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第 3 讲 抛体运动
目标要求 1.掌握运动的合成与分解，掌握解决曲线运动的一般方法。2.会灵活分解平抛、斜抛运动及解决三
维空间中抛体运动问题的方法。
考点一 运动的合成与分解
例1 (多选)(2024·安徽卷·9)一倾角为30°足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy
直角坐标系，如图甲所示。从t=0开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施
加沿x轴正方向的力F 和F ，其大小与时间t的关系如图乙所示。已知物块的质量为1.2 kg，重力
1 2
加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。则( )
A.物块始终做匀变速曲线运动
B.t=1 s时，物块的y坐标值为2.5 m
C.t=1 s时，物块的加速度大小为5√3 m/s2
D.t=2 s时，物块的速度大小为10√2 m/s
答案 BD
解析 根据题图乙可得F =4-t(N)，F =3t(N)，故两力的合力为F=4+2t(N)
1 2 x
物块在y轴方向受到的力不变，为mgsin 30°，x轴方向受到的力F 在改变，合力在改变，故物块做的不是
x
匀变速曲线运动，故A错误；
沿y轴方向物块做匀加速直线运动，加速度为
mgsin30°
a= =gsin 30°=5 m/s2
y m
故t=1 s时，物块的y坐标值为
1
y= at2=2.5 m
2 y
故B正确；
F
t=1 s时，F=6 N，故a= x=5 m/s2
x x m
则a=√a 2+a 2=5√2 m/s2
x y
故C错误；
沿x轴正方向，对物块根据动量定理得
Ft=mv-0
x x由于F 与时间t成线性关系，故可得
x
(4+2×0)+(4+2×2)
×2=1.2v
2 x
解得v=10 m/s
x
此时y轴方向速度大小为
v=gsin 30°·t=5×2 m/s=10 m/s
y
故此时物块的速度大小为
v=√v 2+v 2=10√2 m/s
x y
故D正确。
考点二 平抛运动
1.平抛运动及研究方法
2.平抛运动的两个推论
(1)设做平抛运动的物体在任意时刻的速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为φ，
则有tan θ=2tan φ，如图甲所示。
(2)做平抛运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图乙所示。
例2 (2024·浙江1月选考·8)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶
高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径
为D，重力加速度为g，则水离开出水口的速度大小为( )D √g D √ g
A. B.
4 h 4 2h
(√2+1)D √ g √ g
C. D.(√2+1)D
2 2h 2h
答案 C
√2h D √2×2h
解析 设出水口到水桶口中心距离为x，则x=v ，落到桶底A点时x+ =v ，解得v =
0 g 2 0 g 0
(√2+1)D √ g
，故C正确。
2 2h
例3 (多选)(2024·湖南株洲市一模)为了锻炼儿童的协调性，父子俩一起玩投掷小球的游戏。如图
所示，父子分别从A、B两点水平抛出一个小球，小球均能从立在地面上的竖直管子的管口O落入
管中，A、B、O三点恰在一条直线上，且AB∶BO=2∶3。从A点抛出的小球初速度大小为v ，在
1
O点的速度与水平方向的夹角为α，从B点抛出的小球初速度大小为v ，在O点的速度与水平方向
2
的夹角为β，空气阻力不计，则下列判断正确的是( )
A.α>β B.α=β
C.v ∶v =3∶2 D.v ∶v =√5∶√3
1 2 1 2
答案 BD
解析 连接ABO，设AO所在直线与水平面的夹角为θ，由平抛运动的推论有2tan θ=tan α=tan β，所以
1 1 gt gt v
α=β，故A错误，B正确；根据平抛运动的规律有h = gt 2 ，h = gt 2 ，tan α=tan β= A = B ，所以 1 =
A 2 A B 2 B v v v
