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计算题提分练(4)
(限时：40分钟)
1.(12分)(2024·江苏卷·16)如图所示，两个半圆区域abcd、a'b'c'd'中有垂直纸面向里的匀强磁场，两圆的半
径分别为R 和R ，ab与a'b'间有一个匀强电场，电势差为U，cd与c'd'间有一个插入体，电子每次经过插
1 2
入体速度减为原来的k倍(k<1)。现有一个质量为m、电量为e的电子，从cd面射入插入体，经过磁场、电
场后再次到达cd面，速度增加，多次循环运动后，电子到达cd的速度大小达到一个稳定值，忽略相对论
效应，忽略电子经过电场与插入体的时间。求：
(1)(3分)电子进入插入体前后在磁场中的半径r 、r 之比；
1 2
(2)(3分)电子多次循环后到达cd的稳定速度v；
(3)(6分)若电子到达cd中点P时速度稳定，并最终到达边界上的d点，求电子从P到d的时间t。
2.(18分)(2024·江西卷·15)如图所示，绝缘水平面上固定一光滑平行金属导轨，导轨左右两端分别与两粗糙
的倾斜平行金属轨道平滑连接，两侧导轨倾角分别为θ 、θ ，导轨间距均为l=2 m，水平导轨所在区域存在
1 2
竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小B=0.5 T，现有两均匀金属细棒甲和乙，质量分别为m =6 kg和
1
3 44
m =2 kg，接入导轨的电阻均为R=1 Ω，左、右两侧倾斜导轨与两棒的动摩擦因数分别为μ = 、μ = 。
2 1 20 2 183
初始时刻，乙静止在水平导轨上，与水平导轨左端P P 的距离为d，甲从左侧倾斜导轨高度h=4 m的位置
1 2
静止滑下。水平导轨足够长，两棒运动过程中始终与导轨接触良好且保持垂直。若两棒发生碰撞，则为完
全非弹性碰撞。不计空气阻力和导轨的电阻。(g取10 m/s2，sin θ =0.6，sin θ =0.8)
1 2
(1)(5分)求甲刚进入磁场时乙的加速度大小和方向；
(2)(5分)为使乙第一次到达水平导轨右端Q Q 之前甲和乙不相碰，求d的最小值；
1 2(3)(8分)若乙前两次在右侧倾斜导轨上相对于水平导轨的竖直高度y随时间t的变化如图(b)所示(t 、t 、t 、
1 2 3
t 、b均为未知量)，乙第二次进入右侧倾斜导轨之前与甲发生碰撞，甲在0~t 时间内未进入右侧倾斜导轨，
4 3
求d的取值范围。答案精析
1.(1)1∶k
√ 2eU
(2) ，方向垂直于cd向左
m(1-k2
)
π(R -R )√2m(1+k)
(3) 2 1
4 eU(1-k)
解析 (1)设电子进入插入体前后的速度大小分别为v 、v ，由题意可得：v =kv
1 2 2 1
v2
电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，得：evB=m
r
mv
解得：r=
eB
可知在磁场中的运动半径r∝v，
可得：r ∶r =v ∶v =1∶k
1 2 1 2
(2)电子多次循环后到达cd的稳定速度大小为v，则经过插入体后的速度大小为kv，
电子经过电场加速后速度大小为v，
1 1
根据动能定理得：Ue= mv2- m(kv)2
2 2
√ 2eU
解得：v= ，
m(1-k2
)
方向垂直于cd向左。
(3) 电子到达cd中点P时速度稳定，并最终到达边界上的d点，由P点开始相继在两个半圆区域的运动轨
迹如图所示。
根据(1)(2)的结论，可得电子在右半圆区域的运动半径为：
mv 1 √ 2mU
r= =
eB B e(1-k2 )
电子在左半圆区域的运动半径为kr
图中所示的Δx=2r-2kr
P点与d点之间的距离为：
1
Pd= (R -R )
2 2 1电子由P点多次循环后到达d点的循环次数为：
Pd R -R
2 1
n= =
Δx 4(1-k)r
2πr
电子在左、右半圆区域的运动周期均为T=
v
忽略电子经过电场与插入体的时间，则每一次循环的时间均等于T，可得电子从P到d的时间为：
π(R -R )√2m(1+k)
t=nT= 2 1 。
4 eU(1-k)
2.(1)2 m/s2，方向水平向右
(2)24 m
356 696
(3) m
