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第 5 讲 机械振动和机械波
目标要求 1.熟练掌握简谐运动各物理量的特点和规律、机械波的传播规律和特点。2.能根据振动和波动
图像分析质点的振动和波动特点。
考点一 机械振动
1.简谐运动的规律
规律 x=Asin(ωt+φ)
反映同一质点在各个时刻的位移
图像
受力 回复力F=-kx，F(或a)的大小与x的大小成正
特征 比，方向相反
运动 靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远
特征 离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量 振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和
特征 势能相互转化，系统的机械能守恒
质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间
做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期
周期
T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变
性特征
T
化周期为
2
关于平衡位置O对称的两点，加速度的大小、
对称性特征 速度的大小、相对平衡位置的位移大小相等；
动能、势能相等
2.弹簧振子
(1)弹簧振子的周期与振幅、与水平方向的夹角无关，仅与弹簧的劲度系数k和振子的质量m有关。
√m
(2)公式：T=2π 。
k
3.单摆周期
√ l
T=2π
g
g 的理解
0
重力加速度或等效重力加速度
超重时g =g+a
0
失重时g =g-a
0
完全失重时g =0
0
受力特征
mg
回复力：F=mgsin θ=- x=-kx
l
v2
最高点：F =m =0，F =mgcos θ
n l T
v 2 v 2
最低点：F =m max 最大，F =mg+m max
n T
l l
例1 (多选)(2024·江西鹰潭市一模)如图所示为水平面内振动的弹簧振子，O是平衡位置，A是最大位
移处，不计小球与轴的摩擦，振幅为A，振动周期为T，则下列说法正确的是( )
A.若B是OA的中点，则从O到B的时间等于从B到A的时间的一半
3T √2
B.从小球运动到O点开始计时，t= 时小球距O点的距离为 A
8 2
C.从O到A的过程中加速度不断减小
D.从O到A的过程中速度与位移的方向相同
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________例2 (2024·北京卷·9)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖
直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，
如图乙所示。下列说法正确的是( )
A.t=0时，弹簧弹力为0
B.t=0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C.从t=0至t=0.2 s，手机的动能增大
D.a随t变化的关系式为a=4sin(2.5πt) m/s2
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
例3 (2024·甘肃卷·5)如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是( )
A.摆长为1.6 m，起始时刻速度最大
B.摆长为2.5 m，起始时刻速度为零
C.摆长为1.6 m，A、C点的速度相同
D.摆长为2.5 m，A、B点的速度相同
变式 (2024·浙江6月选考·9)如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球，两端A、B悬挂
在倾角为30°的固定斜杆上，间距为1.5 m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的
扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，重力加速度g=10 m/s2，则( )
A.摆角变小时，周期变大
B.小球摆动周期约为2 s
√3
C.小球平衡时，A端拉力大小为 N
2
D.小球平衡时，A端拉力小于B端拉力
单摆模型的拓展支撑面
“单
摆”
偏角很小时等效为单摆
复合场
中
的单摆
qE
g=g± g=g
0 m 0
斜面上
的单摆
