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计算题提分练(3)
(限时：40分钟)
1.(15分)(2024·浙江1月选考·18)某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角θ=37°的直轨道AB，半径R=1 m
的圆弧轨道BCD，长度L=1.25 m、倾角为θ的直轨道DE，半径为R、圆心角为θ的圆弧管道EF组成，轨
道间平滑连接。在轨道末端F的右侧光滑水平面上紧靠着质量m=0.5 kg滑块b，其上表面与轨道末端F所
在的水平面平齐。质量m=0.5 kg的小物块a从轨道AB上高度为h处静止释放，经圆弧轨道BCD滑上轨道
DE，轨道DE由特殊材料制成，小物块a向上运动时动摩擦因数μ =0.25，向下运动时动摩擦因数μ =0.5，
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且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当小物块a在滑块b上滑动时动摩擦因数恒为μ ，小物块a运动到滑块
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右侧的竖直挡板能发生完全弹性碰撞。(其他轨道均光滑，小物块视为质点，不计空气阻力，重力加速度
g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)
(1)(9分)若h=0.8 m，求小物块
①第一次经过C点的向心加速度大小；
②在DE上经过的总路程；
③在DE上向上运动时间t 和向下运动时间t 之比。
上 下
(2)(6分)若h=1.6 m，滑块至少多长才能使小物块不脱离滑块。
2.(15分)(2024·黑吉辽·15)现代粒子加速器常用电磁场控制粒子团的运动及尺度。简化模型如图：Ⅰ、Ⅱ区
宽度均为L，存在垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度等大反向；Ⅲ、Ⅳ区为电场区，Ⅳ区电场足够宽，
各区边界均垂直于x轴，O为坐标原点。甲、乙为粒子团中的两个电荷量均为+q，质量均为m的粒子。如
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图，甲、乙平行于x轴向右运动，先后射入Ⅰ区时速度大小分别为 v 和v 。甲到P点时，乙刚好射入Ⅰ
2 0 0
区。乙经过Ⅰ区的速度偏转角为30°，甲到O点时，乙恰好到P点。已知Ⅲ区存在沿+x方向的匀强电场，
9mv 2
电场强度大小E = 0 。不计粒子重力及粒子间相互作用，忽略边界效应及变化的电场产生的磁场。
0
4πqL(1)(3分)求磁感应强度的大小B；
(2)(5分)求Ⅲ区宽度d；
(3)(7分)Ⅳ区x轴上的电场方向沿x轴，电场强度E随时间t、位置坐标x的变化关系为E=ωt-kx，其中常系
数ω>0，ω已知、k未知，取甲经过O点时t=0。已知甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动，设乙在Ⅳ区受到的电
场力大小为F，甲、乙间距为Δx，求乙追上甲前F与Δx间的关系式(不要求写出Δx的取值范围)。答案精析
1.(1)①16 m/s2 ②2 m ③1∶2
(2)0.2 m
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解析 (1)①对小物块a从A处由静止释放到第一次经过C的过程，根据机械能守恒定律有mgh= mv 2
2 C
v 2
第一次经过C点的向心加速度大小为a= C
R
联立解得a=16 m/s2。
②小物块a在DE上时，因为μ mgcos θ