1 2 2
t √h √5
A A
= = ，故C错误，D正确。
t √h √3
B B
例4 (2024·辽宁省二模)如图所示，倾角为37°的斜面体固定在水平面上，小球A在斜面底端正上
方以速度v 向右水平抛出，同时，小球B在斜面顶端以速度v 向左水平抛出，两球抛出点在同一
1 2
水平线上，结果两球恰好落在斜面上的同一点，且A球落到斜面上时速度刚好与斜面垂直，不计
小球的大小，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。则v ∶v 等于( )
1 2A.4∶3B.5∶4C.8∶7D.9∶8
答案 D
解析 小球A垂直打在斜面上，如图所示：
1
v gt2 gt
根据几何关系可得tan 37°= 1，对于小球B：tan 37°=2 = ，联立得v ∶v =9∶8，故选D。
gt 2v 1 2
v t 2
2
大多数平抛运动与斜面(曲面)的综合问题，最终可转化为对平抛物体位移方向、速度方向分析，对位移、速度
分解、计算，从而解决问题。
已知速度方向，分解速度
垂直落在斜面上
v v
tan θ= 0 = 0
v gt
y
无碰撞地进入圆弧形轨道
v gt
y
tan θ= =
v v
0 0已知位移方向，分解位移
求飞行时间、位移等
y gt
tan θ= =
x 2v
0
落在斜面上位移最小
x 2v
tan θ= = 0
y gt
(x-R)2+y2
=R2
考点三 斜抛运动
斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动
性质
轨迹是抛物线
研究
运动的合成与分解、逆向思维法
方法
基本
规律
(以斜
(1)水平方向：v =vcos θ，F =0；x=vtcos θ
上抛 0x 0 合x 0
1
运动
(2)竖直方向：v =vsin θ，F =mg；y=vtsin θ-
0y 0 合y 0 2
为例)
gt2常见
图例
例5 (2024·重庆市一模)一学生用两个颜色不同的球做斜拋运动游戏，如图所示，第一次出手，红
色球的初速度与竖直方向的夹角为α=60°；第二次出手，橙色球的初速度与竖直方向的夹角为
β=30°。两次出手的位置在同一竖直线上，结果两球正好到达相同的最高点C，则红色球、橙色球
运动的高度之比为( )
2 1 3 3
A. B. C. D.
3 3 4 5
答案 B
解析 两个不同颜色的球做斜抛运动，经过相同的最高点，可将其逆运动看成水平向左的平拋运动，运动
轨迹如图所示，两平抛运动的水平位移相同，设为x，速度的反向延长线均过水平位移的中点，相交于同
一点。
设两球下落的高度分别为h 、h ，则
1 2
x x
tan α= ，tan β=
2h 2h
1 2
h tanβ 1
1
解得 = = ，故选B。
h tanα 3
2
逆向思维法在物理中的应用
运动示例 已知条件 逆向思维
物体做斜抛运动，末
斜抛运动 物体做平抛运动
速度水平
匀减速直 物体做匀减速直线运 物体做初速度已知的
线运动 动，末速度已知 匀加速直线运动例6 (2024·广东深圳市模拟)小齐在投篮时，投了一个“过桥”。篮球从距离篮筐的左侧边缘x=54
cm处越过篮筐，从右侧的对称位置落下，当篮球球心与篮筐等高度时，球心与篮筐中心在一条直
线AOB上，俯视如图。已知篮球在最高点时球心距篮筐的高度h=45 cm，篮筐的外圈直径为
D=47.4 cm，篮球的直径为d=24.6 cm，重力加速度g=10 m/s2。不计空气阻力和篮球的自转，求：
(1)篮球球心在篮筐上方飞行的时间t；
(2)篮球在最高点时的速度大小v ；
0
(3)球心经过A点时的速度大小v 。
A
答案 (1)0.6 s (2)3 m/s (3)3√2 m/s
1
解析 (1)根据题意，篮球在最高点时球心距篮筐的高度h=45 cm，竖直方向：h= gt 2
2 0
解得t =0.3 s
0
则篮球球心在篮筐上方飞行的时间：t=2t =0.6 s
0
D d
(2)水平方向： + +x=v t
2 2 0 0
解得v =3 m/s
0
(3)球心经过A点时竖直方向的速度
v=gt =3 m/s
y 0
球心经过A点时的速度大小
v =√v 2+v 2=3√2 m/s
A 0 y
例7 (多选)(2024·山东卷·12)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v 大小为20
0
