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考点巩固卷 22 抛物线方程及其性质(十大考点)
考点01抛物线的定义与方程
1．若动点 到点 的距离和它到直线 的距离相等，则动点 的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．双曲线
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用抛物线定义确定轨迹作答.
【详解】动点 到点 的距离和它到直线 的距离相等，而点 不在直线 ，
所以动点 的轨迹是以点 到直线 的垂线段中点为顶点，开口向右的抛物线.
故选：B
2．（多选）若抛物线 上一点 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点 的坐标可以为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】先求得焦点坐标，然后根据抛物线的定义求得 点的坐标.
【详解】设抛物线 的焦点为 ，则 ，
依题意可知 ，所以 ，
则 .
所以 点坐标为： 、 .
故选：BD
3．已知 是抛物线 ： 的焦点，点 在 上且 ，则 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 结合抛物线的定义可求出 的值，进而可求 的坐标.
【详解】因为 是抛物线 ： 的焦点，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，由抛物线的定义可知 ，解得 ，所以 .
故选：A
4．若抛物线 上一点 到拋物线焦点的距离为 ，则点 到原点的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】设 ，由抛物线定义列式求得 ，即可依次求 ，即点 到原点的距离.
【详解】由题得焦点坐标为 ，则准线方程为
设 ，根据抛物线定义有有 ，∴ ，
∴点 到原点的距离为 .
故选：D.
5．若点 与点 的距离比它到直线 的距离小2，求点 的轨迹方程．
【答案】
【分析】直接由题意列出方程，注意到要用分类讨论思想化简即可.
【详解】不妨设点 ，因为点 与点 的距离比它到直线 的距离小2，
所以点 的轨迹方程为 ，接下来我们分以下三种情形来化简该方程：
情形一：当 时，方程变为 ，两边同时平方得 ，
化简并整理得点 的轨迹方程为 ；如下图所示：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】此时点 对应的轨迹为顶点在原点，分别以点 、直线 为焦点和准线的一条抛物线.
情形二：当 时，方程变为 ，此时方程左边非负且右边恒负，所以此时方
程无解，
即此时点 的轨迹不存在，就无轨迹方程可言了；
情形三：当 时，方程变为 ，两边同时平方得 ，
化简并整理得 ，注意到 且 ，此时产生了矛盾，
因此此时点 的轨迹不存在，也无轨迹方程可言.
综上所述：满足题意的点 的轨迹方程为 ，（其中 ）.
6．填空：
（1）设抛物线 上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为 ；
（2）设抛物线 上一点M到焦点的距离为1，则点M的坐标为 .
【答案】 6 或
【分析】（1）求出点P到抛物线准线 的距离，利用抛物线的定义即可求得答案；
（2）利用抛物线焦半径公式求得点M的纵坐标，结合抛物线方程即可求得点M坐标.
【详解】（1）抛物线 的焦点为 ,准线方程为 ，
点P到y轴的距离是4，故点P到准线 的距离是 ，
结合抛物线定义可知点P到该抛物线焦点的距离为6，
故答案为：6
（2）抛物线 即 ，
其焦点为 ，准线方程为 ，
由于抛物线 上一点M到焦点的距离为1，设 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，将 代入 中，
得 ，
则M点坐标为 或 ，
故答案为： 或
考点02抛物线方程与位置特征
7．（多选）关于抛物线 ，下列说法正确的是（ ）
A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为 轴
【答案】AD
【分析】根据抛物线标准方程依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A， ，开口向左，故A正确；
对选项B， ，焦点为 ，故B错误；
对选项C， ，准线方程为 ，故C错误；
对选项D， ，对称轴为 轴，故D正确.
故选：AD
8．（多选）对于抛物线上 ，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为
【答案】AC
【分析】写出标准形式即 ，即可得到相关结论
【详解】由抛物线 ，即 ，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为 ，焦点到准线的距离为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4，准线方程为 ．
故选：AC
9．抛物线 的准线方程是 ，则实数 .
【答案】 /
【分析】将抛物线方程化为标准方程，根据其准线方程即可求得实数 .
【详解】抛物线 化为标准方程： ，
其准线方程是 ，而
所以 ，即 ，
故答案为：
10．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画图：
(1)准线方程为 ；
(2)焦点在x轴上且其到准线的距离为6；
(3)对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2；
(4)对称轴是y轴，经过点 ．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)答案见解析；
(4)答案见解析.
