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计算题提分练(3)
［分值：30分］
(限时：40分钟)
1.(15分)(2024·浙江1月选考·18)某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角θ=37°的直轨道AB，半径R=1 m
的圆弧轨道BCD，长度L=1.25 m、倾角为θ的直轨道DE，半径为R、圆心角为θ的圆弧管道EF组成，轨
道间平滑连接。在轨道末端F的右侧光滑水平面上紧靠着质量m=0.5 kg滑块b，其上表面与轨道末端F所
在的水平面平齐。质量m=0.5 kg的小物块a从轨道AB上高度为h处静止释放，经圆弧轨道BCD滑上轨道
DE，轨道DE由特殊材料制成，小物块a向上运动时动摩擦因数μ =0.25，向下运动时动摩擦因数μ =0.5，
1 2
且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当小物块a在滑块b上滑动时动摩擦因数恒为μ ，小物块a运动到滑块
1
右侧的竖直挡板能发生完全弹性碰撞。(其他轨道均光滑，小物块视为质点，不计空气阻力，重力加速度
g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)
(1)(9分)若h=0.8 m，求小物块
①第一次经过C点的向心加速度大小；
②在DE上经过的总路程；
③在DE上向上运动时间t 和向下运动时间t 之比。
上 下
(2)(6分)若h=1.6 m，滑块至少多长才能使小物块不脱离滑块。
答案 (1)①16 m/s2 ②2 m ③1∶2 (2)0.2 m
1
解析 (1)①对小物块a从A处由静止释放到第一次经过C的过程，根据机械能守恒定律有mgh= mv 2
2 C
v 2
第一次经过C点的向心加速度大小为a= C
R
联立解得a=16 m/s2。
②小物块a在DE上时，因为μ mgcos θ0，ω已知、k未知，取甲经过O点时t=0。已知甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动，设乙在Ⅳ区受到的电
场力大小为F，甲、乙间距为Δx，求乙追上甲前F与Δx间的关系式(不要求写出Δx的取值范围)。
mv 3 qω
答案 (1) 0 (2) πL (3)F= ·Δx
2qL 2 3v
0
解析 (1)对乙粒子，如图所示由洛伦兹力提供向心力
v 2
qv B=m 0
0
R
1
L
由几何关系sin 30°=
R
1
mv
联立解得磁感应强度的大小为B= 0
2qL
30° 2πm 2πL
(2)由题意可知，根据对称性，乙在磁场中运动的时间为t =2× × =
1 360° qB 3v
0
对甲粒子，由对称性可知，甲粒子沿着直线从P点到O点，
3 1
由运动学公式d= v t + at 2
2 01 2 1
qE 9v 2
由牛顿第二定律a= 0= 0
m 4πL
3
联立可得Ⅲ区宽度为d= πL
2
(3)甲粒子经过O点时的速度为
3
v = v +at =3v
甲 2 0 1 0
因为甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动，
则E=0，
即ωt=kx=k×3v t
0
ω
可得k=
3v
0
设乙粒子经过Ⅲ区的时间为t ，乙粒子在Ⅳ区运动时间为t ，则t=t +t
2 0 0 2
F
对乙可得 =ω(t +t )-kx
q 0 2 2
3v F
整理可得x =3v (t +t )- 0
2 0 0 2 qω
对甲可得x =3v (t +t )
1 0 0 2
3v F
则Δx=x -x = 0
1 2 qω
化简可得乙追上甲前F与Δx间的关系式为qω
F= ·Δx。
3v
0
