】构造 ，求导得到其单调性，从而比较出大小关系，得到正确答案.
【详解】A选项，设 ，则 ，
∵ ，∴ ，即 在 上单调递减，
∴ ，即 ，即 ，故选项A不正确；
D选项， ，即 ，即 ，故选项D不正确；
B选项， ，即 ，即 ，故选B不正确.
综上：C选项正确.
故选：C
43．已知 是奇函数 的导函数，且当 时， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由 ，可分类讨论确定 的正负，两边同时乘以 对原式进行化简，则
可利用导数的乘法运算法则构造函数 ,再求导，利用函数的单调性判断大小.
【详解】当 时， ，则由 ，得 ；
当 时， ，则由 ，得 ．
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，
故g（x）在 上单调递增，在 上单调递减．
又f（x）是奇函数，所以 是偶函数，
故 ，即 ， ，
即 ．
与 和 的大小关系不确定．
故选：A．
考点09：根据极值（点）求参数
44．已知函数 在 处有极大值，则 的值为（ ）
A．6 B．6或2 C．2 D．4或2
【答案】A
【分析】根据 在 处有极大值，得出 ，解出 的值，代入检验，即可得出答案．
【详解】因为函数 ，
所以 ，
因为 在 处有极大值，
所以 ，
即 ，解得 或 ，
当 时， ，
令 ，解得 或 ，
当 时， ，即 在 单调递减，
当 时， ，即 在 单调递增，
所以 时 取得极小值，不合题意，舍去；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
令 ，解得 或
当 时， ，即 在 单调递增，
当 时， ，即 在 单调递减，
所以 时 取得极大值，符合题意.
所以 的值为6，
故选：A．
45．若函数 在 上有且仅有一个极值点，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据题意，求导得 ，由条件列出不等式求解，即可得到结果.
【详解】因为 ，令 ，
由题意可知， 在 内先减后增或先增后减，
结合函数 的图像特点可知， 在 内先减后增，即 ，或 ，解得 .
所以a的取值范围是
故答案为：
46．函数 在 内有极小值，则实数 的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据函数 在 内有极小值，求导可得导函数在 内至少有一个实数根，分
， ， 三种情况讨论并检验即可得解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，则 ，
因为函数 在 内有极小值
所以方程 必有一根在 内，
当 时， 的两根为 ，
若有一根在 内，则 ，即 ，
此时当 时， ，则 单调递减；
当 时， ，则 单调递增；
所以 在 处取得极小值，满足题意；
当 时， 的两根相等，均为 ，则 在 内无极小值；
当 时， 无实根，则 在 内无极小值；
综上， ，故实数 的取值范围为
故答案为： .
47．已知函数 在 处取得极大值1，则 的极小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得 ，求出 ，从而可求出 和 的解析式，再由 的正负求出
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学科网（北京）股份有限公司函数的单调区间，从而可求出函数的极小值.
【详解】 的定义域为 ，
由 ，得 ，
因为函数 在x＝－1处取得极大值1，
所以 ，解得 ，
所以 ， ．
令 ．解得 或 ，令 ，解得 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
即 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
所以 的极小值为 ．
故选：C
48．设 为实数，函数 在 处有极值，则曲线 在原点处的切线方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据导数的运算得 ，由极值情况可求得 ，再利用导数的几何意义即可求得在
原点处的切线方程.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，所以 ，
又函数 在 处有极值，则 ，得
所以 ， ，令 得
且函数 在 递增， 递减， 递增，则 是函数 的极小值点，
所以 ， ，则曲线 在原点处的切线方程为 .
故选：B.
49．已知函数 ，当 （ ）时， 在 处有极小值.
A．0 B．-1
C．1 D．-2
【答案】C
【分析】求导得到导函数，讨论 ， ， 三种情况，根据单调性计算极值得到答案.
【详解】 ，则 ，
①当 时， 和 时， ，函数单调递减；
时， ，函数单调递增，
故函数在 处取得极大值，不满足；
②当 时， ，函数无极值，不满足；
③当 时， 和 时， ，函数单调递增；
时， ，函数单调递减，
故函数在 处取得极小值，满足；
综上所述： .
