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考点巩固卷 24 分布列及三大分布(五大考点)
考点01：分布列均值和方差的性质
离散型随机变量的均值与方差
1.均值
若离散型随机变量 的分布列为
称 为随机变量 的均值或数学期望，它反映了
离散型随机变量取值的平均水平．
2.均值的性质
C
（1） （ 为常数）．
（2）若 ，其中 为常数，则 也是随机变量，且 ．
（3） ．
（4）如果 相互独立，则 ．
3.方差若离散型随机变量 的分布列为
则称 为随机变量 的方差，并称其算术平方根 为随机变量
的标准差．
4.方差的性质
（1）若 ，其中 为常数，则 也是随机变量，且 ．
（2）方差公式的变形： ．
1．某城市采用摇号买车的方式，有20万人摇号，每个月摇上的人退出摇号，没有摇上的
人继续进入下月摇号，每个月都有人补充进摇号队伍，每个季度第一个月摇上的概率为 ，
第二个月为 ，第三个月为 ，则平均每个人摇上需要的时间为（ ）个月.
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】表示每个人摇上需要的时间及其对应概率后，借助期望公式与错位相减法计算即
可得.
【详解】设 表示摇上需要的时间，则 可能取 、 、 、 、 、 ，
则 ， ，
， ，
，
， ，
故
试卷第2页，共3页，
则
，
故
即 ，
当 时， ，故平均每个人摇上需要的时间为9个月.
故选：C.
2．有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子里有1个白球，乙袋子里有5个白球和5个黑球，
现从乙袋子里随机取出 个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出一个
球，记取到的白球的个数为 ，则当 变大时（ ）
A． 变小 B． 先变小再变大
C． 变大 D． 先变大再变小
【答案】A
【分析】运用超几何分布与两点分布，求解离散随机变量的期望，然后判断选项.【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出 个球，其中白球的个数
服从超几何分布，则 ．故从甲盒子里随机取一球，相当于从含有 个白
球的 个球中取一球，取到白球的个数为 ，
易知随机变量 服从两点分布，故 ，
所以 ，随着 的增加， 减小.
故选：A
3．克拉丽丝有一枚不对称的硬币.每次掷出后正面向上的概率为 ，她掷了 次
硬币，最终有10次正面向上.但她没有留意自己一共掷了多少次硬币.设随机变量 表示每
掷 次硬币中正面向上的次数，现以使 最大的 值估计 的取值并计算 .
(若有多个 使 最大，则取其中的最小 值).下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D． 与10的大小无法确定
【答案】B
【分析】由题可知 服从二项分布 ， ，结合
，计算得 ，又 和 ，
故得 .
【详解】由题， 服从二项分布 ，则 ，
试卷第4页，共3页最大即为满足 的最小 ，
即为 ，
又 ，故 为整数时， 不为整数时 为大于 的最小整数，
而 ，当 为整数时显然成立，
当 不为整数时大于 的最小整数为 的整数部分，其小于 ，
故 ，
答选：B.
4．下列说法中，正确命题的个数为（ ）
① 已知随机变量 服从二项分布 ，若 ，则 .
②对具有线性相关关系的变量 ， ，其线性回归方程为 ，若样本点的中心为
，则实数 的值是 .
③以模型 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 ，求得线性回归方程
为 ，则 、 的值分别是 和 .
④若样本数据 的方差为 ，则数据: 的方差为16
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】根据二项分布的期望公式及期望的性质判断①；根据回归直线方程必过样本中心
点，判断②；将两边取对数，即可判断③；根据方差的性质判断④.
【详解】对于①：因为 服从二项分布 ，所以 ，所以 ，解得 ，故①正确；
对于②：因为线性回归直线必过样本中心点，所以 ，可得 ，故②正确；
对于③：由 两边取对数可得 ，
令 ，求得线性回归方程为 ，所以 ， ，则 ， ，
故③正确；
对于④：若样本数据 的方差为 ，则数据 的方差为
，故④错误；
故正确的为①②③共 个.
故选：D
5．下列命题中，不正确的是（ ）
A．若随机变量 ，则
B．若随机变量 ，且 ，则
C．若x>0， ，则 的最小值为
D．两个随机变量的相关系数 越大，两个变量的线性相关性越强
【答案】D
【分析】对于A，由二项分布方差公式计算即可；对于B，由正态分布的对称性计算即可；
对于C，由基本不等式计算即可；对于D，根据相关系数的意义即可判断.
【详解】对于A，随机变量 ，由二项分布方差公式得
，故A正确；
对于B，随机变量 ，由正态分布的对称性得
，故B正确；
试卷第6页，共3页对于C，由 ，则 ，
所以
当且仅当 ，则 或 取等号，故C正确；
对于D，线性相关系数 的范围在 到 之间，有正有负，相关有正相关和负相关，
相关系数的绝对值的大小越接近于 ，两个变量的线性相关性越强；
反之，线性相关性越弱，故D错误.
故选：D.
