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考点巩固卷 12 平面向量（十二大考点）
考点01 平面向量的基本概念
1．下列说法错误的是（ ）
A．向量 与 的长度相等 B．两个相等向量若起点相同，则终点相同
C．共线的单位向量都相等 D．只有零向量的模等于0
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【分析】根据相反向量、相等向量、单位向量和零向量的定义判断各个选项．
【详解】对于A，向量 与 互为相反向量，其长度相等，故A正确；
对于B，因为相等向量的方向相同，长度相等，则两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，故B正
确；
对于C，共线的单位向量可以是相反向量，故C错误；
对于D，因为模长为0的向量为零向量，所以只有零向量的模长等于0，故D正确．
故选：C．
2．给出下列3个命题，①相等向量是共线向量；（2）若 与 不相等，则向量 与 是不共线向量；③平
行于同一个向量的两个向量是共线向量；其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据相等向量、共线向量的定义判断即可.
【详解】长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故相等向量一定是共线向量，即①正确；
若 与 不相等，则向量 与 也可以共线，只要 与 模不同即可，故②错误；
平行于同一个向量的两个向量不一定是共线向量，如 ， ， ，
此时 ， ，但是 与 不一定共线，故③错误；即真命题只有 个.
故选：B
3．（多选）下列叙述中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．已知非零向量 与 且 // ，则 与 的方向相同或相反
D．对任一非零向量 是一个单位向量
【答案】CD
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学科网（北京）股份有限公司【分析】A注意 即可判断；B根据向量的性质判断；C由共线向量的定义判断；D由单位向量的定义
判断.
【详解】A：若 时， 不一定有 ，错误；
B：向量不能比较大小，错误；
C：非零向量 与 且 // ，则 与 的方向相同或相反，正确；
D：非零向量 ，则 是一个单位向量，正确.
故选：CD
4．（多选）下列说法正确的有（ ）
A．
B．λ、μ为非零实数，若 ，则 与 共线
C．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
D．若平面内有四个点A、B、C、D，则必有
【答案】BCD
【分析】利用向量数量积的定义可判断A；利用向量共线定理可判断B；根据向量的概念可判断C；利用
向量的减法运算可判断D.
【详解】对于A选项， ，故错误；
对于B选项，因为 为非零实数，且 ， 与 一定共线，故正确；
对于C选项，向量不能比较大小；向量的模可比较大小，故正确；
对于D选项，由 ，所以 ，故正确.
故选：BCD.
5．（多选）下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ）
A．已知非零向量 ， ， ，若 ， ，则
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学科网（北京）股份有限公司B．若 ，则 为平行四边形
C．若 且 ，则
D．若点G为 的重心，则
【答案】BC
【分析】根据向量共线的概念可判断选项A,B；利用向量垂直的数量积关系即可判断C错误；利用三角形
重心的结论即可判断选项D.
【详解】对于选项A，对于非零向量 ， ， ，由 ， ，且 为非零向量，可知 ，选项A正确；
对于选项B，因为 ，则 四点可能共线，所以 不一定为平行四边形，故选项B错误；
对于选项C，由 可得 ，则 ，不一定 ，故选项C错误；
对于选项D，由平面向量中三角形重心的结论可知，若点G为 的重心，则 ，故选
项D正确，
故选项：BC.
考点02 平面向量的线性运算
6．如图，向量 ， ， ，则向量 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法求解即可.
【详解】依题意，得 ，
故选：C．
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学科网（北京）股份有限公司7．在正六边形 中， （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量运算求得正确答案.
【详解】依题意， .
故选：C
8．（ 福建省普通高中2022-2023学年高二6月学业水平合格性考试数学试题）如图所示， ，
，M为AB的中点，则 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用向量的加法列式作答.
【详解】 ， ，M为AB的中点，
所以 .
故选：B
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学科网（北京）股份有限公司9．在如图所示的五角星中，以A、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，且 ，设
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将 转化为 ，结合已知可得.
【详解】在五角星中， ， ，则 ，
，
，
，
.
故选：C.
