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第 3 讲 抛体运动
目标要求 1.掌握运动的合成与分解，掌握解决曲线运动的一般方法。2.会灵活分解平抛、斜抛运动及解
决三维空间中抛体运动问题的方法。
考点一 运动的合成与分解
例1 (多选)(2024·安徽卷·9)一倾角为30°足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角
坐标系，如图甲所示。从t=0开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴
正方向的力F 和F ，其大小与时间t的关系如图乙所示。已知物块的质量为1.2 kg，重力加速度g取10
1 2
m/s2，不计空气阻力。则( )
A.物块始终做匀变速曲线运动
B.t=1 s时，物块的y坐标值为2.5 m
C.t=1 s时，物块的加速度大小为5√3 m/s2
D.t=2 s时，物块的速度大小为10√2 m/s
考点二 平抛运动
1.平抛运动及研究方法
2.平抛运动的两个推论
(1)设做平抛运动的物体在任意时刻的速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为φ，
则有tan θ=2tan φ，如图甲所示。
(2)做平抛运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图乙所示。例2 (2024·浙江1月选考·8)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的
两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，重
力加速度为g，则水离开出水口的速度大小为( )
D √g D √ g
A. B.
4 h 4 2h
(√2+1)D √ g √ g
C. D.(√2+1)D
2 2h 2h
例3 (多选)(2024·湖南株洲市一模)为了锻炼儿童的协调性，父子俩一起玩投掷小球的游戏。如图所示，
父子分别从A、B两点水平抛出一个小球，小球均能从立在地面上的竖直管子的管口O落入管中，A、
B、O三点恰在一条直线上，且AB∶BO=2∶3。从A点抛出的小球初速度大小为v ，在O点的速度与
1
水平方向的夹角为α，从B点抛出的小球初速度大小为v ，在O点的速度与水平方向的夹角为β，空气
2
阻力不计，则下列判断正确的是( )
A.α>β B.α=β
C.v ∶v =3∶2 D.v ∶v =√5∶√3
1 2 1 2
例4 (2024·辽宁省二模)如图所示，倾角为37°的斜面体固定在水平面上，小球A在斜面底端正上方以
速度v 向右水平抛出，同时，小球B在斜面顶端以速度v 向左水平抛出，两球抛出点在同一水平线上，
1 2
结果两球恰好落在斜面上的同一点，且A球落到斜面上时速度刚好与斜面垂直，不计小球的大小，sin
37°=0.6，cos 37°=0.8。则v ∶v 等于( )
1 2
A.4∶3 B.5∶4C.8∶7 D.9∶8
大多数平抛运动与斜面(曲面)的综合问题，最终可转化为对平抛物体位移方向、速度方向分析，对位移、速度
分解、计算，从而解决问题。
已知速度方向，分解速度
垂直落在斜面上
v v
tan θ= 0 = 0
v gt
y
无碰撞地进入圆弧形轨道
v gt
y
tan θ= =
v v
0 0
已知位移方向，分解位移
求飞行时间、位移等
y gt
tan θ= =
x 2v
0
落在斜面上位移最小
x 2v
tan θ= = 0
y gt(x-R)2+y2=R2
考点三 斜抛运动
斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹
性质
是抛物线
研究方法 运动的合成与分解、逆向思维法
基本规律(以斜上抛运动为例)
(1)水平方向：v =v cos θ，F =0；x=v tcos θ
0x 0 合x 0
1
(2)竖直方向：v =v sin θ，F =mg；y=v tsin θ- gt2
0y 0 合y 0 2
常见图例
例5 (2024·重庆市一模)一学生用两个颜色不同的球做斜拋运动游戏，如图所示，第一次出手，红色球
的初速度与竖直方向的夹角为α=60°；第二次出手，橙色球的初速度与竖直方向的夹角为β=30°。两次
出手的位置在同一竖直线上，结果两球正好到达相同的最高点C，则红色球、橙色球运动的高度之比
为( )