【分析】（1）根据抛物线的准线方程为 ，得到 且焦点在y轴上求解；
（2）根据焦点在x轴上且其到准线的距离为6，得到 求解；
（3）根据对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2，得到 求解；
（4）根据对称轴是y轴，设抛物线方程为 ，将点 代入求解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）解：因为抛物线的准线方程为 ，
所以 ，p=3，
所以抛物线的方程是 ；其图象如下：
（2）因为焦点在x轴上且其到准线的距离为6，
所以 ，
所以抛物线的方程是 或 ；其图象如下：
（3）因为对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2
所以 ，p=4，
所以抛物线的方程是 或 ；其图象如下：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（4）因为对称轴是y轴，
设抛物线方程为 ，
因为抛物线经过点 ，
所以 ，解得 ，
所以抛物线的方程是 ，其图象如下：
考点03距离的最值问题
11．抛物线 的顶点为原点，焦点为 ，则点 到抛物线 上动点 的距离最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求得抛物线 的方程，设出 点的坐标，根据两点间的距离公式以及二次函数的性质求得正确答
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】案.
【详解】抛物线 的焦点为 ，所以抛物线 的方程为 ，
且 ，所以抛物线 的方程为 ，
设 ，则 ，
所以当 时， 取得最小值为 .
故选：B
12．若点 在焦点为 的抛物线 上，且 ，点 为直线 上的动点，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】先求得 点的坐标，求得 关于直线 的对称点 ，根据三点共线求得 的最小值.
【详解】抛物线 的焦点 ，准线 ，
，则 ，不妨设 ，
关于直线 的对称点为 ，
由于 ，所以当 三点共线时 最小，
所以 的最小值为 .
故选：A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】13．（ 2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线 的焦点为F，点 ，若点A为抛物线任意一点，
当 取最小值时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设点A在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义把问题转化为求 取得最小值，数形
结合求解即可.
【详解】设点A在准线上的射影为D，如图，
则根据抛物线的定义可知 ，
求 的最小值，即求 的最小值，
显然当D，B，A三点共线时 最小，
此时 点的横坐标为1，代入抛物线方程可知 .
故选：B.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】14．设 是抛物线 上的一个动点， 为抛物线的焦点，点 ，则 的最小值为
.
【答案】5
【分析】过 作准线 的垂线垂足为 ，交抛物线于 ，根据抛物线的定义可得，当 、 、 三点
共线时， 小值．
【详解】抛物线 ，所以焦点为 ，准线方程为 ，
当 时 ，所以 ，因为 ，所以点 在抛物线内部，
如图，
过 作准线 的垂线垂足为 ，交抛物线于 ，
由抛物线的定义，可知 ，
故 ．
即当 、 、 三点共线时，距离之和最小值为 ．
故答案为： ．
15．已知点P在抛物线 上，且 ，求 的最小值．
【答案】
【分析】利用点在抛物线上及两点间的距离公式，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】设点P的坐标为 ，则 ，而且
，
又因为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 时， ．
因此所求最小值为 .
16．如图，已知点P是抛物线 上的动点，点A的坐标为 ，求点P到点A的距离与到x轴的距
离之和的最小值.
【答案】12
【分析】求出抛物线的焦点坐标和准线方程，利用抛物线定义将点P到点A的距离与到x轴的距离之和转
化为点P到点A的距离与到焦点的距离之和减去1，继而利用几何意义求得答案.
【详解】由抛物线方程 可知其焦点为 ，准线为 ，
点P是抛物线 上的动点，则点P到x轴的距离为P到准线的距离减去1，
由抛物线定义知P到准线的距离等于P到焦点的距离，
设P到x轴的距离为d，则 ，
当且仅当 三点共线时等号成立，而 ，
故 ，即点P到点A的距离与到x轴的距离之和的最小值为12.
考点04实际问题中的抛物线
17．为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉．如图所示，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点B离地面4m，点
B到管柱OA所在直线的距离为2m，且水流落在地面上以O为圆心，6m为半径的圆内，则管柱OA的高度
为（ ）
A．2m B．3m C．2.5m D．1.5m
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为 ，求出点 的坐标，代入抛物线方程，即
可求得 ，再将点 代入抛物线方程中，求出 ，即可求得 的高度．
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意知，水流的轨迹为一开口向下的抛物线，设抛物线的方程为 ，
因为点 ，所以 ，解得 ，所以抛物线方程为 ，
点 在抛物线上，所以 ，解得 ，
所以 ，所以管柱 的高度为 ．
故选：B．
18．如图是一座拋物线形拱桥，当桥洞内水面宽 时，拱顶距离水面 ，当水面上升 后，桥洞内水
面宽为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】C
【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为 轴，过原点且垂直于 轴的直线为 轴建立平
面直角坐标系，设抛物线的方程为 ，分析可知点 在该抛物线上，求出 的值，可得
出抛物线的方程，将 代入抛物线方程，即可得出结果.