10．（多选）如图， 是正六边形 的中心，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D． 在 上的投影向量为
【答案】CD
【分析】根据向量的线性运算法则，可判定A、B不正确，结合向量的数量积的定义域运算，可判定C正
确，结合向量的投影的定义与运算，可判定D正确.
【详解】根据题意，结合平面向量的线性运算法则，可得：
对于A中，由 ，所以A不正确；
对于B中，由 ，所以B不正确；
对于C中，设正六边形的边长为 ，可得 ， ，所
以 ，所以C正确；
对于D中，如图所示，连接 ，可得 ，
可得 ，所以 在向量 上的投影向量为 ，所以D正确.
故选：CD.
11．在 中，E为AC上一点， ，P为线段BE上任一点，若 ，则 的最
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学科网（北京）股份有限公司小值是（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】B
【分析】由题可得 ，后由基本不等式可得答案.
【详解】由题可得B，P，E三点共线，则 .
又 ， ，则 ，则
.
当且仅当 ，即 时取等号.
故选：B
考点03 向量共线与三点共线
12．设 ， 是两个不共线的向量，关于向量 ， 有① ， ；② ， ；
③ ； ，④ ； ．其中 ， 共线的有________．（填序号）
【答案】①②③
【分析】根据向量共线的条件对各选项逐一判断即可.
【详解】① ，共线；
② ，共线；
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学科网（北京）股份有限公司③ ，共线；
④ 和 无法表示成 ，所以不共线.
故答案为：①②③
13．如图，在 中， 是 的中点， 是线段 上靠近点 的三等分点，设 .
(1)用向量 与 表示向量 ；
(2)若 ，求证： 三点共线.
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解；
（2）利用向量的线性运算及向量共线的充要条件即可求解.
【详解】（1） 是 的中点，
；
.
（2） ，
与 平行，
又 与 有公共点 ，
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学科网（北京）股份有限公司三点共线.
14．设 是不共线的两个向量， .若 三点共线，则k的值为
__________.
【答案】
【分析】根据三点共线可得向量共线，由此利用向量共线定理可列出向量等式，即可求得答案.
【详解】因为 三点共线，故 ,
则 ，使得 ，
又 ，
故 ，则 ，解得 ，
故答案为：
15．在 中， ，且 ，则 ________．
【答案】
【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】 ， ，
即 ， ， ．
故答案为： .
16．已知 ， 是平面上的非零向量，则“存在实数 ，使得 ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分性必要性的定义，结合向量共线的结论进行判断.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 分别表示与 方向相同的单位向量，所以由 可知， 方向相同；
“存在实数 ，使得 ”即 共线，包含 方向相同或方向相反两种情况．
所以，“存在实数 ，使得 ”不能推出是“ ”；
“ ” 可以推出“存在实数 ，使得 ”，
所以“存在实数 ，使得 ”是“ ”的必要不充分条件．
故选：B.
17．已知 是不共线的向量，且 ，则（ ）
A．A、B、D三点共线 B．A、B、C三点共线
C．B、C、D三点共线 D．A、C、D三点共线
【答案】D
【分析】利用平面向量共线向量定理求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
若A、B、D三点共线，则 ，而 无解，故A错误；
因为 ，
所以 ，
若A、B、C三点共线，则 ，而 无解，故B错误；
因为 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司若B、C、D三点共线，则 ，而 无解，故C错误；
因为 ，
所以 ，
即 ，所以A、C、D三点共线，故D正确.
故选：D
考点04 平面向量共线定理的推论
18．如图所示，在 中， ，P是 上的一点，若 ，则实数m的值为
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用共线定理的推论可得.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
因为P，B，N三点共线，所以 ，解得 .
故选：D
19．如图，在 ABC中，点P在边BC上，且 ，过点P的直线l与射线AB，AC分别交于不同的
△
两点M，N，若 ， ，则实数 的值是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合向量的运算可得 ，然后由 三点共线得 ，可得答案.
【详解】由题意知： ，
又 ， ，即 ，
由 三点共线，可得 ，即 .