6．下列命题错误的是（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
B．设 ，若 ， ，则
C．线性回归直线 一定经过样本点的中心
D．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地
随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从二项分布，
且
【答案】D
【分析】根据相关系数的表示意义、二项分布的有关性质、线性回归方程和超几何分布的
定义依次判断选项即可.
【详解】A：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故A正确；
B：由 ，得 ，解得 ，故B正确；
C：线性回归直线 一定经过样本点的中心 ，故C正确；
D：由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，
所以由超几何分布的定义知 服从超几何分布，得 ，故D错误；故选：D
7．若随机变量 的可能取值为 ，且 （ ），则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据概率之和等于1得到方程，求出 ，计算出期望，进而计算出方差.
【详解】由题意得 ，解得 ，
故 ，
.
故选：A
8．设 ， ， 是不全相等的实数，随机变量 取值为 ， ， 的概率都是 ，随机变量
取值为 ， ， 的概率也都是 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】首先求出 ，设 ，从而得到 ， 、 ，再利用作差
法判断 与 的大小关系，即可得解.
【详解】因为随机变量 取值为 ， ， 的概率都是 ，
∴ ，设 ，
则
试卷第8页，共3页；
随机变量 取值为 ， ， 的概率都是 ，
∴ ，
；
由 ， ， 是不全相等的实数，
，
，∴ ；
综上， ， .
故选：B.
9．某人在 次射击中击中目标的次数为 ， ，其中 ， ，击中奇
数次为事件 ，则（ ）
A．若 ， ，则 取最大值时
B．当 时， 取得最小值
C．当 时， 随着 的增大而增大
D．当 时， 随着 的增大而减小【答案】C
【分析】对于A，根据 直接写出 ，然后根据 取最大值列
式计算即可判断；对于B，根据 ，直接写出 即可判断；对于CD，由题
意把 表示出来，然后利用单调性分析即可.
【详解】对于A，在 次射击中击中目标的次数 ，
当 时对应的概率 ，
因为 取最大值，所以 ，
即 ，
即 ，解得 ，
因为 且 ，所以 ，即 时概率 最大，故A不正确；
对于B， ，当 时， 取得最大值，故B不正
确；
对于C、D，
，
，
，
试卷第10页，共3页当 时， ， 为正项且单调递增的数列，
所以 随着 的增大而增大，故C正确；
当 时， ， 为正负交替的摆动数列，
所以 不会随着 的增大而减小，故D不正确；
故选：C.
10．下列说法不正确的是（ ）
A．一组数据1，4，14，6，13，10，17，19的25％分位数为5
B．一组数据 ，3，2，5，7的中位数为3，则 的取值范围是
C．若随机变量 ，则方差
D．若随机变量 ，且 ，则
【答案】C
【分析】对于A，先把数据从小到大排列，利用百分位定义计算即可；对于B，根据中位
数的定义讨论即可；对于C，根据二项分布的方差公式计算即可；对于D，根据正态分布
的对称性求解.
【详解】对于A，该组数据共8个，且 ，所以25％分位数为从小到大排列后第
2个数和第3个数的平均数，即为 ，故A正确；
对于B，若 ，则这组数据由小到大排列依次为2，3，5， ，7或2，3，5，7， ，
中位数为5，不合题意；
若 ，则这组数据由小到大排列依次为2，3， ，5，7，中位数为 ，不合题意；
若 ，则这组数据由小到大排列依次为2， ，3，5，7或 ，2，3，5，7，中位数为
3，故实数 的取值范围是 ，故B正确；
对于C，若随机变量 ，则 ，所以，故C错误；
对于D，若随机变量 ，且 ，则
，故D正确．
故选：C．
考点02：超几何分布
超几何分布：一般地，在含有 件次品的 件产品中，任取 件，其中恰有 件次
品 数 ， 则 事 件 发 生 的 概 率 为 , 其 中
，且 ．称分布列
0 1 …
…
为超几何分布列．如果随机变量 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 服从超
几何分布.
注意：若有 件产品，其中 件为次品，无放回地任意抽取 件，则其中恰有的次品件
数 是服出超几何分布.
11．一箱苹果共有12个苹果，其中有 个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．
恰有2个烂果的概率为 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由超几何分布的概率公式列方程即可求解.
试卷第12页，共3页【详解】依题意可得 ，即 ，整理得 ，
解得 或9，因为 ，所以 ．
故选：B.
12．2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，
女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先将男生人数设为随机变量 ，再求得概率，代入期望公式，即可求解.
【详解】设男生人数为 ，且 ，
， ， ,
则 .
故选：C
13．某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取
2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活
动，一个月（30天）下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券
有（ ）
A．1张 B．2张 C．3张 D．4张
【答案】B
【分析】根据题意，计算盒子中奖券数量对应的概率，结合期望分析更接近11的可能最大.
【详解】设中奖的概率为 ，30天中奖的天数为 ，则
若盒子中的有奖券有1张，
则中奖的概率为 ，
，若盒子中的有奖券有2张，
则中奖的概率为 ，
，
若盒子中的有奖券有3张，
则中奖的概率为 ，
，
若盒子中的有奖券有4张，
则中奖的概率为 ，
，
根据题意盒子中的有奖券有2张，更有可能30天中奖11天，
故选：B.