【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为 轴，过原点且垂直于 轴的直线为 轴建立如
下图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的方程为 ，由题意可知点 在抛物线上，
所以， ，可得 ，所以，抛物线的方程为 ，
当水面上升 后，即当 时， ，可得 ，
因此，当水面上升 后，桥洞内水面宽为 .
故选：C.
19．上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了
宁洛桥，增强了两地之间的友谊.如今人行道两侧各加宽6米，建成了“彩虹桥”（图1），非常美丽.桥上
一抛物线形的拱桥（图2）跨度 ，拱高 ，在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，则支
柱 的长度为 .（精确到0.01 ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】4.59
【分析】先建立直角坐标系，把抛物线方程写出来，再结合 的长度即可把 的长度求出来.
【详解】以 为原点， 方向分别为 轴正向，建立如下图所示的直角坐标系：
由题意 ， ，所以 ， ，
又抛物线开口向下，所以设 ，将点 的坐标代入 ，
解得 ，所以抛物线方程为 ，
又由题意在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，由图可知 有14个空格，
因此每一个空格的长度为 ，所以 ，所以设点 ，
又因为点 在抛物线上，所以将其坐标代入抛物线方程得 .
故答案为：4.59
20．有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车
辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆
通过隧道时的限制高度为 m.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】3.8
【分析】由题意，建立平面直角坐标系，明确点的坐标，求出抛物线方程，可得答案.
【详解】由题意，如图建系：
则 ， ， ， ，
如图可设，抛物线方程为 ，将 代入，可得 ，求得 ，
故抛物线方程为 ，
将 代入抛物线方程，可得 ，
.
故答案为：3.8.
21．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，
如图所示.现要求水流最高点B离地面5m，点B到管柱OA所在直线的距离为4m，且水流落在地面上以O
为圆心，以9m为半径的圆上，求管柱OA的高度.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【分析】建立直角坐标系，利用待定系数法和代入法进行求解即可.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线的方程为 ，
把点 代入方程中，得 ，
所以抛物线方程为
把 代入方程中，得 ，
所以 ，
所以管柱OA的高度为 .
22．如图，某大桥中央桥孔的跨度为20m，拱顶呈抛物线形，拱顶距水面10m，桥墩高出水面4m.现有一
货轮欲通过此孔，该货轮水下宽度不超过18m.目前吃水线上部分中央船体高16m，宽16m.若不考虑水下深
度，该货轮在此状况下能否通过桥孔？试说明理由.
【答案】不能，理由见解析.
【分析】建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法和代入法进行求解判断即可.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设抛物线的方程为 ，
由题意可知： ，把它代入方程中，得 ，
所以方程为 ，而货轮宽16m，
把 代入 中，得 ，
点 离水面高度为 ，而吃水线上部分中央船体高16m，
所以不能通过桥孔.
考点05抛物线中的三角形和四边形问题
23．已知点 为抛物线 的焦点，过点 的直线交抛物线 于 两点， 为坐标原点，若
，则 的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，则 ，过 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为 ，过 作
于 ，求得 的倾斜角为 ，得到直线 方程为 ，联立方程组，结合根与系数的关系，求得
，结合面积公式，即可求解.
【详解】设 ，则 ，如图所示，
不妨设 的倾斜角为锐角，过 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， ，过 作 于 ，则 ，
所以 ，所以 的倾斜角为 ，
由抛物线 的焦点坐标为 ，
所以直线 方程为 ，即 ，
联立方程组 ，整理得 ，
设 ，可得 ，
可得 ，
所以 .
故选：C.
24．设F为抛物线 的焦点，点M在C上，点N在准线l上，且 平行于x轴，准线l与x轴的
交点为E，若 ，则梯形 的面积为（ ）
A．12 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】由已知及抛物线定义证 是正三角形，再求梯形 的面积即可.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】由题知 ，抛物线的焦点F为 ，准线l为 ，如图所示.
由题知 ，因为 ，所以 ，
则 .