故选：B.
20．已知长方形 中， ， 是线段 的中点， 是线段 上靠近 的三等分点，线段
， 交于点 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设 ，根据平面向量线性运算及平面共线定理的推论以 ，
结合平面向量基本定理，即可求得 的值，从而得结论.
【详解】由题可知 ，
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学科网（北京）股份有限公司设
则
,
又
，
所以 ，解得 ，所以 .
故选：A.
21．在 中，点O满足 ，过点O的直线分别交射线AB，AC于点M，N，且 ，
，则 的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】利用共线定理的推论可得 ，然后妙用“1”可得.
【详解】由题可知， ，
因为 ， ，所以 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 三点共线，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以 的最小值为 .
故选：A
22．已知A，B，P是直线l上不同的三点，点O在直线l外，若 ，则
（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】根据已知等式，结合向量减法法则化简 ，而 三点共线，可得
，解得 的值，设 ，可得 ，所以 ，从而求出 的值．
【详解】 ， ，
整理得， ，
当 时， 显然不成立，故 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司， ， 是直线 上不同的三点，
，解得 ， ，
设 ， ，
，
，解得 ，即 ．
故选：A．
23．在 中，点 是边 所在直线上的一点，且 ，点 在直线 上，若向量
，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．9
【答案】B
【分析】由题意可得 ，又点 ， ， 三点共线，所以 ，再利用“1”的代换，
结合基本不等式求解即可．
【详解】 ， ，
，
点 ， ， 三点共线，
，
又 ， ，
，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
的最小值为4．
故选：B．
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学科网（北京）股份有限公司考点05 平面向量基本定理
24．（多选）已知M为 ABC的重心，D为边BC的中点，则（ ）
△
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据三角形重心的性质及向量的线性运算、基本定理一一判定即可.
【详解】如图，根据向量加法的平行四边形法则，易得 ，故A正确；
由题意得M为线段AD的靠近D点的三等分点，所以 ，
又 ，所以 ，故B正确；
，故C正确；
， ，又 ，所以 ，故D错误.
故选：ABC
25．如图，在 的方格中，已知向量 的起点和终点均在格点，且满足 ，那么
______.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】1
【分析】可作单位向量 ，从而可用 表示向量 ，根据平面向量基本定理即可得出关于 的方程
组，求解即可.
【详解】如图所示，作单位向量 ,
则 ， ，
所以 .
又 ，所以 ,
所以 ，解得 ，
所以 .
故答案为:1.
26．在 中 ，点 为 与 的交点， ，则
（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量基本定理得到 ， ，从而列出方程组，
求出 ，得到 ，求出答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，所以 为 中点，
三点共线，故可设 ，即 ，
整理得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
三点共线，
可得 ，
所以 ，解得 ，
可得 ，则 ， .
故选：B
27．如果 表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ）
A． 、 B． 、
C． 、 D． 、
【答案】C
【分析】利用平面向量基底的定义逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，设 ，
因为 、 不共线，则 ，显然不成立，A中的两个向量可作一个基底；
对于B选项，设 ，
因为 、 不共线，则 ，显然不成立，B中的两个向量可作一个基底；
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学科网（北京）股份有限公司对于C选项，因为 ，C中的两个向量不能作一个基底；
对于D选项，设 ，
因为 、 不共线，则 ，显然不成立，D中的两个向量可作一个基底.
故选：C.
28．如图，在梯形ABCD中， ，E，F分别是AB，BC的中点，AC与DE相交于点O，设 ，
．
(1)用 ， 表示 ；
(2)用 ， 表示 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题设知 且 ，根据 用 表示出 即可；
（2）由题意可得 ，再用 表示出 即可.
【详解】（1）在 中，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以 ，且 ，
故 .
（2）因为 ，所以 ，则 ，
故
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学科网（北京）股份有限公司.
29．如图，在 中，点 ， 分别在边 和边 上， ， 分别为 和 的三等分点，点 靠
近点 ，点 靠近点 ， 交 于点 ，设 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用 表示 ，结合平面向量基本定理确定其表达式.