m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小
取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是( )
A.运动时间为2√3 s
B.落地速度与水平方向夹角为60°
C.重物离PQ连线的最远距离为10 m
D.轨迹最高点与落点的高度差为45 m
答案 BD解析 解法一 以P点为坐标原点，建立直角坐标系如图甲所示(PQ为x轴)
将v 沿两个坐标轴分解，则有
0
v =v cos 60°=10 m/s，v =v sin 60°=10√3 m/s
0x 0 0y 0
将重力加速度沿两个坐标轴分解，则有
a=gsin 30°=5 m/s2
x
a=gcos 30°=5√3 m/s2
y
v
0y
从P点抛出至落到Q点的过程中，由对称性可知t=2 =4 s，A错误；
a
y
v 2
重物距PQ连线最远距离Y= 0y =10√3 m，C错误；
2a
y
落至Q点时v=v +at=30 m/s
x 0x x
由对称性得v=v =10√3 m/s
y 0y
落至Q点时速度方向与x轴夹角设为θ
v √3
y
tan θ= = ，则θ=30°
v 3
x
又因PQ与水平方向夹角为30°，
则落地速度方向与水平方向夹角α=60°，B正确；
v sin30°
重物从抛出到最高点所用时间为t = 0 =1 s
1 g
从最高点到落地所用时间为t =t-t =3 s
2 1
1
则轨迹最高点与落点的高度差为h= gt 2 =45 m，D正确。
2 2
解法二 以P点为坐标原点建立直角坐标系，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，如图乙所示，P'与P等
高v =v cos 30°=10√3 m/s
0x 0
v =v sin 30°=10 m/s
0y 0
从P→P'
2v
t = 0y=2 s
1
g
x =v t =20√3 m
1 0x 1
v=v =10√3 m/s
x 0x
v=v =10 m/s，
y 0y
从P'→Q
x =vt
2 x 2
1
y=vt + gt 2
y 2 2 2
由几何关系知：
y 10t +5t 2
2 2
tan 30°= =
x +x 20√3+10√3t
1 2 2
解得：t =2 s
2
t =t +t =4 s
总 1 2
A错误；
t
从最高点至Q点时间为t =t - 1=3 s
3 总 2
v'=gt =30 m/s
y 3
v '
y
tan α= =√3，α=60°，B正确；
v
x
1
H= gt 2=45 m，D正确；
2 3
v 2 (v sin60°) 2
离PQ连线最远点速度方向与PQ平行，即垂直于PQ连线的分速度为0，最远距离D= ⊥ = 0
2a 2gcos30°
⊥
=10√3 m，C错误。专题强化练
［分值：60分］
1~6题每题4分，7题14分，8题16分，9题6分，共60分
［保分基础练］
1.(2023·辽宁卷·1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图
可能正确的是( )
答案 A
解析 篮球做曲线运动，所受合力指向运动轨迹的凹侧，故选A。
2.(2024·江苏卷·4)喷泉a、b形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b的( )
A.加速度相同 B.初速度相同
C.最高点的速度相同 D.在空中的时间相同
答案 A
解析 不计空气阻力，喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，A正确；设喷泉喷出的水
√2h
竖直方向的分速度为v，水平方向的分速度为v，竖直方向，根据对称性可知在空中运动的时间t=2
y x
gx
，可知t >t ，D错误；最高点的速度等于水平方向的分速度v= ，由于水平方向的位移大小关系未知，无
b a x t
法判断最高点的速度大小关系，根据速度的合成可知无法判断初速度的大小关系，B、C错误。
3.(多选)(2024·江西卷·8)一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图所示，以小
鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向建立坐标系，小鱼的初速度为v ，末速度v沿x轴正方向。在此