14．袋中有6个大小相同的黑球，编号为 ，还有4个同样大小的白球，编号为
，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（ ）
①取出的最大号码 服从超几何分布；
②取出的黑球个数 服从超几何分布；
③取出2个白球的概率为 ；
④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
A．①② B．②④ C．③④ D．①③④
【答案】B
【分析】根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取可判断①②；利用超几
何分布求概率的方式即可判断③④
【详解】对于①，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取
试卷第14页，共3页出的最大号码 不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①
错误；
对于②，取出的黑球个数 符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，
可以用超几何分布的数学模型计算概率，故②正确；
对于③，取出2个白球的概率为 ，故③错误；
对于④，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，
总得分最大的概率为 ，故④正确．
故选：B
15．下列说法正确的为（ ）
A．某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从
该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本．已知该校高一、高二、高三年级学
生数之比为5:4:3，则应从高三年级中抽取14名学生
B．10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件
次品的概率为
C．若随机变量 服从正态分布 ， ，则
D．设某校男生体重 （单位：kg）与身高 （单位：cm）具有线性相关关系，根据一
组样本数据 ，用最小二乘法建立的回归方程为 ，若该
校某男生的身高为170cm，则可断定其体重为62.5kg
【答案】C
【分析】对A，结合分层抽样按比例分配原则可判断错误；对B，结合超几何分布公式可
求解对应概率；对C，结合正态分布对称性可判断；对D，线性回归方程只能做出预测.
【详解】对于A．应从高三年级中抽取 名学生，A错误；
对于B．所求概率 ，B错误；对于C， ，所以 ，C正确；
对于D，用回归方程计算得到是估计值，故不能断定其体重为62.5kg，D错误．
故选：C
16．在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了4个小球，其中3个是
白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球.方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；
方法二：在10箱中各任意摸出两个小球.将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记
为 和 ，则（ ）
A． B．
C． D．以上三种情况都有可能
【答案】C
【分析】分别计算 和 ，再比较大小.
【详解】方法一：每箱中的黑球被选中的概率为 ，所以至少摸出一个黑球的概率
．
方法二：每箱中的黑球被选中的概率为 ，所以至少摸出一个黑球的概率
．
，则 ．
故选：C.
17．2021年1月18日，国家统计局公布我国2020年GDP总量首次突破100万亿元，这是
试卷第16页，共3页我国经济里程碑式的新飞跃.尤其第三产业增长幅度较大，现抽取6个企业，调查其第三产
业产值增长量分别为0.4，0.6，1.2，1.2，1.8，2.0(单位：十万元)，若增长量超过1.5(十万
元)可评为优秀企业，现从6个企业中随机抽取两个，则恰好有一个优秀企业的概率为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题知，增长量超过1.5的有2个，则从6个企业中随机抽取两个，则恰好有一个
优秀企业的个数为 ，从而求得概率.
【详解】由题知，增长量超过1.5的有2个，则从6个企业中随机抽取两个，则恰好有一个
优秀企业的概率为
故选：D
18．《易 系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，
其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如
图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这 个数中任取 个数，则这 个数中至少有 个阳数
的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本题首先可以根据题意确定 个数中的阳数和阴数，然后求出任取 个数中有
个阳数以及任取 个数中有 个阳数的概率，最后两者相加，即可得出结果.
【详解】由题意可知， 个数中， 、 、 、 、 是阳数， 、 、 、 、 是阴数，若任取 个数中有 个阳数，则 ，
若任取 个数中有 个阳数，则 ，
故这 个数中至少有 个阳数的概率 ，
故选：C.
19．纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展
进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富．小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣．收集
了如下9枚纹样徽章，其中4枚凤纹徽章，5枚龙纹徽章．小楠从9枚徽章中任取3枚，则
其中至少有一枚凤纹徽章的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题首先可以确定所有可能事件的数量为 ，然后确定满足“一枚凤纹徽章也没
有”的所有可能事件的数目为 ，最后根据“至少有一枚凤纹徽章”的对立事件为“一枚
凤纹徽章也没有”即可得出结果.
【详解】从9枚纹样徽章中选择3枚，所有可能事件的数量为 ，
试卷第18页，共3页满足“一枚凤纹徽章也没有”的所有可能事件的数目为 ，
因为“至少有一枚凤纹徽章”的对立事件为“一枚凤纹徽章也没有”，
所以 ，
故选：B.
20．一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展
的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量X，男生的人数为变量Y，则
等于
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】求出 ,即得解.
【详解】由题得 ,
所以 .
故选：C.
考点03：二项分布及二项分布的概率最大问题
1．n重伯努利试验的概念
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行 n次所
组成的随机试验称为n重伯努利试验．
2．n重伯努利试验具有如下共同特征
(1)同一个伯努利试验重复做n次；
(2)各次试验的结果相互独立．3．二项分布（若有 件产品，其中 件是次品，有放回地任意抽取 件，则其中恰有
的次品件数 是服从二项分布的）
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0