【详解】设 ， ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司故选：B.
考点06 平面向量的坐标运算
30．已知向量 ， 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.
【详解】因为 ， 且 ，
所以 ，所以 .
故选：C.
31．若 ， ，C为AB的中点，D为AB上更靠近A的三等分点，则C的坐标为______，D
的坐标为______．
【答案】
【分析】根据中点的坐标公式求 的坐标，利用 求 的坐标.
【详解】根据中点坐标公式， 的坐标为 ，
，则 ．因为 ，所以 的坐标为 ．
故答案为： ，
32．在平面直角坐标系xOy中， ， ， ．
(1)若 ，求实数x，y的值；
(2)若 ，求实数m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量坐标化的线性运算即可得到关于 的方程组，解出即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）首先计算得 ，再利用向量共线得到关于 的方程，解出即可.
【详解】（1）由 ，有 ，
有 解得
故 ；
（2）由 ， ，
又由 ，有 ，
解得 ，故 ．
33．已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和 与 的坐标
及点C的坐标．
【答案】 ， ， ， ．
【分析】根据题意，得 ， ．由此结合三角函数的定义，算出点 、 两点
的坐标，进而可得到 与 的坐标．由向量相等即可求解 .
【详解】由题意，点 在原点， 与 轴正半轴成 ,
可得 ， ．
设 ， ， ， ．
则 ， ， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司同理可得 ， ， ， ．
， ， ， ．
由于
34．已知 ， ， ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ， 且 ， ， 三点共线，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出 的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
（2）首先求出 ， 的坐标，依题意 ，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 .
（2）因为 ， ，
因为 ， ， 三点共线，所以 ，所以 ，解得 ，
故 的值为 ．
35．在矩形 中， ， ，E为CD的中点，若 ， ，则
________．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】建立如下图的平面直角坐标系，求出各点坐标，由平面向量线性运算的坐标表示可得 的坐标，
由 ，列方程组，解方程组可得 和 的值即可求解.
【详解】建立如下图的平面直角坐标系，
由已知得 ， ， ， ，
由 得 ，
设 ，则 ，
可得 ，解得 ，所以 ， ，
又因为 ，
所以 ，解得 ， ，则 .
故答案为： .
考点07 求数量积
36．在平面直角坐标系 中，设向量 ，
(1)当 时，求 ， 的值；
(2)若 且 ，求 的值.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值代入计算可得；
（2）根据数量积的坐标表示，利用二倍角公式、辅助角公式将式子化简，即可得到 ，从
而求出 ，即可得解.
【详解】（1）因为 ，
当 时 ， ，
所以 ， ，
（2）∵ ， ，
∴
，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，解得 ，
∴ .
37．已知 ， ， .
(1)若 ，求 ；
(2)设 ，求 的单调递增区间.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2) ， .
【分析】（1）当 时，写出向量 、 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得 的值；
（2）利用平面向量数量积的坐标运算以及辅助角公式化简函数 的解析式，利用正弦型函数的单调性
可求得函数 的单调递增区间.
【详解】（1）解：当 时，则 ， ，所以， .
（2）解：因为 ，
由 ， ，
解得 ， .
所以 的单调递增区间为 ， .
38．已知 ， ，且 与 夹角为 求：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由平面向量的数量积的定义求解即可；
（2）由平面向量的数量积的运算律求解即可.
【详解】（1）因为 ， ，且 与 夹角为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
（2） .
39．如图，设 、 是平面内相交成 角的两条数轴， 、 分别是与 轴、 轴正方向同向的单位向
量，若向量 ，则把有序数对 叫做向量 在坐标系 中的坐标.若在该坐标系 中，
， ，则 ______.
【答案】
【分析】利用平面向量数量积的定义可求得 的值，由题意得出 ， ，利用平面向
量数量积的运算性质可求得 的值.
【详解】由平面向量数量积的定义可得 ，
由题意可得 ， ，
所以， .
故答案为： .