因为 ，所以 ，
由抛物线的定义知 ，所以 是正三角形，
所以 ，则 .
故选：D
25．过 的直线l与抛物线E： 交于 ， 两点，且与E的准线交于点C，点F是
E的焦点，若 的面积是 的面积的3倍，则
【答案】 /
【分析】由题意设直线 的方程为 ，代入抛物线方程化简利用根与系数的关系可得 ，再
由 的面积是 的面积的3倍，可得 到准线的距离是 到准线有距离的3倍，则
，从而可求出 ，进而可求得答案.
【详解】由 ，得 ，
由题意可知直线 的斜率存在，所以设直线 的方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，得 ，
易得 ，所以 ，
因为 的面积是 的面积的3倍，
所以 ，
所以 到准线的距离是 到准线的距离的3倍，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
化简得 ，解得 或 （舍去），
所以 ，
所以 ，
故答案为：
26．倾斜角为 的直线 过抛物线 的焦点，且与 交于A， 两点
(1)求抛物线的准线方程；
(2)求 的面积（ 为坐标原点）.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的方程，即可得出答案；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由已知求出直线的方程，代入抛物线得出 ，解法一：求解得出 的值，然后根据弦
长公式求出 ，然后根据点到直线的距离，结合面积公式即可得出答案；解法二：根据抛物线的定
义求出 ，然后根据点到直线的距离，结合面积公式即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得， ，焦点在 轴上，
所以，抛物线的准线方程为 .
（2）∵抛物线的方程为 ，∴抛物线的焦点F坐标为 .
又∵倾斜角为 的直线 ，所以斜率为 ，
∴直线AB的方程为： .
代入抛物线方程消去y并化简得 .
解法一：解得 ，
所以 ．
又点 到直线 的距离为 ，
所以 .
解法二： ，设 ，则 ，
过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】．
点 到直线 的距离为 ，
所以 .
27．直线 交抛物线 于 、 两点，线段 中点的横坐标为 ，抛物线的焦点到
轴的距离为 .
(1)求抛物线方程；
(2)设抛物线与 轴交于点 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的焦点到 轴的距离求出 的值，即可得出抛物线的方程；
（2）分析可知 ，将直线 与抛物线的方程联立，根据 求出 的取值范围，根据线段 中点的
横坐标为 求出 的值，列出韦达定理，利用弦长公式可求得 的值，求出点 到直线 的距离，利用
三角形的面积公式可求得 的面积.
【详解】（1）解：抛物线 的焦点为 ，
因为抛物线的焦点到 轴的距离为 ，则 ，可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以，抛物线的方程为 .
（2）解：若 ，则直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意，则 ，
设点 、 ，联立 ，可得 ，
，解得 ，
因为线段 中点的横坐标为 ，则 ，整理可得 ，
又因为 ，解得 ，
易知抛物线 交 轴于点 ，则有 ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
由弦长公式可得 ，
原点 到直线 的距离为 ，
所以， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】28．已知抛物线 .其焦点为F.
(1)求以 为中点的抛物线的弦所在的直线方程；
(2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线 的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求
四边形 面积的最小值．
【答案】(1)2x－y－1＝0
(2)32
【分析】（1）将两交点的坐标设为 ，代入抛物线方程，根据斜率公式结合抛物线方程
求出 ，再由直线的点斜式方程求解；
（2）四边形 的面积为两条垂直的对角线乘积的一半，则问题转化为求解两条焦点弦的长，最后使
用基本不等式求最值.
【详解】（1）由题意知，焦点弦所在的直线斜率存在.设所求直线交抛物线于 ,
则 ,
又 ,
所求直线方程为 ,
即 .
（2）
依题意知,直线 的斜率存在且不为0,设直线 的方程为 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】与抛物线方程联立,得 ，
消去 ,整理得 ,设其两根为 ,
则 .
由抛物线的定义可知， ,
同理可得 ,
四边形 的面积 .
当且仅当 时等号成立,此时所求四边形 面积的最小值为32.
