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计算题提分练(1)
(限时：40分钟)
1.(12分)(2024·湖南省师范大学附属中学模拟)如图所示，固定在水平地面开口向上的圆柱形导热汽缸，用
质量m=1 kg的活塞密封一定质量的理想气体，活塞可以在汽缸内无摩擦移动。活塞用不可伸长的轻绳跨
过两个定滑轮与地面上质量M=3 kg的物块连接。初始时，活塞与缸底的距离h =40 cm，缸内气体温度
0
T =300 K，轻绳恰好处于伸直状态，且无拉力。已知大气压强p =0.99×105 Pa，活塞横截面积S=100 cm2，
1 0
忽略一切摩擦，重力加速度g=10 m/s2。现使缸内气体温度缓慢下降，则：
(1)(6分)当物块恰好对地面无压力时，求缸内气体的温度T ；
2
(2)(6分)当缸内气体温度降至T =261.9 K时，求物块上升高度Δh；已知整个过程缸内气体内能减小121.2
3
J，求其放出的热量Q。
2.(12分)(2024·黑吉辽·14)如图，高度h=0.8 m的水平桌面上放置两个相同物块A、B，质量m =m =0.1 kg。
A B
A、B间夹一压缩量Δx=0.1 m的轻弹簧，弹簧与A、B不拴接。同时由静止释放A、B，弹簧恢复原长时A
恰好从桌面左端沿水平方向飞出，水平射程x =0.4 m；B脱离弹簧后沿桌面滑行一段距离x =0.25 m后停止。
A B
A、B均视为质点，取重力加速度g=10 m/s2。求：
(1)(4分)脱离弹簧时A、B的速度大小v 和v ；
A B
(2)(4分)物块与桌面间的动摩擦因数μ；
(3)(4分)整个过程中，弹簧释放的弹性势能ΔE 。
p
3.(16分)(2024·新课标卷·26)一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子始终在同一水平面内运动，其速度可
用如图所示的直角坐标系内一个点P(v，v)表示，v、v 分别为粒子速度在水平面内两个坐标轴上的分量。
x y x y粒子出发时P位于图中a(0，v )点，粒子在水平方向的匀强电场作用下运动，P点沿线段ab移动到b(v ，
0 0
v )点；随后粒子离开电场，进入方向竖直、磁感应强度大小为B的匀强磁场，P点沿以O为圆心的圆弧移
0
动至c(-v ，v )点；然后粒子离开磁场返回电场，P点沿线段ca回到a点。已知任何相等的时间内P点沿图
0 0
中闭合曲线通过的曲线长度都相等，不计重力。求：
v
(1)(4分)粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期；
(2)(5分)电场强度的大小；
(3)(7分)P点沿图中闭合曲线移动1周回到a点时，粒子位移的大小。答案精析
1.(1)291 K (2)4 cm 160 J
解析 (1)初始时，对活塞p S+mg=p S，
0 1
解得p =1×105 Pa，
1
当物块恰好对地面无压力时，
对活塞有p S+mg=p S+Mg，
0 2
解得p =0.97×105 Pa，
2
p p
1 2
对气体，由等容变化可得 = ，
T T
1 2
解得T =291 K
2
V V
2 3
(2)从物块恰好离地到缸内气体降至261.9 K过程，对气体，由等压变化可得 =
T T
2 3
h S (h -Δh)S
0 0
即 =
T T
2 3
解得Δh=4 cm
整个降温压缩过程活塞对气体做功为W=p ΔV=p SΔh=38.8 J
2 2
根据热力学第一定律ΔU=W+Q
解得Q=-160 J
即放出热量160 J。
2.(1)1 m/s 1 m/s (2)0.2 (3)0.12 J
1
解析 (1)对A物块由平抛运动知识得h= gt2，x =v t
2 A A
代入数据解得，脱离弹簧时A的速度大小为v =1 m/s
A
对A、B物块整体由动量守恒定律m v =m v
A A B B
解得脱离弹簧时B的速度大小为
v =1 m/s
B
(2)对物块B由动能定理
1
-μm gx =0- m v 2
B B 2 B B
代入数据解得，物块与桌面间的动摩擦因数为μ=0.2
(3)由能量守恒定律
1 1
ΔE = m v 2+ m v 2+μm gΔx +μm gΔx
p 2 A A 2 B B A A B B
其中m =m ，Δx=Δx +Δx
A B A B解得整个过程中，弹簧释放的弹性势能
ΔE =0.12 J。
p
√2mv 2πm
3.(1) 0 (2)√2Bv
Bq Bq 0
(2-√2)mv
(3) 0
Bq
解析 (1)粒子在磁场中做圆周运动时的速度为
v=√v 2+v 2=√2v
0 0 0
v2
根据洛伦兹力提供向心力Bqv=m
r
得粒子做圆周运动的半径为
√2mv
r= 0
Bq
2πr 2πm
周期为T= =
v Bq
(2)根据题意，已知任何相等的时间内P点沿图中闭合曲线通过的曲线长度都相等，由于曲线表示的为速度
相应的曲线，
Δv
根据a= 可知任意点的加速度大小相等，
Δt
Bq·√2v Eq
故可得 0=
m m
解得E=√2Bv
0
(3)根据题意分析可知P点从b点到c点，粒子在磁场中转过的角度为270°，绕一圈的过程中两次在电场中
运动，根据对称性可知粒子的运动轨迹如图所示，P点从a到b过程中粒子做类平抛运动，得
Eq
t=v
m 0
故可得该段时间内沿y方向位移为L=v t
0
根据几何知识可得
y =√2r
bc
由粒子在两次电场中运动的对称性可知移动一周时粒子位移的大小为y =y -2L
aa' bc(2-√2)mv
联立解得y = 0。
aa'
Bq