40．已知四边形 是矩形， ， ，则 （ ）
A． B．-7 C． D．-25
【答案】B
【详解】利用平面向量数量积的运算律计算求值即可．
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学科网（北京）股份有限公司【分析】
.
故选：B
41．如图所示，正方形 的边长为2， 为 的中点， 为 的中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先将 用 表示，再根据数量积的运算律即可得解.
【详解】由题意， ，
所以 .
故选：D.
考点08 垂直关系的判断及应用
42．已知平面向量 ， ，向量 与 的夹角为 ．
(1)求 与 ；
(2)求证： ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）代入向量数量积，以及模的计算公式，即可求解；
（2）要证明向量垂直，转化为证明 .
【详解】（1）由题意， ，
；
（2）证明：由（1）得 ，
所以 ，
故 ．
43．已知平面向量 ， ， ， ， ，则 的值是______.
【答案】
【分析】先利用向量垂直数量积为0求出 的值，再根据向量的平方等于模长的平方即可求解.
【详解】 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
又因为 ，
所以 ，
故答案为：
44．已知向量 ， ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求实数 的值．
【答案】(1)
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学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】（1）由数量积坐标表示求解即可；
（2）计算 ，由垂直向量的坐标表示求解即可.
【详解】（1） 时， ， ，
所以 ．
（2） ，
，
因为 ，
所以
整理得 ，故 ．
45．已知向量 .
(1)若点A，B，C不能构成三角形，求实数 应满足的条件；
(2)若 为直角三角形，求实数 的值.
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）当三点共线时，点A，B，C不能构成三角形，即 共线，利用向量共线的坐标公式计
算即可得出答案.
（2） 为直角三角形，分 为直角， 为直角和 为直角，利用垂直向量的坐标表示即可得出
答案.
【详解】（1）因为点A，B，C不能构成三角形，所以 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，所以 ，解得 ，
综上可得，当 时，A，B，C不能构成三角形；
（2）①若 为直角，则 ，所以 ，
解得 ；
②若 为直角，则 ，
所以 ，解得 ；
③若 为直角，则 ，
所以 ，
即 ，因为 ，所以方程无解；
综上可得，当 或 时 为直角三角形.
46．已知 ， ， 与 的夹角是 ，求：
(1)
(2)当 为何值时，
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量数量积定义和运算律可求得 ，从而得到 ；
（2）利用向量垂直与数量积的运算律得到关于 的方程，从而得解.
【详解】（1）因为 ， ， 与 的夹角是 ，
所以 ，
故 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 .
（2）因为 ，所以 ，
则 ，即 ，
所以 .
47．已知向量 ， ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量垂直的坐标表示求出 的值，利用二倍角公式以及弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】已知向量 ， ，且 ，
则 ，即 ，
若 ，则 ，这与 矛盾，
所以， ，故 ，
因此，
.
故选：A.
考点09 向量的模
48．已知向量 与 满足 ， ， 与 的夹角为 .
(1)求 ；
(2)求 ；
(3)当 为何值时， ？
【答案】(1) ；
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学科网（北京）股份有限公司(2) ；
(3) .
【分析】（1）利用数量积的定义直接计算作答.
（2）利用数量积的运算律，结合（1）的结论求解作答.
（3）利用垂直关系的向量表示不解作答.
【详解】（1）因为 ， ， 与 的夹角为 ，所以 .
（2）由（1）知 ，所以 .
（3）由 ，得 ，解得
，
所以当 时， .
49．已知三个不共线的平面向量 ， ， 两两所成的角相等， ， ， ，则
______.
【答案】5
【分析】由平面向量 两两所成角相等可得两两所成角为 ，再利用数量积运算性质即可得出.
【详解】由题知三个不共线的平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是 ，
因为 ， ， ，
所以
，
所以 .
故答案为：5
50．如图，四边形ABCD为筝形（有一条对角线所在直线为对称轴的四边形），满足 ，AD的中
点为E， ，则筝形ABCD的面积取到最大值时，AB边长为___________.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】建立坐标系，利用向量法结合基本不等式得出 ，进而得出AB边长.