0
过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度v 和竖直
x
方向分速度v 与时间t的关系，下列图像可能正确的是( )
y
答案 AD
解析 小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即v 为定值，则有水平位
x
1
移x=vt，故A正确，C错误；小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则y=v t- gt2，v=v -gt，且最高点时竖
x y0 2 y y0
直方向的分速度为0，故B错误，D正确。
4.(2024·福建泉州市模拟)如图所示，相对且紧挨着的两个斜面固定在水平面上，倾角分别为α=60°，
β=30°。在斜面OA上某点将a、b两小球分别以速度v 、v 同时向右水平抛出，a球落在M点、b球垂直打
1 2
在斜面OC上的N点(M、N在同一水平面上)。不计空气阻力，则v 、v 的大小之比为( )
1 2
A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4 D.3∶5
答案 A
解析 由题可知两小球做平抛运动下落的高度相同，所以两小球做平抛运动的时间相同，设为t，由题意
及几何关系可知，小球a落在斜面上时，位移方向与水平方向的夹角为60°，小球b落在斜面上时，速度方1
gt2 gt gt
向与水平方向的夹角为60°。根据平抛运动规律，对小球a有tan 60°=2 = ，对小球b有tan 60°=
2v v
v t 1 2
1
v 1
1
，则 = ，故选A。
v 2
2
5.(2023·江苏卷·10)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，
沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是( )
答案 D
解析 以罐子为参考系，沙子在水平方向向左做初速度为零的匀加速直线运动，在竖直方向做自由落体运
动，合加速度恒定，沙子在空中排列在一条斜向左下的直线上，故选D。
6.(2024·湖南衡阳市二模)将一物体以某一初速度沿与水平方向成37°角从A点斜向上抛出，经过B点时速度
与水平方向的夹角为53°。已知A、B之间的水平距离为L，忽略空气阻力的影响，重力加速度为g，sin
53°=0.8，则下列说法正确的是( )
√3gL
A.从A点抛出时的速度大小为
2
3
B.从A到B过程中速度的最小值为 √3gL
5
5√3L
C.从A到B的时间为
3 g
7
D.A、B之间的高度差为 L
12
答案 A
解析 设水平方向分速度为v ，物体在A、B位置的速度分解如图甲、乙所示
03 4 25v
由速度分解可知v =v tan 37°= v ，v =v tan 53°= v ，竖直方向：v =-v +gt，解得t= 0 ，水平方向：
Ay 0 4 0 By 0 3 0 By Ay 12g
2 v √3gL
L=v t，解得v = √3gL，则A点的抛出速度为v = 0 = ，故A正确；A到B过程中当竖直方向
0 0 5 A cos37° 2
2 25 2 5√3L
速度为0时，速度最小，v =v = √3gL，故B错误；将v 代入t中可得t= × √3gL= ，故C错
min 0 5 0 12g 5 6 g
3 2 3 1
误；根据速度关系可知v = × √3gL= √3gL，根据竖直方向位移关系可知h=-v t+ gt2，代入数据可
Ay 4 5 10 Ay 2
7
得h= L，故D错误。
24
［争分提能练］
7.(14分)(2024·湖南长沙市调研)作为研制新一代飞行器的摇篮，我国JF-22超高速风洞可以创造出高度达几
十千米、速度达约三十倍声速的飞行条件。若将一小球从风洞中地面上的A点以初速度v 竖直向上弹出，
0
9
小球受到大小恒定的水平风力作用，到达最高点B时的动能为初始点A动能的 ，小球最后落回到地面上
16
的C点，如图。不计空气阻力，重力加速度为g，求：
(1)(4分)小球从弹出到落地所用的时间；
(2)(6分)小球运动的加速度大小；
(3)(4分)小球在空中的最小速度。
2v 5 3
答案 (1) 0 (2) g (3) v
g 4 5 0
v
解析 (1)竖直方向上，小球只受重力作用，到达最高点B所用的时间t = 0