g=gsin θ g=gsin θ
0 0
双线摆
等效摆长 等
效摆长
l=lsin θ l=lsin θ+l
1 1 3
小球在垂直纸面方向摆动
考点二 机械波
形成条件
(1)波源；(2)传播介质，如空气、水等
传播特点
(1)机械波传播的只是振动的形式和能量，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不随波迁移
(2)介质中各质点振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同
(3)一个周期内，质点完成一次全振动，通过的路程为4A，位移为零
(4)一个周期内，波向前传播一个波长
波的图像
(1)坐标轴：横轴表示各质点的平衡位置，纵轴表示该时刻各质点的位移(2)意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开平衡位置的位移
波长、波速和频率(周期)的关系
λ
(1)v=λf；(2)v=
T
波的叠加
(1)两个振动情况相同的波源形成的波，在空间某点振动加强的条件为Δx=nλ(n=0，1，2，…)，振动减弱的
λ
条件为Δx=(2n+1) (n=0，1，2，…)
2
(2)振动加强点的位移随时间而改变，振幅为两波振幅的和A +A
1 2
波的多解问题
由于波的周期性、波传播方向的双向性，波的传播易出现多解问题
波的特性
波的干涉
波的衍射
例4 (多选)(2024·新课标卷·19)位于坐标原点O的波源在t=0时开始振动，振动图像如图所示，所形成
的简谐横波沿x轴正方向传播。平衡位置在x=3.5 m处的质点P开始振动时，波源恰好第2次处于波谷
位置，则( )
A.波的周期是0.1 s
B.波的振幅是0.2 m
C.波的传播速度是10 m/s
D.平衡位置在x=4.5 m处的质点Q开始振动时，质点P处于波峰位置
例5 (多选)(2024·吉林白山市一模)某健身者挥舞健身绳锻炼臂力，挥舞后形成一列沿x轴传播的简谐
横波，如图所示，实线为t =0时的波形图，虚线为t =2 s时的波形图。已知波的周期T>1 s，下列说法
1 2
正确的是( )
5
A.这列波的波速可能为 m/s
2
11
B.这列波的波速可能为 m/s
2C.这列波10 s内传播的距离可能为35 m
D.这列波10 s内传播的距离可能为45 m
例6 (多选)(2024·山东卷·9)甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中沿x轴相向传播，波速均为2 m/s。
t=0时刻二者在x=2 m处相遇，波形图如图所示。关于平衡位置在x=2 m处的质点P，下列说法正确的
是( )
A.t=0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为0
B.t=0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为-2 cm
C.t=1.0 s时，P向y轴正方向运动
D.t=1.0 s时，P向y轴负方向运动
考点三 振动图像和波的图像的综合应用
巧解振动图像与波的图像综合问题的基本方法
例7 (2024·北京市人大附中一模)一列沿着x轴正方向传播的横波，在t=0时刻的波形如图甲所示，图
甲中某质点的振动图像如图乙所示。下列说法正确的是( )
A.该波的波速为4 m/s
B.图乙表示质点S的振动图像
C.质点R在t=6 s时的位移最大
D.质点Q经过1 s沿x轴正方向移动2 m
拓展 x=28 m处的质点，经多长时间第一次到达波峰？
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________例8 (2023·湖北卷·7)一列简谐横波沿x轴正向传播，波长为100 cm，振幅为8 cm。介质中有a和b两
40
个质点，其平衡位置分别位于x=- cm和x=120 cm处。某时刻b质点的位移为y=4 cm，且向y轴正方
3
向运动。从该时刻开始计时，a质点的振动图像为( )答案精析
A 2π 2π π T
例1 ABD [若B是OA的中点，得从O到B的方程为 =Asin ωt=Asin t，得 t= ，解得t= ，B
2 T T 6 12
T T T t' 3T
到A的时间为t'= - = ，明显t= ，则从O到B的时间是从B到A时间的一半，故A正确；把t= 代
4 12 6 2 8
2π √2
入方程x=Asin ωt=Asin t，解得x= A，故B正确；O到A的过程中，回复力增大，则加速度增大，故
T 2
C错误；从O到A的过程中，速度和位移方向均向右，故速度和位移的方向相同，故D正确。]