【详解】以点 为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系.
设 ，
则 .
因为 ，所以 ，
即 ，当且仅当 时，取等号.
筝形ABCD的面积为
即当 时，筝形ABCD的面积最大.
此时AB边长为 .
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司51．如图，在平面四边形 中， ， ， ，则 的最
小值为__________．
【答案】
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设 ，利用垂直关系和模的坐标公式可得
，故可求模的最小值.
【详解】以 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设 ，
因为 ，且 ，故 ，
故 ， ，
故 ，
而 ，故 ，故 ，
即 ，
所以
，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， .
故答案为：
52．（ 2023·河南驻马店·统考三模）已知平面向量 满足 ,且 ，则
=_________________ ．
【答案】
【分析】由数量积的运算律求出 ，再由向量的模长公式即可得出答案.
【详解】由 ,得 ,
所以 .
故答案为：
53．已知两点 ， ，且 在线段AB上，若 ，则点 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设点 ，表示出 ，由条件可得
，再利用 在线段AB上可得 ，联立即可求得答案.
【详解】设点 ，则 ，
由 得 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ①，
又 在线段AB上，故 共线，
则 ②，
①②联立得 ，而 在线段AB上，则 ，
故 ，解得 ， （舍去），
则 ，故 ,
故选：C
考点10 求两个向量的夹角
54．已知 为坐标原点，点 ，则 __________.
【答案】
【分析】利用向量的坐标运算得到点 坐标，然后利用数量积求夹角即可.
【详解】设点 ，所以 ， ， ， ，
因为 ，所以 ，解得 ， ，
因为 ，所以 .
故答案为： .
55．向量 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的坐标运算求解.
【详解】因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，且 ，
所以 .
故选：A.
56．设两个向量 ， 满足 ， ．
(1)若 ，求 ， 的夹角 ；
(2)若 ， 的夹角为60°，向量 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 且 .
【分析】（1）根据数量积运算以及结果，结合模长，即可求得 ，再根据数量积求得夹角；
（2）根据夹角为锐角则数量积为正数，求得 的范围，再排除向量 与 不为同向共线向量对应
参数的范围，则问题得解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ，又 ，
所以向量 、 的夹角是 .
（2）因为向量 与 的夹角为锐角，所以 ，
且向量 与 不同向共线，
即 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 、 夹角为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
又向量 与 不同向共线，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是 且 .
57．已知向量 ， ．
(1)若 ，求实数k的值；
(2)若 与 的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
【答案】(1)k＝
(2) ．
【分析】（1）先求出 ，然后再根据垂直关系即可求出 ；
（2）由 与 的夹角是钝角得到 且 与 方向不相反，得到不等式组，求出实数k的取值范围.
【详解】（1） ，
因为 ，所以 ，
解得： .
（2）若 与 的夹角是钝角，
则 且 与 方向不相反，
即 ，且
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学科网（北京）股份有限公司解得： 且 ，
故实数k的取值范围是 .
58．若两个非零向量 满足 ，则向量 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量夹角公式结合数量积公式计算求解.
【详解】设向量 与 的夹角为θ.
由 ，左右两边平方得 , 得 .
由 ，得 ，从而 .
故选:B.
59．已知单位向量 与 互相垂直，且 ，记 与 的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数量积的运算律可得出 ， .然后根据数量积的定义，即可得出答案.
【详解】由已知可得， ，
，所以， .
根据数量积的定义可知， .
故选：D.
考点11 求投影向量
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学科网（北京）股份有限公司60．已知 的外接圆的圆心为 ，且 ， ，则向量 在向量 上的投影
向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断出 为直角三角形，再结合 求出 ，最后根据投影向量的计算
方法计算即可得正确的选项.
【详解】
因为 ，故 为 的中点，而 为外心，
故 为直角三角形，且 ，
取 的中点为 ，连接 ，则 ，
因为 ，故 ，故 ，
而 为锐角，故 ，故 ，所以 ，
而向量 在向量 上的投影向量为 ，
故选：B.