上 g
v
根据对称性，从最高点到落地的时间t = 0
下 g
2v
则小球从弹出到落地所用的时间t=t +t = 0
上 下 g
(2)到达最高点B时的动能与A点的动能之比为9∶16，则速度之比为v ∶v =3∶4
水平 0
v
在最高点竖直方向速度为0，由(1)知t = 0
上 gv =a t ，
水平 水平 上
3
得a = g
水平 4
小球运动的加速度大小为a=√a 2+g2
水平
5
联立解得a= g
4
(3)小球在重力和风力作用下做类斜抛运动，当小球速度方向与重力和风力的合力方向垂直时，速度最小，
3
合力与竖直方向夹角正切值为tan θ=
4
3
最小速度v =v sin θ= v
min 0 5 0
8.(16分)(2020·山东卷·16)单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：
U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°。某
次练习过程中，运动员以v =10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度
M
方向与轨道边缘线AD的夹角α=72.8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运
动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g=10 m/s2，sin 72.8°=0.96，cos 72.8°=0.30。求：
(1)(8分)运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值d；
(2)(8分)M、N之间的距离L。
答案 (1)4.8 m (2)12 m
解析 (1)在M点，设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分速度为v ，由运动的合成与分解规律得
1
v =v sin 72.8° ①
1 M
设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分加速度为a ，由牛顿第二定律得
1
mgcos 17.2°=ma ②
1
v 2
由运动学公式得d= 1 ③
2a
1
联立①②③式，代入数据得
d=4.8 m ④
(2)在M点，设运动员在ABCD面内平行AD方向的分速度为v ，
2
由运动的合成与分解规律得v =v cos 72.8° ⑤
2 M
设运动员在ABCD面内平行AD方向的分加速度为a ，由牛顿第二定律得
2mgsin 17.2°=ma ⑥
2
设腾空时间为t，由运动学公式得
2v
t= 1 ⑦
a
1
1
L=v t+ a t2 ⑧
2 2 2
联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得L=12 m ⑨
［尖子生选练］
9.(多选)(2024·四川成都市模拟)从高H处的M点先后水平抛出两个小球1和2，轨迹如图所示，球1与地面
碰撞一次后刚好越过竖直挡板AB，落在水平地面上的N点，球2刚好直接越过竖直挡板AB，也落在N点，
设球1与地面的碰撞是弹性碰撞，忽略空气阻力，则( )
A.小球1、2的初速度之比为1∶3
B.小球1、2的初速度之比为1∶4
4
C.竖直挡板AB的高度h= H
5
3
D.竖直挡板AB的高度h= H
4
答案 AD
解析 设M点到N点的水平距离为L，球2平抛运动过程的时间为t，则球1从抛出到第一次碰地的时间也
为t球1与地面碰撞前后竖直方向分速度大小不变、方向相反，根据对称性可知，球1与地面碰撞后到达的最
高点与初始高度相同为H，球1、2在水平方向均做匀速直线运动，
L
对球1： =v t
3 1
对球2：L=v t，
2
v 1
1
则 = ，故A正确，B错误；将球1与地面碰撞后到达最高点的过程反向看作平抛运动，如图所示，球1
v 3
2
x 2 L
从C到A与球2从M到A用时相等设为t'，x =v t'，x =v t'，v =3v ，则x = 2 ，又x +x = L，则x = ，即
1 1 2 2 2 1 1 3 1 2 3 2 2
B为MN的水平中点，由竖直方向上的自由落体运动在连续相同时间内的位移比知MA与AB竖直高度之比
3
为1∶3，则h= H，故C错误，D正确。
4
