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第 1 讲 力与物体的平衡
目标要求 1.会分析物体静态平衡问题，会选择合适的方法处理静态平衡问题。2.会分析动态平衡问题，
掌握常见的处理动态平衡问题的方法，并会处理平衡中的临界与极值问题。
考点一 静态平衡问题
1.对物体进行受力分析2.处理平衡问题常用的方法
合成法
物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反
分解法
按效果分解：物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的作用效果分解，则其分力和其他两个力
分别满足平衡条件
正交分解法：物体受到三个或三个以上力的作用时，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满
足平衡条件
矢量三
角形法
对受三个共点力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移，使三个力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，
根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力
例1 (2024·河北卷·5)如图，弹簧测力计下端挂有一质量为0.20 kg的光滑均匀球体，球体静止于带有
固定挡板的斜面上，斜面倾角为30°，挡板与斜面夹角为60°。若弹簧测力计位于竖直方向，读数为1.0
N，g取10 m/s2，挡板对球体支持力的大小为( )
√3
A. N B.1.0 N
3
2√3
C. N D.2.0 N
3例2 (2024·江西鹰潭市校考)如图所示为某同学左手从地面上抓取篮球并离开地面的照片。为简单起见，
假设只有大拇指、中指和小拇指对篮球有力的作用，三根手指的抓取点在同一水平面内呈对称分布，
且与球心的连线和竖直方向成53°角。已知手指与篮球之间的动摩擦因数为0.9，篮球质量为500 g，g
取10 m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6，假设三根手指对篮球的作用力大
小相等，则每根手指对篮球的压力至少约为( )
A.14 N B.17 N
C.19 N D.20 N
例3 (2024·北京市石景山区期末)如图所示，为营造节日气氛，同学们用轻质细线在墙角悬挂彩灯。已
知两彩灯质量均为m，OA段细线与竖直方向夹角为37°(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)，BC段细线保持水平，
重力加速度为g。关于三段细线拉力F 、F 、F ，下列表达式正确的是( )
OA AB BC
5 √13 3
A.F = mg、F = mg、F = mg
OA 2 AB 2 BC 2
10 √73 8
B.F = mg、F = mg、F = mg
OA 3 AB 3 BC 3
4√3 √21 2√3
C.F = mg、F = mg、F = mg
OA 3 AB 3 BC 3
D.F =4mg、F =√13mg、F =2√3mg
OA AB BC一题多变
变式1 (2024·山东菏泽市期中)如图，有40个质量相等的小球(可视为质点)，将它们用长度相等的轻绳依
次连接，再将两端固定在天花板上，静止时，连接天花板的轻绳与水平方向夹角为30°，已知每颗小球的
重力均为1 N，则第15颗小球与第16颗小球之间轻绳的张力大小为( )
A.14 N B.28 N
C.35 N D.45 N
变式2 如图所示为相邻铁塔间某根输电线的示意图，C点为该段输电线的最低点，输电线质量分布均匀，
关于从A点到C点输电线上张力大小的变化情况，下列说法正确的是( )
A.一直增大 B.一直减小
C.先增大后减小 D.先减小后增大例4 (2022·湖南卷·3)如图(a)，直导线MN被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴OO'上，其所在区
域存在方向垂直指向OO'的磁场，与OO'距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截面
图如图(b)所示。导线通以电流I，静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为θ。下列说法正确的是( )
A.当导线静止在图(a)右侧位置时，导线中电流方向由N指向M
B.电流I增大，静止后，导线对悬线的拉力不变
C.tan θ与电流I成正比
D.sin θ与电流I成正比
1.对于静电场、磁场中的平衡问题，受力分析时要注意静电力、磁场力方向的判断，再结合平衡条件分析
求解。2.涉及安培力的平衡问题，画受力示意图时要注意将立体图转化为平面图。
考点二 动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题
例5 (2024·广东湛江市检测)如图所示，用光滑铁丝弯成的四分之一圆弧轨道竖直固定在水平地面上，
O为圆心，A为轨道上的一点，一中间带有小孔的小球套在圆弧轨道上，对小球施加一个拉力，若在拉
力方向从水平向左在纸面内顺时针转至竖直向上的过程中，小球始终静止在A点，则拉力F( )
A.先变大，后变小 B.先变小，后变大
C.一直变大 D.一直变小
例6 (2022·河北卷·7)如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P点，将木板以底边
MN为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在
转动过程中( )
A.圆柱体对木板的压力逐渐增大