考点06抛物线的简单几何性质
29．定义：既是中心对称，也是轴对称的曲线称为“尚美曲线”，下是方程所表示的曲线中不是“尚美曲
线”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用圆、椭圆、双曲线、抛物线的性质，根据条件，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】选项A， 表示圆心在原点，半径为2的圆，由圆的性质知， 的对称中心为
，对称轴为 轴， 轴，即 既是中心对称，也是轴对称，所以选项A错误；
选项B，由椭圆的性质知， 的对称中心为 ，对称轴为 轴， 轴，即 既是中心对
称，也是轴对称，所以选项B错误；
选项C，由双曲线的性质知， 的对称中心为 ，对称轴为 轴， 轴，即 既是中心
对称，也是轴对称，所以选项C错误；
选项D，由 ，得到 ，由抛物线性质知， 关于 轴对称，无对称中心，所以选项D正
确.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：D.
30． 为抛物线 的焦点，直线 与抛物线交于 两点，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在抛物线 中可借助直角三角形的正切值的求解 .再由对称性求 .
【详解】，
抛物线 中 时可得 ，且
则 ，取 （如图）
，
,又对称性可知 .
故选；C.
31．对抛物线 ，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
【答案】A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】将抛物线方程改写为标准方程形式 ，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标.
【详解】由题知，该抛物线的标准方程为 ，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为 .
故选：A.
32．在同一坐标系中，方程 与 的曲线大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由 ，判断椭圆焦点在 轴上， 化成标准方程，即可判断焦点位置和开口方
向，得出结论.
【详解】由 ，方程 表示焦点在 轴上的椭圆，
得 表示焦点在 轴上开口向左的抛物线.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：D.
【点睛】本题考查椭圆方程、抛物线方程与图形间的关系，化标准方程是解题的关键，属于基础题.
考点07直线与抛物线的位置关系
33．已知抛物线 的焦点为 ，点 是抛物线准线上一动点，作线段 的垂直平分线 ，则
直线 与抛物线公共点个数的可能值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 坐标，然后表示出直线 的方程，联立方程判断交点个数即可；
【详解】
抛物线 ，则抛物线的准线方程为：
设 坐标 ，则 的中点坐标为 ，
当 时，直线 的方程为； ，直线 与抛物线公共点个数为1；
当 时， ，直线 ；
联立方程组 解得： ，
直线 与抛物线公共点个数为1；
综上直线 与抛物线公共点个数为1，
故选：B.
34．已知直线 ，抛物线 ，l与 有一个公共点的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条
D．1条、2条或3条
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】C
【分析】将直线方程和抛物线方程联立，使得方程仅有一个实数根，求出对应的 的取值个数即可.
【详解】联立直线 和抛物线 方程可得 ，
整理可得 ，
直线l与 有一个公共点等价于方程只有一个实数根，
当 时，方程为 仅有一解，符合题意；
当 时，一元二次方程 仅有一解，
即 ，解得 ，
所以满足题意得直线有三条，即 ， 和 .
故选：C
35．（多选）已知直线l过定点 ，则与抛物线 有且只有一个公共点的直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】分斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时分二次系数是否为0讨论可得.
【详解】（1）当过点 的直线l的斜率存在时，设其方程为 ，
由方程组 消去y得 ，
①若 ，则 ，解得 ，此时直线与抛物线只有一个交点，直线l的方程为 ，A正确；
②若 ，令 ，解得 ，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，直线l的方
程为 ，即 ，B正确.
（2）当过点 的直线l的斜率不存在时，方程为 ，与抛物线相切，只有一个交点，C正确．
综上，直线l的方程为 ， 或 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：ABC.
36．当k为何值时，直线 与抛物线 有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？
【答案】答案见解析
【分析】联立方程组消元，分二次系数是否为0讨论，结合判别式即可求解.
【详解】由 ，得 .
当 时，方程化为一次方程 ，
该方程只有一解 ，原方程组只有一组解，
∴直线 与抛物线只有一个公共点；
当 时，二次方程的判别式 ，
当 时，得 ， ，
∴当 或 时，直线与抛物线有两个公共点；
由 得 ，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点；
由 得 或 ，此时直线与抛物线无公共点．
综上，当 或 时，直线与抛物线仅有一个公共点；
当 或 时，直线与抛物线有两个公共点；
当 或 时，直线与抛物线无公共点．
37．在平面直角坐标系 中，点 到点 的距离比它到 轴的距离多1，记点 的轨迹为 .
(1)求轨迹为 的方程
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)设斜率为 的直线 过定点 ，求直线 与轨迹 恰好有一个公共点时 的相应取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，设出点 的坐标，列出等式，进而求得点 的轨迹 的方程；
（2）设出直线 的方程，将直线 的方程与轨迹 的方程联立，结合判别式和根的范围，即可求解.
