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计算题必刷·1规范+1模型+1思想
计算题 03
1．（10分）水平方向的弹簧振子在B-O-C之间做简谐运动， 如左图所示。其中BC长为0.1m，振子质量
m=0.1kg。 从B点开始计时，弹簧的弹性势能随时间如右图所示变化。现以O为坐标原点，水平向右为x
轴正方向，结合图像数据，求：
（1）振子相对 O点的位移x与时间t的关系式
（2）振子从B到O过程所受弹簧弹力的冲量
【答案】（1） ；（2） ，方向由B指向O
【详解】（1）由题，BC长为0.1m，则振幅
A=0.05m
振子振动的周期
振子相对 O点的位移x与时间t的关系式
（2）弹簧最大弹性势能
根据能量守恒，振子在O时动能
得
振子从B到O过程所受弹簧弹力的冲量
方向由B指向O。
2．（12分）如图所示，在xOy平面的第一象限内有半径为R的圆形区域，该区域内有一匀强磁场，磁场
的方向垂直纸面向里。已知圆形区域的圆心为 ，其边界与x轴、y轴分别相切于P、Q点。位于P处的
质子源均匀地向纸面内以大小为v的相同速率发射质量为m、电荷量为e的质子，且质子初速度的方向被限定在 两侧与 的夹角均为 的范围内。第二象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小
为E，在x轴（ ）的某区间范围内放置质子接收装置MN。已知沿 方向射入磁场的质子恰好从Q
点垂直y轴射入匀强电场，不计质子受到的重力和质子间的相互作用力。
（1）求圆形区域内匀强磁场的磁感应强度大小B；
（2）求y轴正方向上有质子射出的区域范围；
（3）若要求质子源发出的所有质子均被接收装置MN接收，求接收装置MN的最短长度x。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）沿 方向射入磁场的质子恰好从Q点垂直y轴射入匀强电场，则该质子运动半径为 ，有
解得
（2）如图所示，设在 左右两侧 角方向上射入磁场的质子，最终分别有磁场边界上的A、B两点射
出，对应圆周运动的圆心分别为 、 ，则四边形 和 均为 ，则粒子由A、B两点水平飞
出，且 与B点重合。
根据几何关系可知
B点到 轴的距离为 ，所以y轴正方向上有质子射出的区域范围为（3）若质子由 处飞入电场时打在M点，由 处飞入电场时打在N点，根据类平抛运动的规律，
有
解得
MN的最短长度为
3．（18分）如图所示，倾角 的足够长斜面固定在水平面上， 时刻，将物块A、B（均可视为
质点）从斜面上相距 的两处同时由静止释放。已知A的质量是B的质量的3倍，A、B与斜面之
间的动摩擦因数分别为 、 ，A、B之间的碰撞为弹性碰撞，且碰撞时间极短，重力加速度
大小 ，求：
（1）A、B发生第一次碰撞后瞬间，A、B的速度大小；
（2）A、B发生第三次碰撞的时刻；
（3）从静止释放到第n次碰撞，A运动的位移。
【答案】（1）0.25m/s，0.75m/s；（2）1.0s；（3）
【详解】（1）A沿斜面下滑，受力重力、支持力和摩擦力分析，根据牛顿第二定律
分析B的受力即B静止在斜面上。A与B发生第一次碰撞前，由运动学规律
A与B发生第一次碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律
，
解得
，
（2）由（1）可得，A从静止释放后，经过时间 与B发生第一次碰撞，有
B以 匀速直线运动，A以初速度 ，加速度a匀加速直线运动，第二次碰撞前，有
此时，B以 匀速直线运动，A的速度为
A与B发生第二次碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律
，
B以 匀速直线运动，A以初速度 ，加速度a匀加速直线运动，第三次碰撞前，有
显然，每次碰撞后，B均相对A以初速度 、加速度 做匀减速直线运动至下一次碰撞，经过时间均为
0.4s。故A与B发生第3次碰撞后的时刻为
解得
（3）从开始至第一次碰撞
从第一次碰撞至第二次碰撞
从第二次碰撞至第三次碰撞
从第三次碰撞至第四次碰撞从第 次碰撞至第n次碰撞
A从静止释放到第n次碰撞后运动的总位移
