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第 6 讲 功和能
目标要求 1.会对功和功率进行分析和计算，会求解力的平均功率和瞬时功率。2.掌握常见的功能关系。
3.理解动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律，会在具体问题中灵活选择合适的规律解决能量观点问
题。
考点一 功、功率的分析和计算
功的
计算
恒力做功：W=Flcos θ
变力做功：动能定理、微元法、等效法、转化研究对象法、平均力法、图像法、功率法(W=Pt)
功率的
计算
W
平均功率：P=
t
瞬时功率：P=Fvcos θ(θ为F、v之间的夹角)
机车
启动
两个基本关系式
P=Fv，F-F =ma
阻
恒定功率启动
1
P不变，v，a⇒以v
m
做匀速运动Pt-F
阻
s=
2
mv
m
2
恒定加速度启动
a不变，F不变，v，P⇒P
额
，v，F，a⇒以v
m
做匀速运动
最大速度v
m
P
无论哪种启动方式，最大速度都等于匀速直线运动时的速度，即v =
m F
阻
例1 (2023·北京卷·11)如图所示，一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质量
为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，在物体移动距离为x的
过程中( )A.摩擦力做功大小与F方向无关
B.合力做功大小与F方向有关
C.F为水平方向时，F做功为μmgx
D.F做功的最小值为max
例2 (2024·广东肇庆市二模)已知高铁的列车组由动力车和拖车组成，每节动力车的额定功率相同，每
节动力车与拖车的质量相等，设列车组运行时每节车厢所受阻力与其速率成正比(F=kv，k为比例系数)。
f
某列车组由m节动力车和n节拖车组成，其运行的最大速率为v ，另一列由相同的n节动力车和m节
1
拖车组成的列车组，其运行的最大速率为v ，则v ∶v 为( )
2 1 2
A.m∶n B.√m∶√n
C.√mn∶1 D.m2∶n2
考点二 动能定理的应用
例3 (2024·内蒙古赤峰市一模)冰滑梯是东北地区体验冰雪运动乐趣的设施之一，某冰滑梯的示意图如
图所示。一游客从A点由静止沿滑道下滑，螺旋滑道的摩擦可忽略且AB两点的高度差为h，游客与倾
斜滑道和水平滑道间的动摩擦因数均为μ，倾斜滑道的水平距离为L ，BC两点的高度差也为h。忽略
1
游客经过轨道衔接处B、C点时的能量损失，重力加速度为g。求：
(1)游客滑至轨道B点时的速度v 的大小；
B
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(2)为确保游客安全，水平滑道L 的最小长度。
2
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1.应用动能定理解题的步骤图解：2.应用动能定理的四点提醒：
(1)动能定理往往用于单个物体的运动过程，由于不涉及加速度及时间，比动力学方法要简捷。
(2)动能定理表达式是一个标量式，在某个方向上应用动能定理是没有依据的。
(3)物体在某个运动过程中包含几个运动性质不同的小过程(如加速、减速的过程)，对全过程应用动能定理，往
往能使问题简化。
(4)多过程往复运动问题一般应用动能定理求解。
考点三 机械能守恒定律及应用
1.机械能守恒定律的表达式
2.连接体的机械能守恒问题
共速率
模型
分清两物体位移大小与高度变化关系
共角速
度模型
两物体角速度相同，线速度与半径成正比
关
联
速
度
模此类问题注意速度的分解，找出两物体速度关系，当某物体位移最大时，速度可
型
能为0
轻
弹
簧
①同一根弹簧弹性势能的大小取决于弹簧形变量的大小，在弹簧弹性限度内，形
模
变量相等，弹性势能相等
型
②由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统：弹簧形变量最大时，弹簧两端连
接的物体具有相同的速度；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小(为零)
说明：以上连接体不计阻力和摩擦力，系统(包含弹簧)机械能守恒，单个物体机械能不守恒。若存在摩擦
生热，机械能不守恒，可用能量守恒定律进行分析。
例4 (2024·全国甲卷·17)如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m的小环套在大圆环上，小
环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部，Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程
中对大圆环的作用力大小( )
A.在Q点最大 B.在Q点最小
C.先减小后增大 D.先增大后减小
例5 (2024·辽宁省名校联盟一模)如图所示，两个顶端带有小定滑轮的完全相同的斜面对称固定在水平
地面上，斜面倾角为30°。一不可伸长的轻质细绳跨过两定滑轮，两端分别连接质量均为2m的滑块
B、C，质量为m的物块A悬挂在细绳上的O点，O点与两滑轮的距离均为l。先托住A，使两滑轮间
的细绳呈水平状态，然后将A由静止释放。A下落过程中未与地面接触，B、C运动过程中均未与滑轮
发生碰撞，不计一切摩擦。已知重力加速度为g，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6。求：
(1)物块A下落的最大高度H；
(2)从A开始下落直至结点O两侧细绳与竖直方向夹角为53°的过程中，物块A机械能的变化量。
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_________________________________________________________________________________________考点四 功能关系 能量守恒定律
1.功能关系的理解和应用
功能关系反映了做功和能量转化之间的对应关系，功是能量转化的量度。
(1)根据功能之间的对应关系，判定能的转化情况。
(2)根据能量转化，可计算变力做的功。
2.常见功能关系
能量
功能关系
表达式
势能
重力做功等于重力势能减少量
W=E -E =-ΔE
p1 p2 p
弹力做功等于弹性势能减少量
静电力做功等于电势能减少量
分子力做功等于分子势能减少量
动能
合外力做功等于物体动能变化量
1 1
W=E -E = mv2- mv 2
k2 k1 2 2 0
机械能
除重力和弹力之外的其他力做功等于机械能变化量
W =E -E =ΔE
其他 2 1 机
摩擦产生
的内能
一对相互作用的摩擦力做功之和的绝对值等于产生的内能
Q=F·s
f 相对
s 为相对路程
相对
电能
克服安培力做功等于电能增加量
W =E -E =ΔE
克安 2 1例6 (2024·山东卷·7)如图所示，质量均为m的甲、乙两同学，分别坐在水平放置的轻木板上，木板通
过一根原长为l的轻质弹性绳连接，连接点等高且间距为d(dv'，假设成立，设滑块b在空中运动的时间为t，滑块b落在斜面上的位置与B之间的水平距离为
E
d，则有d=v t-Rsin 37°
E
1
(R+Rcos 37°)- gt2=dtan 37°
2
解得t=0.328 5 s，d=1.431 m
d
又有x=
cos37°
解得x≈1.8 m