【详解】（1）解：设 是轨迹 上的任意一点，
因为点 到点 的距离比它到 的距离多 ，可得 ，
即 ，整理得 ，
所以点 的轨迹 的方程为 .
（2）解：在点轨迹 中，记 ，
因为斜率 的直线 过定点 ，不妨设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
当 时， ，此时 ，可得直线 与轨迹 恰好有一个公共点 ；
当 时，可得 ，不妨设直线 与 轴的交点为 ，
令 ，解得 ，
若直线 与轨迹 恰好有一个公共点，则满足 ，
解得 或 ，
综上，当 时，直线 与轨迹 恰好有一个公共点.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】38．已知抛物线的方程为 ，直线l过定点 ，斜率为k.当k为何值时，直线l与抛物线有一个
公共点，有两个公共点，没有公共点？
【答案】答案见解析
【分析】设直线 的方程为 ，联立方程组求得 ，结合 ， 和 ，
三种情况，求得实数 的值（范围），即可求解.
【详解】由题意，可设直线 的方程为 ，即 ，
联立方程组 ，整理得 ，
则 ，
当 时，即 ，解得 或 ，此时方程只有一个实数解，
即直线与抛物线只有一个公共点；
当 时，即 ，解得 或 ，此时方程两个不等的实数解，
即直线与抛物线两个公共点；
当 时，即 ，解得 ，此时方程没有实数解，
即直线与抛物线没有公共点，
综上可得：当 或 ，直线与抛物线只有一个公共点；
当 或 ，直线与抛物线两个公共点；
当 ，直线与抛物线没有公共点.
考点08抛物线的焦点弦问题
39．直线 经过抛物线 的焦点 ，且与抛物线交于 ， 两点．若 ，则 （ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
【分析】首先根据焦半径公式并结合条件，得到点 的坐标，即可求得弦长 .
【详解】抛物线的焦点坐标为 ，准线方程为 ，
设 ， ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 ，得 ，①
因为 ，所以 ，即 ，②
由方程①②可得 ， ，
所以 .
故选：C
40．已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线 交抛物线于 两点，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，作出抛物线与直线AB的图像，利用抛物线的定义将曲线上的点到焦点的距离转化为
曲线上的点到准线的距离，借助几何图形可判断直线AB的倾斜角，从而可得答案．
【详解】如图，当点 在第一象限时，过点 分别向准线作垂线，垂足为 ，作 ，垂足为
，
则 轴，设 ，则 ， ，
由抛物线的定义得 ，则有 ，
在 中， 等于直线 的倾斜角，其正切值即为 值，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，∴ ，
于是直线l的倾斜角为 ，斜率 ．
当点 在第四象限时，根据抛物线的对称性可得斜率为 .
故选：D．
41．设抛物线 的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距
离为3，则弦AB的长为 ．
【答案】10
【分析】设 ，由中点到 轴距离结合焦点弦长公式求解．
【详解】设 ，则 ，
由抛物线方程可知 ，
由线段 的中点E到y轴的距离为3得， ，
∴
故答案为： .
42．已知以坐标原点 为圆心的圆与抛物线 ： 相交于不同的两点 ，与抛物线 的准
线相交于不同的两点 ，且 .求抛物线 的方程；
【答案】
【分析】利用圆的弦长公式和条件得出直线 的方程为 ，再利用抛物线中过焦点的弦长公式即可求
出结果.
【详解】依题意，易知圆心 到直线 （即抛物线 的准线 ）的距离为 ，
不妨设圆心 到直线 的距离为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， ，又因为 ，所以 ，
则由圆与抛物线的对称性可知， 轴，故直线 的方程为 ，即过抛物线 的焦点 ，
所以 ，故 ，
故抛物线 的方程为 .
43．设F为抛物线 的焦点，过F且倾斜角为 的直线交C于A，B两点，求 及 的面
积.
【答案】12，
【分析】求出抛物线焦点坐标，结合直线倾斜角即可求出直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关
系，利用抛物线过焦点弦长公式即可求得 ，继而求出原点到直线AB的距离，根据三角形面积公式即
可求得 的面积.
【详解】由题意知抛物线 的焦点坐标为 ，
故过F且倾斜角为 的直线方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立 ，得 ， ，
设 ，则 ，
故 ；
直线AB的方程为 ，即 ，
则原点O到 的距离为 ，
故 的面积为 .