例2 D [由题图乙知，t=0时，手机加速度为0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为F=mg，A错误；由
题图乙知，t=0.2 s时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，B错误；由题图乙知，从t=0至
t=0.2 s，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C错误；由题图
2π
乙知T=0.8 s，则ω= =2.5π rad/s，则a随t变化的关系式为a=4sin (2.5πt) m/s2，D正确。]
T
√ l
例3 C [由单摆的振动图像可知振动周期为T=0.8π s，由单摆的周期公式T=2π 得摆长为
g
gT2
l= =1.6 m，B、D错误；
4π2
起始时刻位于正向最大位移处，速度为零，且A、C点的速度相同，A错误，C正确。]
√L
变式 B [根据单摆的周期公式T=2π 可知周期与摆角无关，故A错误；
g
同一根光滑细线，A端拉力大小等于B端拉力大小，平衡时对小球受力分析如图
可得2F cos 30°=mg
A
mg √3
解得F =F = = N
A B 2cos30° 3
故C、D错误；
1.5m×tan30° √L
根据几何知识可知摆长为L= =1 m，故周期为T=2π ≈2 s，故B正确。]
cos30° g
例4 BC [波的周期和振幅与波源相同，由振动图像可知波的周期为T=0.2 s，振幅为A=0.2 m，故A错误，
B正确；
P开始振动时，波源恰好第2次到达波谷，故可知此时经过的时间为
3
t= T+T=0.35 s
4x 3.5
故可得波速为v= OP= m/s=10 m/s
t 0.35
故C正确；
波长λ=vT=2 m
λ
x =4.5 m-3.5 m=
PQ 2
故可知当质点Q开始振动时，质点P处于平衡位置，故D错误。]
T 8
例5 AC [若这列波沿x轴负方向传播，则Δt= +nT=2 s(n=0，1，2，3…)，可得T= s(n=0，1，
4 4n+1
2，3…)，因为波的周期T>1 s，所以这列波的周期可能为8 s、1.6 s。因为这列波的波长为λ=4 m，这列波
λ 4n+1 1 5
的波速为v= = m/s(n=0，1，2，3…)，所以这列波的波速可能为 m/s、 m/s。根据Δx=v·Δt，这
T 2 2 2
3T
列波10 s内传播的距离可能为5 m、25 m。若这列波沿x轴正方向传播，则Δt= +nT=2 s(n=0，1，2，
4
8 8 8
3…)，可得T= s(n=0，1，2，3…)，因为波的周期T>1 s，所以这列波的周期可能为 s、 s。因为
4n+3 3 7
λ 4n+3 3
这列波的波长为λ=4 m，这列波的波速为v= = m/s(n=0，1，2，3…)，所以这列波的波速可能为
T 2 2
7
m/s、 m/s。根据Δx=v·Δt，这列波10 s内传播的距离可能为15 m、35 m。故选A、C。]
2
λ λ
例6 BC [T = 1=2 s，T = 2=1 s
1 v 2 v
T T
Δt =0.5 s= 1= 2，
1
4 2
甲波经0.5 sP质点处于波谷，
乙波经0.5 sP质点在平衡位置
根据叠加原理可知，t=0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为-2 cm，故A错误，B正确；
T
Δt =1.0 s= 1=T ，
2 2
2
经1.0 s甲波在P点引起的振动向上，乙波在P点引起的振动也向上，
根据叠加原理可知，t=1.0 s时，P向y轴正方向运动，故C正确，D错误。]
λ
例7 C [由题图甲可得，波长为λ=8 m，由题图乙可得，周期为T=4 s，则波速为v= =2 m/s，故A错误；
T
根据波沿x轴正方向传播，由题图甲可得，在t=0时，质点S在平衡位置，向下振动，因此题图乙与质点S
3
的振动不符，故B错误；由于t=6 s= T，因此质点R经过6 s后处于波峰位置，此时位移最大，故C正确；
2
质点不随波的传播而移动，因此质点在y方向上振动，横坐标不变，故D错误。]拓展 13 s
x-x 28-2
解析 Δt= P= s=13 s。
v 2
40 4
例8 A [a、b之间的距离为Δx=( +120) cm= λ，此时b点的位移为4 cm且向y轴正方向运动，令此时
3 3
π 5π
b点的相位为φ，则有4 cm=8sin φ (cm)，解得φ= 或φ= (舍去，向下振动)，由a、b之间的距离关系可
6 6
λ
2 5
知φ -φ=3·2π= π，则φ = π，可知a点此时的位移为y=8sin φ (cm)=4 cm，且向下振动，故选A。]
a 3 a 6 a
λ
