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第 6 讲 功和能
目标要求 1.会对功和功率进行分析和计算，会求解力的平均功率和瞬时功率。2.掌握常见的功能关系。
3.理解动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律，会在具体问题中灵活选择合适的规律解决能量观点问
题。
考点一 功、功率的分析和计算
功的
计算
恒力做功：W=Flcos θ
变力做功：动能定理、微元法、等效法、转化研究对象法、平均力法、图像法、功率法(W=Pt)
功率的
计算
W
平均功率：P=
t
瞬时功率：P=Fvcos θ(θ为F、v之间的夹角)
机车
启动
两个基本关系式
P=Fv，F-F =ma
阻
恒定功率启动
1
P不变，v，a⇒以v
m
做匀速运动Pt-F
阻
s=
2
mv
m
2
恒定加速度启动
a不变，F不变，v，P⇒P
额
，v，F，a⇒以v
m
做匀速运动
最大速度v
m
P
无论哪种启动方式，最大速度都等于匀速直线运动时的速度，即v =
m F
阻
例1 (2023·北京卷·11)如图所示，一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质量
为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，在物体移动距离为x的
过程中( )A.摩擦力做功大小与F方向无关
B.合力做功大小与F方向有关
C.F为水平方向时，F做功为μmgx
D.F做功的最小值为max
例2 (2024·广东肇庆市二模)已知高铁的列车组由动力车和拖车组成，每节动力车的额定功率相同，每
节动力车与拖车的质量相等，设列车组运行时每节车厢所受阻力与其速率成正比(F=kv，k为比例系数)。
f
某列车组由m节动力车和n节拖车组成，其运行的最大速率为v ，另一列由相同的n节动力车和m节
1
拖车组成的列车组，其运行的最大速率为v ，则v ∶v 为( )
2 1 2
A.m∶n B.√m∶√n
C.√mn∶1 D.m2∶n2
考点二 动能定理的应用
例3 (2024·内蒙古赤峰市一模)冰滑梯是东北地区体验冰雪运动乐趣的设施之一，某冰滑梯的示意图如
图所示。一游客从A点由静止沿滑道下滑，螺旋滑道的摩擦可忽略且AB两点的高度差为h，游客与倾
斜滑道和水平滑道间的动摩擦因数均为μ，倾斜滑道的水平距离为L ，BC两点的高度差也为h。忽略
1
游客经过轨道衔接处B、C点时的能量损失，重力加速度为g。求：
(1)游客滑至轨道B点时的速度v 的大小；
B
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(2)为确保游客安全，水平滑道L 的最小长度。
2
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1.应用动能定理解题的步骤图解：2.应用动能定理的四点提醒：
(1)动能定理往往用于单个物体的运动过程，由于不涉及加速度及时间，比动力学方法要简捷。
(2)动能定理表达式是一个标量式，在某个方向上应用动能定理是没有依据的。
(3)物体在某个运动过程中包含几个运动性质不同的小过程(如加速、减速的过程)，对全过程应用动能定理，往
往能使问题简化。
(4)多过程往复运动问题一般应用动能定理求解。
考点三 机械能守恒定律及应用
1.机械能守恒定律的表达式
2.连接体的机械能守恒问题
共速率
模型
分清两物体位移大小与高度变化关系
共角速
度模型
两物体角速度相同，线速度与半径成正比
关
联
速
度
模此类问题注意速度的分解，找出两物体速度关系，当某物体位移最大时，速度可
型
能为0
轻
弹
簧
①同一根弹簧弹性势能的大小取决于弹簧形变量的大小，在弹簧弹性限度内，形
模
变量相等，弹性势能相等
型
②由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统：弹簧形变量最大时，弹簧两端连
接的物体具有相同的速度；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小(为零)
说明：以上连接体不计阻力和摩擦力，系统(包含弹簧)机械能守恒，单个物体机械能不守恒。若存在摩擦
生热，机械能不守恒，可用能量守恒定律进行分析。
例4 (2024·全国甲卷·17)如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m的小环套在大圆环上，小
环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部，Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程
中对大圆环的作用力大小( )
A.在Q点最大 B.在Q点最小
C.先减小后增大 D.先增大后减小
例5 (2024·辽宁省名校联盟一模)如图所示，两个顶端带有小定滑轮的完全相同的斜面对称固定在水平