44．过抛物线 的焦点，斜率为2的直线 与抛物线相交于 、 两点，求线段 的长．
【答案】5
【分析】根据抛物线的定义以及直线被抛物线截得的焦点弦长公式求解.
【详解】由题设可知，抛物线的焦点坐标为点 ，
直线 的方程为 ①．
将方程①代入抛物线方程 ，并化简得 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设两个交点 、 的坐标分别为 ,
则有 ．
过 分别作准线的垂线，垂足为 ，
由抛物线定义可知，
、 分别等于点 、 到准线 的距离 、 ，
如图,又因为 ， ，
所以 ．
考点09抛物线的中点弦问题
45．已知直线 与抛物线 相交于 两点，若线段 的中点坐标为 ，则直线 的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用点差法可求得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果.
【详解】设 ，
由 得： ，
线段 的中点为 ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，即直线 的斜率为 ，
直线 的方程为： ，即 .
故选：A.
46．抛物线 ： 与直线 交于 ， 两点，且 的中点为 ，则 的斜率为 .
【答案】
【分析】设 ， 两点坐标分别为 ， ，由 ，可得 ，进而结合中点
坐标公式即两点间的斜率公式求解即可.
【详解】已知 的中点为 ，设 ， 两点坐标分别为 ， ，
则 ，可得 ，
即 ，
即
又 ，
所以 .
故答案为： .
47．已知抛物线 与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦 的中点M的横坐标为 ，则弦
的长
【答案】
【分析】根据题意设 ，联立抛物线及韦达定理，结合弦中点横坐标求参数 ，最后应用弦长公
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】式求 即可.
【详解】由题意抛物线焦点 ，且直线 斜率不为0，设 ，
联立抛物线得 ， ，故 ， ，
所以 ，即 ，
则 .
故答案为：
48．已知抛物线 的顶点为坐标原点，准线为 ，直线 与抛物线 交于 两点，若线段 的中
点为 ，则直线 的方程为 ．
【答案】
【分析】由题意可求得抛物线的方程，设 ，由“点差法”求出直线 的斜率，再由点斜
式方程即可得出答案.
【详解】因为抛物线 的顶点为坐标原点，准线为 ，
所以易得抛物线的方程为 ，
设 ，
因为线段 的中点为 ，
故 ，
则 ，由 ，
两式相减得 ，所以 ，
故直线 的方程为 ，即 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为： .
49．直线 ： 与抛物线 ： 交于 ， 两点，且
(1)求抛物线 的方程；
(2)若直线 与 交于 ， 两点，且弦 的中点的纵坐标为 ，求 的斜率．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）判断出直线 过抛物线的焦点，联立直线 的方程和抛物线方程，化简写出根与系数关系，
根据 列方程，求得 ，进而求得抛物线 的方程.
（2）利用点差法求得 的斜率.
【详解】（1）因为M的焦点为 ，
且直线l： 经过点 ，所以 经过 的焦点．
联立 ，得 ．
设 ， ，则 ，
则 ，
解得 ．所以M的方程为 ．
（2）设 ， ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】两式相减，得 ．
因为 ，
所以l＇的斜率为 .
50．已知直线 与抛物线 相交于 、 两点.
(1)若直线 过点 ，且倾斜角为 ，求 的值；
(2)若直线 过点 ，且弦 恰被 平分，求 所在直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求直线 的方程，联立抛物线的方程，用弦长公式可得 .
（2）可用点差法解决中点弦问题.
【详解】（1）因直线 的倾斜角为 ，所以直线 的斜率 ，
又因直线 过点 ，
所以直线 的方程为： ，即 ，
联立 得 ，
设 ， ，
所以 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以
（2）因 、 在抛物线 上，
所以 ， ，
两式相减得： ，
得 ，
故直线 的斜率为4，
所以直线 的方程为： ，即
考点10直线与抛物线的综合问题
51．（多选）已知斜率为 的直线交抛物线 于 、 两点，下列说法正确的
是（ ）
A． 为定值
B．线段 的中点在一条定直线上
C． 为定值（ 、 分别为直线 、 的斜率）
D． 为定值（ 为抛物线的焦点）
【答案】BC
【分析】分析可知， ，设直线 的方程为 ，将直线 的方程与抛物线的方程联立，利用
韦达定理可判断A选项；求出线段 中点的纵坐标，可判断B选项；利用斜率公式结合韦达定理可判断
C选项；利用抛物线的焦半径公式可判断D选项.