故选：C.
考点10：根据最值求参数
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学科网（北京）股份有限公司50．已知函数 ，若 在区间 上的最大值为28，则实数k的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出 的导函数,即 ， 令 ，可得x的值，讨论函数
的极值及单调性，结合 在区间 上的最大值为28，即可求出k的取值范围.
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，解得 ，
所以 在 和 时， ， 在 时， ，
所以函数 在 和 上单调递增，函数 在 上单调递减，
则 在 内单调递增，所以在 内， 最大；
在 时单调递减，所以在 内， 最大；
在 时单调递增，所以在 内， 最大；
因为 ，且 在区间 上的最大值为28，
所以 ，即k的取值范围是 ，
故选：A.
51．（ 2023·陕西宝鸡·统考二模）函数 在 内有最小值，则实数a的取值范
围为（ ）
A． B．
C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【分析】求出 ，设 ，得出 有一正根一负根，因此题
意说明正根在区间 内，从而由 得参数范围．
【详解】 ，
设 ，因为 ，因此 有两个不同实根，
又 ，因此 两根一正一负，
由题意正根在 内，
所以 ，解得 ，
故选：A．
52．已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求函数 在 内的极值；
(2)若函数 在 上的最小值为5，求实数 的取值范围．
【答案】(1)极大值为9，无极小值
(2)
【分析】（1）首先求得导函数，然后利用导函数研究函数的单调性，据此可求得函数的值域；
（2）求得函数的导函数，然后结合导函数的符号确定函数的单调性，分类讨论即可求得实数 的取值范围.
【详解】（1）由题意得，当 时， ，
则 ，
令 ，得 ， ，
， 在 内随x变化而变化的情况如下表所示：
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学科网（北京）股份有限公司x 1
+ 0
单调递增 极大值9 单调递减
故 在 内的极大值为9，无极小值；
（2） ，
①当 时， ， 且不恒为0，
所以函数 在区间 上单调递增，
所以在 上， ，
由题意，则 ，解得 ，与 矛盾，
②当 时， ， 且不恒为0，
所以函数 在区间 上单调递减，
所以在 上， ，符合题意，
③当 时，当 时， ，函数 在区间 上单调递减，
当 时， ，函数 在区间 上单调递增，
所以在 上， ，
由题意，则 ，即 ，即 ，
即 ，解得 或 ，与 矛盾，
综上，实数a的取值范围为 ．
【点睛】方法点睛：求函数 在区间 上的最值的方法：
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学科网（北京）股份有限公司（1）若函数 在区间 上单调，则 与 一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数 在区间 内有极值，则要求先求出函数 在区间 上的极值，再与 、
比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）若函数 在区间 上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数
的实际应用中经常用到.
53．已知函数 在 上单调递增，且 在区间 上既有最大值又有最小值，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数 在 上单调递增，利用函数导数性质求出 的取值范围，在由 在区间 上
既有最大值又有最小值求出 的取值范围，然后求交集即可.
【详解】1.因为 ，则 ，
若 在 上单调递增，则 在 上恒成立，
即 恒成立，则 ，解得 ；
2.因为 ，则 ，
①当 时， 对任意 恒成立，所以 在 上单调递增，
此时只有最大值，没有最小值不满足题意；
②当 时， 对任意 恒成立，所以 在 上单调递减，
此时只有最小值，没有最大值不满足题意；
③当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
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学科网（北京）股份有限公司则 在 单调递增，在 单调递减，所以 为最小值，
若 在 上既有最大值，又有最小值，
则 且 ，解得： ；
综上所述： ．
故选：B.
54．已知 是奇函数，当 时， ，当 时， 的最小值为
1，则a的值等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】由奇函数性质知，当 时， 的最大值为-1，再利用导数求出函数的单调性求出
，即得解.
【详解】由奇函数性质知，当 时， 的最大值为 .
令 .
当0