61．已知向量 ， ，则 在 上的投影向量的模为______．
【答案】
【分析】根据数量积以及模的坐标表示，求出数量积以及模，然后根据投影向量的概念，即可得出答案.
【详解】由已知可得， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以， 在 上的投影向量的模为 .
故答案为： .
62．已知向量 ，且满足 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 求出 ，再根据投影向量公式可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，得 ，
所以 ， ，
所以向量 在向量 上的投影向量为 .
故选：C
63．已知 ， ， 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用 在 方向上投影向量公式 计算即可得出结果.
【详解】 在 方向上的投影向量为 ，
故选：C
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学科网（北京）股份有限公司64．（多选）若过 作 的垂线，垂足为 ，则称向量 在 上的投影向量为 ．如图，已知四边
形 均为正方形，则下列结论正确的是（ ）
A． 在 上的投影向量为
B． 在 上的投影向量为
C． 在 上的投影向量为
D． 在 上的投影向量为
【答案】AC
【分析】过 作 于 ，连接 ，设 ，由 可得 ，求出 可得
，可得 在 上的投影向量； 根据向量加法的平行四边形法则得 ，可得
在 上的投影向量．
【详解】过 作 于 ，连接 ，
因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，
设 ，则 ， ，
由 可得 ，
所以 ，则 ，所以 在 上的投影向
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学科网（北京）股份有限公司量为 ，
根据向量加法的平行四边形法则，得 ，
所以 在 上的投影向量为 ．
故选： AC.
65．已知 ，若 与 的夹角为 ，则 在 上的投影向量为______.
【答案】
【分析】先利用数量积定义及运算律求出 和 ，再利用投影向量的定义求解即可.
【详解】因为 ， 与 的夹角 ，则 ，
所以 ，
所以 在 上的投影向量为 .
故答案为：
考点12 最值、范围问题
66．已知 是单位向量，向量 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用向量数量积公式得到 ，结合 ，得到不等式，求出 的取值范围.
【详解】设 的夹角为 ，由题意得 ，
因为 是单位向量，故 ，显然 ，且 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 .
故选：C
67．已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部（不含边界）的动点，且满足 ，则
的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系并求出相应点的坐标，设点 ，代入
中，再由角的取值范围即可求得 的取值范围.
【详解】已知正方形 的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
又 为正方形 内部不含边界的动点，且满足 ，所以P在以AB为直径的半圆上（不包含
端点），
，则 ，
又 ，则 .
故答案为： .
68．（多选）如图放置的边长为1的正方形 的顶点 分别在 轴、 轴正半轴上（含原点）上滑
动，则 的值可能是（ ）
A．1 B．
C．2 D．
【答案】AC
【分析】令 ，由边长为1的正方形 的顶点 、 分别在 轴、 轴正半轴上，可得出 ，
的坐标，由此可以表示出两个向量，由坐标运算即可求解．
【详解】如图令 ，由于 故 ， ，
如图 ， ，故 ， ，
故 ，
同理可求得 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
，
故选：AC
69．在 中， ， 为 边上的动点，则 的最小值为_________．
【答案】 /-2.56
【分析】根据题意，建立直角坐标系，运用坐标表示向量，用数量积求解即可．
【详解】由于 ，所以 为原点， 为 轴， 为 轴，建立直角坐标系如图所
示：
则有： ，
设点 ，且 ，
所以 ，
则 ，
当 时， 取得最小值 ．
故答案为： ．
70．如图，已知 是以 为直径的上半圆上的动点（包含端点 ， ）， 是 的中点， ，则
的最大值是______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】2
【分析】设 ，则 ，据此可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，当
且仅当 ，即 与 重合时取等号，故 的最大值是2．
故答案为：2
71．在 中，若 ， ，则 面积的最大值为______．
【答案】2
【分析】作出辅助线，利用向量线性运算得到 ，利用三角形面积公式求出最值.
【详解】设点 为线段 的三等分点，
因为 ， ，
所以 ， ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 面积的最大值为2.
故答案为：2
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