2 1
A. B.
3 3
3 3
C. D.
4 5
逆向思维法在物理中的应用
运动示例 已知条件 逆向思维物体做斜抛运动，末
斜抛运动 物体做平抛运动
速度水平
匀减速直 物体做匀减速直线运 物体做初速度已知
线运动 动，末速度已知 的匀加速直线运动
例6 (2024·广东深圳市模拟)小齐在投篮时，投了一个“过桥”。篮球从距离篮筐的左侧边缘x=54 cm
处越过篮筐，从右侧的对称位置落下，当篮球球心与篮筐等高度时，球心与篮筐中心在一条直线AOB
上，俯视如图。已知篮球在最高点时球心距篮筐的高度h=45 cm，篮筐的外圈直径为D=47.4 cm，篮球
的直径为d=24.6 cm，重力加速度g=10 m/s2。不计空气阻力和篮球的自转，求：
(1)篮球球心在篮筐上方飞行的时间t；
(2)篮球在最高点时的速度大小v ；
0
(3)球心经过A点时的速度大小v 。
A
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
例7 (多选)(2024·山东卷·12)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v 大小为20 m/s，与
0
水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，
忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是( )
A.运动时间为2√3 s
B.落地速度与水平方向夹角为60°
C.重物离PQ连线的最远距离为10 m
D.轨迹最高点与落点的高度差为45 m答案精析
例1 BD [根据题图乙可得F =4-t(N)，F =3t(N)，故两力的合力为F=4+2t(N)
1 2 x
物块在y轴方向受到的力不变，为mgsin 30°，x轴方向受到的力F 在改变，合力在改变，故物块做的不是
x
匀变速曲线运动，故A错误；
沿y轴方向物块做匀加速直线运动，加速度为
mgsin30°
a= =gsin 30°=5 m/s2
y m
故t=1 s时，物块的y坐标值为
1
y= at2=2.5 m
2 y
故B正确；
t=1 s时，F=6 N，
x
F
故a= x=5 m/s2
x m
则a=√a 2+a 2=5√2 m/s2
x y
故C错误；
沿x轴正方向，对物块根据动量定理得Ft=mv-0
x x
由于F 与时间t成线性关系，故可得
x
(4+2×0)+(4+2×2)
×2=1.2v
2 x
解得v=10 m/s
x
此时y轴方向速度大小为
v=gsin 30°·t=5×2 m/s=10 m/s
y
故此时物块的速度大小为
v=√v 2+v 2=10√2 m/s
x y
故D正确。]
√2h D √2×2h
例2 C [设出水口到水桶口中心距离为x，则x=v ，落到桶底A点时x+ =v ，
0 g 2 0 g
(√2+1)D √ g
解得v = ，故C正确。]
0
2 2h例3 BD [连接ABO，设AO所在直线与水平面的夹角为θ，由平抛运动的推论有2tan θ=tan α=tan β，所
1 1 gt gt v
以α=β，故A错误，B正确；根据平抛运动的规律有h = gt 2 ，h = gt 2 ，tan α=tan β= A = B ，所以 1
A 2 A B 2 B v v v
1 2 2
t √h √5
A A
= = = ，故C错误，D正确。]
t √h √3
B B
例4 D [小球A垂直打在斜面上，如图所示：
1
v gt2 gt
根据几何关系可得tan 37°= 1，对于小球B：tan 37°=2 = ，
gt 2v
v t 2
2
联立得v ∶v =9∶8，故选D。]
1 2
例5 B [两个不同颜色的球做斜抛运动，经过相同的最高点，可将其逆运动看成水平向左的平拋运动，
运动轨迹如图所示，两平抛运动的水平位移相同，设为x，速度的反向延长线均过水平位移的中点，相交
于同一点。
设两球下落的高度分别为h 、h ，则
1 2
x x
tan α= ，tan β=
2h 2h
1 2
h tanβ 1
1
解得 = = ，故选B。]
h tanα 3
2
例6 (1)0.6 s (2)3 m/s (3)3√2 m/s
1
解析 (1)根据题意，篮球在最高点时球心距篮筐的高度h=45 cm，竖直方向：h= gt 2
2 0
解得t =0.3 s
0
则篮球球心在篮筐上方飞行的时间：
t=2t =0.6 s
0
D d
(2)水平方向： + +x=v t
2 2 0 0
解得v =3 m/s
0
(3)球心经过A点时竖直方向的速度
v=gt =3 m/s
y 0
球心经过A点时的速度大小v =√v 2+v 2=3√2 m/s
A 0 y
例7 BD [解法一 以P点为坐标原点，建立直角坐标系如图甲所示(PQ为x轴)
将v 沿两个坐标轴分解，则有
0
v =v cos 60°=10 m/s，
0x 0
v =v sin 60°=10√3 m/s
0y 0
将重力加速度沿两个坐标轴分解，则有
a=gsin 30°=5 m/s2
x
a=gcos 30°=5√3 m/s2
y
v
0y
从P点抛出至落到Q点的过程中，由对称性可知t=2 =4 s，A错误；
a
y
v 2
重物距PQ连线最远距离Y= 0y =10√3 m，C错误；
2a
y
落至Q点时v=v +at=30 m/s
x 0x x
由对称性得v=v =10√3 m/s
y 0y
落至Q点时速度方向与x轴夹角设为θ
v √3
y
tan θ= = ，则θ=30°
v 3
x
又因PQ与水平方向夹角为30°，
则落地速度方向与水平方向夹角α=60°，B正确；
v sin30°
重物从抛出到最高点所用时间为t = 0 =1 s
1 g
从最高点到落地所用时间为t =t-t =3 s
2 1
1
则轨迹最高点与落点的高度差为h= gt 2 =45 m，D正确。
2 2
解法二 以P点为坐标原点建立直角坐标系，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，如图乙所示，P'与P等
高v =v cos 30°=10√3 m/s
0x 0
v =v sin 30°=10 m/s
0y 0
从P→P'
2v
t = 0y=2 s
1
g
x =v t =20√3 m
1 0x 1
v=v =10√3 m/s
x 0x
v=v =10 m/s，
y 0y
从P'→Q
x =vt
2 x 2
1
y=vt + gt 2
y 2 2 2
由几何关系知：
y 10t +5t 2
2 2
tan 30°= =
x +x 20√3+10√3t
1 2 2
解得：t =2 s
2
t =t +t =4 s
总 1 2
A错误；
从最高点至Q点时间为
t
t =t - 1=3 s
3 总 2
v'=gt =30 m/s
y 3
v '
y
tan α= =√3，α=60°，B正确；
v
x
1
H= gt 2=45 m，D正确；
2 3
v 2 (v sin60°) 2
离PQ连线最远点速度方向与PQ平行，即垂直于PQ连线的分速度为0，最远距离D= ⊥ = 0
2a 2gcos30°
⊥
=10√3 m，C错误。]