【详解】若 ，则直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意，则 ，
设直线 的方程为 ，联立 可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
对于A选项， 不一定是定值，A错；
对于B选项，设线段 的中点为 ，则 ，
为定值，故线段 的中点在定直线 上，B对；
对于C选项， 为定值，C对；
对于D选项， 不一定为定值，D错.
故选：BC.
52．设O为坐标原点，点M，N在抛物线 上，且 .
(1)证明：直线 过定点；
(2)设C在点M，N处的切线相交于点P，求 的取值范围.
【答案】(1)证明见详解；
(2)
【分析】（1）设直线方程与抛物线联立，利用韦达定理结合平面向量数量积计算即可；
（2）利用导数得出过M、N的切线方程，求出切线的交点P坐标，结合弦长公式得出比值，利用函数研究
计算其范围即可.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）由题意可设直线 的方程为： ， ，
联立抛物线方程 ，
所以 ，
又 ，
化简得 ，
解之得 ，即直线 为： ，显然过定点 ；
（2）由抛物线 ，
则点 的切线方程分别为 ，
易知 ，联立切线方程可得 ，
结合（1）可知 ，∴ ，
故 ， ，
由弦长公式及（1）可得 ，
所以 ，
易知 ，
即 的取值范围为 .
53．已知F是抛物线C： 的焦点， 是抛物线上一点，且 .
(1)求抛物线C的方程；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)直线l与抛物线C交于A，B两点，若 （O为坐标原点），则直线l否会过某个定点？若是，
求出该定点坐标.
【答案】(1) ；
(2)恒过定点 .
【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线的定义求出 值作答.
（2）设出直线 的方程，与 的方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示计算作答.
【详解】（1）由 知，抛物线的准线方程为 ，而 是该抛物线的焦点，
又 ，因此 ，解得 ，
所以抛物线C的方程为 .
（2）显然直线 不垂直于y轴，设直线l： ， ， ，
由 消去x并整理得 ， ，即 ，
于是 ， ， ，
由 ，得 ，则有 ，
即 ，因此 ，
则 ，解得 ，满足 ，直线 过定点 ，
所以直线 恒过定点 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，
借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.
54．如图，抛物线 在点 （ ）处的切线 交 轴于点 ，过点 作直线 （ 的倾斜角与
的倾斜角互补）交抛物线于 ， 两点，求证：
(1) 的斜率为 ；
(2) .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）设 ： ，联立直线与抛物线，消去 ，根据 即可得证；
（2）首先求出 点坐标，从而得到直线 的方程，设 ， ，联立直线与抛物线方程，消元、
列出韦达定理，再由弦长公式表示出 ， ，再代入韦达定理计算可得.
【详解】（1）设 ： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，消去 整理得 ，
则 ，即 ，
故 ，即 的斜率为 ；
（2）由（1）可得直线 ： ，令 ，解得 ，则 ，
因为 的倾斜角与 的倾斜角互补，
所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，设 ， ，
由 ，消去 整理得 ，
则 ，所以 ， ，
则 ， ，
则
，
即 ，
又 ，
故 .
55．设抛物线 ： ，直线 与 交于 ， 两点，且 .
(1)求 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)若在 轴上存在定点 ，使得 ，求定点 的坐标.
【答案】(1)
(2) 或 .
【分析】（1）设 ， ，直线与抛物线方程联立利用弦长公式可得答案；
（2）假设 轴上存在定点 ，直线与抛物线方程联立，由 的坐标运算可得答案.
【详解】（1）设 ， ，由 可得，
，所以 ， ，所以
，
即 ，因为 ，解得： ；
（2）假设 轴上存在定点 使得 ，
由 可得， ，
所以 ， ，
由题知 ，
即 ，
化简得： ，解得 ，
则存在定点 或 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】56．（ 2023·山西吕梁·统考二模）已知抛物线 ： 过点 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2) ， 是抛物线 上的两个动点，直线 的斜率与直线 的斜率之和为4，证明：直线 恒过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将 代入抛物线方程求解即可；
（2）设 ： ，再联立抛物线方程，设 ， ，再根据直线 的斜率与直线
的斜率之和为4，结合韦达定理求解即可.
【详解】（1） 坐标代入抛物线方程得 ，解得 ，
∴抛物线方程为 ．
（2）证明：显然直线 斜率不为0，故可设 ： ，将 的方程与 联立得
，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，
，同理： ，
由题意： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，
∴ ，即 ，
代入直线得 ，
故直线 恒过定点 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