地面上，斜面倾角为30°。一不可伸长的轻质细绳跨过两定滑轮，两端分别连接质量均为2m的滑块
B、C，质量为m的物块A悬挂在细绳上的O点，O点与两滑轮的距离均为l。先托住A，使两滑轮间
的细绳呈水平状态，然后将A由静止释放。A下落过程中未与地面接触，B、C运动过程中均未与滑轮
发生碰撞，不计一切摩擦。已知重力加速度为g，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6。求：
(1)物块A下落的最大高度H；
(2)从A开始下落直至结点O两侧细绳与竖直方向夹角为53°的过程中，物块A机械能的变化量。
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_________________________________________________________________________________________考点四 功能关系 能量守恒定律
1.功能关系的理解和应用
功能关系反映了做功和能量转化之间的对应关系，功是能量转化的量度。
(1)根据功能之间的对应关系，判定能的转化情况。
(2)根据能量转化，可计算变力做的功。
2.常见功能关系
能量
功能关系
表达式
势能
重力做功等于重力势能减少量
W=E -E =-ΔE
p1 p2 p
弹力做功等于弹性势能减少量
静电力做功等于电势能减少量
分子力做功等于分子势能减少量
动能
合外力做功等于物体动能变化量
1 1
W=E -E = mv2- mv 2
k2 k1 2 2 0
机械能
除重力和弹力之外的其他力做功等于机械能变化量
W =E -E =ΔE
其他 2 1 机
摩擦产生
的内能
一对相互作用的摩擦力做功之和的绝对值等于产生的内能
Q=F·s
f 相对
s 为相对路程
相对
电能
克服安培力做功等于电能增加量
W =E -E =ΔE
克安 2 1例6 (2024·山东卷·7)如图所示，质量均为m的甲、乙两同学，分别坐在水平放置的轻木板上，木板通
过一根原长为l的轻质弹性绳连接，连接点等高且间距为d(d<l)。两木板与地面间动摩擦因数均为μ，
1
弹性绳劲度系数为k，被拉伸时弹性势能E= kx2(x为绳的伸长量)。现用水平力F缓慢拉动乙所坐木板，
2
直至甲所坐木板刚要离开原位置，此过程中两人与所坐木板保持相对静止，k保持不变，最大静摩擦力
等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，则F所做的功等于( )
(μmg) 2
A. +μmg(l-d)
2k
3(μmg) 2
B. +μmg(l-d)
2k
3(μmg) 2
C. +2μmg(l-d)
2k
(μmg) 2
D. +2μmg(l-d)
2k
例7 (2024·安徽蚌埠市模拟)如图所示，倾角为θ=37°的斜面与圆心为O、半径R=0.9 m的光滑圆弧轨
道在B点平滑连接，且固定于竖直平面内。斜面上固定一平行于斜面的轻质弹簧，现沿斜面缓慢推动
质量为m =0.8 kg的滑块a使其压缩弹簧至A处，将滑块a由静止释放，通过D点时轨道对滑块a的弹
1
力为零。已知A、B之间的距离为L=1.35 m，滑块a与斜面间动摩擦因数μ=0.25，C为圆弧轨道的最低
点，CE为圆弧轨道的直径，OD水平，滑块a可视为质点，忽略空气阻力，取g=10 m/s2，sin 37°=0.6，
cos 37°=0.8，√3≈1.73。
(1)求滑块a在C点对轨道压力的大小。
(2)求滑块a整个运动过程中系统因摩擦而产生的热量。
(3)若仅将滑块a换为质量为m =0.05 kg的滑块b，滑块b由A点弹出后立即撤去弹簧，求滑块b第一次
2
落在斜面上的位置至B点的距离(结果保留2位有效数字)。
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应用能量守恒定律解题的一般步骤答案精析
例1 D [设力F与水平方向的夹角为θ，则摩擦力为F=μ(mg-Fsin θ)，摩擦力做功大小W=μ(mg-Fsin
f f
θ)x，即摩擦力做功大小与F的方向有关，选项A错误；合力做功大小W=F x=max，可知合力做功大小与
合
力F方向无关，选项B错误；当力F水平时，则有F=ma+μmg，力F做功为W =Fx=(ma+μmg)x，选项C错
F
误；因合外力做功大小为max，大小一定，而合外力做的功等于力F与摩擦力F 做功的代数和，而当Fsin
f
θ=mg时，摩擦力F=0，摩擦力做功为零，力F做功最小，最小值为max，选项D正确。]
f
例2 B [设每节动力车的额定功率为P，m节动力车厢输出的总功率为mP，则有mP=(m+n)F v ，又F
f1 1 f1
√ mP √ nP
=kv ，解得列车组的最大速度v = ，同理可得n节动力车时最大速度v = ，则有v ∶v =
1 1 (m+n)k 2 (m+n)k 1 2
√m∶√n，故选B。]
2h
例3 (1)√2gh (2) -L
μ 1
解析 (1)根据题意，游客从A点到B点过程中，由动能定理有
1
mgh= mv 2-0
2 B
解得v =√2gh
B
