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计算题提分练(2)
［分值：40分］
(限时：40分钟)
1.(12分)(2024·江苏卷·15)如图所示，粗糙斜面的动摩擦因数为μ，倾角为θ，斜面长为L。一个质量为m的
物块，在电动机作用下，从A点由静止加速至B点时达到最大速度v，之后做匀速运动至C点，关闭电动
机，从C点又恰好到达最高点D，重力加速度为g。求：
(1)(4分)CD段长x；
(2)(3分)BC段电动机的输出功率P；
(3)(5分)全过程物块增加的机械能E 和电动机消耗的总电能E 的比值。
1 2
v2
答案 (1)
2g(sinθ+μcosθ)
(2)mgv(sin θ+μcos θ)
sinθ
(3)
sinθ+μcosθ
解析 (1)物块在CD段运动过程中，加速度大小为a
由牛顿第二定律得mgsin θ+μmgcos θ=ma
由运动学公式0-v2=-2ax
v2
联立解得x=
2g(sinθ+μcosθ)
(2)物块在BC段匀速运动，得电动机的牵引力为F=mgsin θ+μmgcos θ
由P=Fv得P=mgv(sin θ+μcos θ)
(3)全过程物块增加的机械能为E =mgLsin θ
1
整个过程由能量守恒得电动机消耗的总电能转化为物块增加的机械能和摩擦产生的内能，
可知E =E +μmgcos θ·L
2 1
E mgLsinθ
1
得 =
E mgLsinθ+μmgLcosθ
2
sinθ
= 。
sinθ+μcosθ
2.(12分)(2024·湖南怀化市二模)光刻机是现代半导体工业的皇冠，其最核心的两大部件为光源与光学镜头。
我国研制的某型号光刻机的光源辐射出某一频率的紫外光，光刻机光学镜头投影原理简化图如图所示，等
腰直角三角形ABC为三棱镜的横截面，半球形玻璃砖的半径为R，O为球心，O'O为半球形玻璃砖的对称
轴。间距为√2R的a、b两束平行紫外光从棱镜左侧垂直AB边射入，经AC边反射后进入半球形玻璃砖，最后会聚于硅片上表面的M点，M点位于O'O的延长线上。半球形玻璃砖的折射率为√2，来自棱镜的反
射光关于轴线O'O对称，光在真空中的传播速度为c。
(1)(3分)要使射向半球形玻璃砖的光线最强(光不能从三棱镜的AC边射出)，求三棱镜折射率的最小值；
√6+√2
(2)(9分)求紫外光从进入半球形玻璃砖到第一次折射出玻璃砖的时间(可能用到sin 75°= )。
4
(√6-√2)R
答案 (1)√2 (2)
c
1 1
解析 (1)依题意，可知光射到三棱镜AC边的入射角为45°，由sin C= ，有sin 45°≥
n n
所以三棱镜的折射率至少为√2。
(2)如图所示，光在半球形玻璃砖内传播过程
DE √2
在△ODE中sin ∠DOE= =
OD 2
则∠DOE=45°
sin45°
所以光在射入玻璃砖时的入射角为45°，紫外光进入玻璃砖时由折射定律得n=
sin∠FDO
解得∠FDO=30°
R DF R DF
在△DOF中，由正弦定理得 = ，即 =
sin(180°-75°) sin45° sin75° sin45°
解得DF=(√3-1)R
c
光在玻璃砖中的传播速度v=
n
DF (√6-√2)R
光在玻璃砖中的传播时间t= = 。
v c3.(16分)(2024·全国甲卷·25)如图，金属导轨平行且水平放置，导轨间距为L，导轨光滑无摩擦。定值电阻
大小为R，其余电阻忽略不计，电容大小为C。在运动过程中，金属棒始终与导轨保持垂直。整个装置处
于竖直方向且磁感应强度为B的匀强磁场中。
(1)(7分)开关S闭合时，对金属棒施加水平向右的恒力，金属棒能达到的最大速度为v 。当外力功率为定
0
值电阻功率的两倍时，求金属棒速度v的大小。
(2)(9分)当金属棒速度为v时，断开开关S，改变水平外力并使金属棒匀速运动。当外力功率为定值电阻功
率的两倍时，求电容器两端的电压以及从开关断开到此刻外力所做的功。
v BLv CB2L2v 2
答案 (1) 0 (2) 0 0
2 4 8
解析 (1)开关S闭合后，当外力与安培力相等时，金属棒的速度最大，则F=F =BIL
安
E
由闭合电路欧姆定律得I=
R
金属棒切割磁感线产生的感应电动势为E=BLv
0
B2L2v
联立可得，恒定的外力为F= 0
R
B2L2v
在加速阶段，外力的功率为P =Fv= 0v
F
R
B2L2v2
定值电阻的功率为P =I2R=
R R
若P =2P 时，
F R
B2L2v B2L2v2
即 0v=2
R R
v
化简可得金属棒速度大小为v= 0
2
q
(2)断开开关S，电容器充电，则电容器与定值电阻串联，则有E=BLv=IR+
C
当金属棒匀速运动时，电容器不断充电，电荷量q不断增大，电路中电流不断减小，则金属棒所受安培力
F =BIL不断减小，
安
而拉力的功率P =F'v=F ·v=BILv
F' 安
定值电阻功率P =I2R
R
当P =2P 时有BILv=2I2R
F' R
BLv
可得IR=
2q
根据E=IR+
C
可得此时电容器两端电压为
q BLv 1
U = = = BLv
C C 2 4 0
从开关断开到此刻外力所做的功为
W=ΣBIL(v·Δt)=BLvΣI·Δt=BLvq
CBLv
其中q=
2
CB2L2v 2
联立可得W= 0 。
8