B.圆柱体对木板的压力先增大后减小
C.两根细绳上的拉力均先增大后减小
D.两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变
1.三力作用下的动态平衡
2.四力作用下的动态平衡
(1)在四力平衡中，如果有两个力为恒力，或这两个力的合力方向恒定，为了简便，可用这两个力的合力代
替这两个力，转化为三力平衡，例如：如图甲所示，qE<mg，把挡板沿逆时针方向缓慢转至水平的过程中，
可以用重力与静电力的合力F =mg-qE代替重力与静电力。
合
(2)对于一般的四力平衡及多力平衡，可采用正交分解法。甲 乙
(3)在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”将
四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图乙所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运
动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，F =mgsin
min
F
f
θ，其中F 与F 的合力方向一定，“摩擦角”θ满足tan θ= 。
N f F
N
3.数学知识在力学中的应用
数学知识 图示 公式 注意事项
cos θ+μsin θ=
√1+μ2sin(α+θ)
物体受4个共点力，
1
其中sin α=
√1+μ2 合力恒定，当F方向
μ 变化时，求F的极小
，cos α=
√1+μ2
值
1
即tan α=
μ
a b
物体受三个共点力平
= =
sinA sinB
衡，把表示三个力的
c
=2R(R为
正弦定理 sinC 有向线段作闭合矢量
△ABC外接圆的半 三角形，求某一个力
径) 或分析力的变化
当三个共点力的合
力为0时，其中任
意一个力与其他两
直接画出三个合力为
个力的夹角正弦的
0的共点力，应用拉
F
拉密定理 比值相等 1 =
sinα 密定理，比正弦定理
F F 更加便捷
2 = 3
sinβ sinγ
其实质为正弦定理
的变形答案精析
例1 A [对小球受力分析如图所示，由几何关系可得力F与力F 与竖直方向的夹角均为30°，因此将力
N
F和F 正交分解可得
N
F sin 30°=Fsin 30°，F cos 30°+Fcos 30°+F =mg
N N T
√3
解得F=F = N，故选A。]
N 3
例2 A [篮球受七个力的作用，除重力外，其余3组力呈空间对称分布，每一组力中的弹力和摩擦力在
竖直方向分力的合力，承担了篮球自身重力的三分之一，对篮球受到的一组力受力分析如图所示
1
由竖直方向受力平衡有Fsin 53°=Fcos 53°+ mg，F=μF，解得F≈14 N，故选A。]
f 3 f
2mg 5
例3 A [将两彩灯看成整体，受力分析如图所示，根据平衡条件可得F = = mg
OA cos37° 2
3
F =2mgtan 37°= mg，对结点B受力分析，根据共点力平衡可得
BC 2
√13
F =√F 2+(mg) 2= mg，故选A。]
AB BC 2
变式1 C [以左侧20个小球为整体，设每个小球的质量为m，受力分析如图甲所示
20mg
由共点力的平衡条件可知F= ，
tan30°
解得F=20√3 N
以16到20这五个球为整体，受力分析如图乙所示根据共点力的平衡条件可得第15颗小球与第16颗小球之间轻绳的张力大小为F =√(5mg) 2+F2，解得
1
F =35 N，故选C。]
1
变式2 B [由于从A点到C点，张力的水平分量保持不变，而输电线与水平方向的夹角逐渐减小，因此
张力减小，故选B。]
例4 D [当导线静止在题图(a)右侧位置时，对导线受力分析如图所示，
可知要让安培力为图示方向，则导线中电流方向应由M指向N，A错误；由于与OO'距离相等位置的磁感
BIL
应强度大小相等且不随时间变化，有sin θ= ，F =mgcos θ，
mg T
则可看出sin θ与电流I成正比，当I增大时θ增大，则cos θ减小，静止后，导线对悬线的拉力F 减小，
T
B、C错误，D正确。]
例5 B [根据题意可知，小球始终静止在A点，对小球受力分析可知，小球受重力、轨道的弹力及拉力
处于平衡状态，三力可组成一个闭合的三角形，如图所示
则拉力方向从水平向左在纸面内顺时针转至竖直向上的过程中，拉力F先变小，后变大。故选B。]
例6 B [方法一：解析法
设两根细绳对圆柱体拉力的合力大小为F ，木板对圆柱体的支持力大小为F ，从右向左看，受力分析如图
T N
所示，绳子与木板间的夹角不变，α也不变，
在矢量三角形中，根据正弦定理有
sinα sinβ sinγ
= = ，
mg F F
N T在木板以底边MN为轴向后方缓慢转动直至水平的过程中，α不变，γ从90°逐渐减小到0，
又γ+β+α=180°，且α<90°，
可知90°<γ+β<180°，
则0<β<180°，
可知β从锐角逐渐增大到钝角，
sinα sinβ sinγ
根据 = = 可知，
mg F F
N T
sin γ不断减小，F 逐渐减小，sin β先增大后减小，F 先增大后减小，结合牛顿第三定律可知，圆柱体对木
T N
板的压力先增大后减小，设两根细绳之间的夹角为2θ，一根细绳的拉力大小为F '，则2F 'cos θ=F ，可得
T T T
F
F '= T ，θ不变，F 逐渐减小，可知两根细绳上的拉力不断减小，两根细绳对圆柱体拉力的合力不断
T T
2cosθ
减小，故B正确，A、C、D错误。
方法二：辅助圆法
作出圆柱体的重力mg、木板对圆柱体的支持力F 、两根细绳对圆柱体拉力的合力F 初始状态矢量三角形，
N T
并画出它的外接圆，使A点在圆上顺时针移动，F 与竖直方向夹角变大，由图可知，F 逐渐减小，F 先增
T T N
大后减小。]