(2)设倾斜滑道与水平面的夹角为θ，游客由B点到停止过程中，由动能定理有
L 1
mgh-μmgcos θ· 1 -μmgL =0- mv 2
cosθ 2 2 B
2h
解得L = -L
2 μ 1
例4 C [方法一(分析法)：设大圆环半径为R，小环在大圆环上某处(P点)与圆环的作用力恰好为零，此
时只有小环的重力分力提供小环所需向力心，可知P点必在Q点上方，如图所示
设P点和圆心连线与竖直向上方向的夹角为θ，从大圆环顶端到P点过程，根据机械能守恒定律
1
mgR(1-cos θ)= mv2
2
v2
在P点，由牛顿第二定律得mgcos θ=m
R
2
联立解得cos θ=
3
从大圆环顶端到P点过程，小环速度较小，小环重力沿着指向大圆环圆心方向的分力大于小环所需的向心
力，所以大圆环对小环的弹力背离圆心，不断减小，从P点到最低点过程，小环速度变大，小环重力沿着大圆环直径方向的分力和大圆环对小环的弹力合力提供向心力，从P点到Q点，小环重力沿大圆环直径的
分力逐渐减小，从Q点到最低点，小环重力沿大圆环直径的分力背离圆心，逐渐增大，所以大圆环对小环
的弹力逐渐变大，根据牛顿第三定律可知小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小后增大。
方法二(数学法)：设大圆环半径为R，小环在大圆环上某处时，设该处和圆心的连线与竖直向上方向的夹
1
角为θ(0≤θ≤π)，根据机械能守恒定律得mgR(1-cos θ)= mv2(0≤θ≤π)
2
在该处根据牛顿第二定律得
v2
F+mgcos θ=m (0≤θ≤π)
R
联立可得F=2mg-3mgcos θ
则大圆环对小环作用力的大小为
|F|=|2mg-3mgcos θ|
2
根据数学知识可知|F|的大小在cos θ= 时最小，
3
由牛顿第三定律可知，小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小后增大。故选C。]
4 79
例5 (1) l (2)- mgl
3 122
解析 (1)根据题意可知，物块A下落最大高度H时，速度为零，由机械能守恒定律有
mgH=2×2mgsin 30°(√H2+l2-l)
4
解得H= l，H=0(舍去)
3
(2)根据题意，由几何关系可得，结点O两侧细绳与竖直方向夹角为53°时，物块A下落的高度为
l 3
h= = l
tan53° 4
设此时物块A的速度为v，则滑块B、C的速度为
3
v'=vcos 53°= v
5
下落过程中，由机械能守恒定律有
l 1 1
mgh-2×2mgsin 30°( -l)= mv2+2× ×2mv'2
sin53° 2 2
物块A机械能的变化量
1 79
ΔE= mv2-mgh=- mgl
2 122
例6 B [解法一：当甲所坐木板刚要离开原位置时，对甲及其所坐木板整体有kx =μmg
0
μmg
解得弹性绳的伸长量x =
0 k
则此时弹性绳的弹性势能为1 μ2m2g2
E = kx 2=
0 2 0 2k
从开始拉动乙所坐木板到甲所坐木板刚要离开原位置的过程，乙所坐木板的位移为x =x +l-d，
1 0
此过程中由于摩擦产生的热量
Q=μmgx ，
1
则由功能关系可知该过程F所做的功
3(μmg) 2
W=E +μmgx = +μmg(l-d)
0 1
2k
解法二：画出外力F与乙所坐的木板的位移x的关系图像如图所示，则外力F做的功
μmg+2μmg
W=μmg(l-d)+ x
2 0
又kx =μmg
0
3(μmg) 2
联立解得W= +μmg(l-d)
2k
故选B。]
例7 (1)24 N (2)7.92 J (3)1.8 m
解析 (1)由题可知，滑块a在D点处的速度为0，对滑块a由C至D点过程，由动能定理有
1
-m gR=- m v 2
1 2 1 C
对滑块a在C点由牛顿第二定律有
m v 2
F -m g= 1 C
1 1
R
结合牛顿第三定律可知，滑块a在C点对轨道压力的大小
F =F =24 N
N 1
(2)设滑块a在A处时弹簧储存的弹性势能为E ，从A到D，由能量守恒定律可知
p
E +m gLsin 37°=μm gLcos 37°+m gRcos 37°
p 1 1 1
解得E =1.44 J
p
最终滑块a在B与B关于C对称的点之间运动，由能量守恒定律可知
Q=E +m gLsin 37°
p 1
解得Q=7.92 J
(3)设滑块b能通过E点，对滑块b由A点至E点由能量守恒定律有
1
E +m gLsin 37°=μm gLcos 37°+m g(R+Rcos 37°)+ m v 2
p 2 2 2 2 2 E解得v =6 m/s
E
滑块b恰好能通过E点时，有
m v'2
m g= 2
2
R
得v'=√gR=3 m/s
可知v >v'，假设成立，设滑块b在空中运动的时间为t，滑块b落在斜面上的位置与B之间的水平距离为
E
d，则有d=v t-Rsin 37°
E
1
(R+Rcos 37°)- gt2=dtan 37°
2
解得t=0.328 5 s，d=1.431 m
d
又有x=
cos37°
解得x≈1.8 m
