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考点巩固卷 24 分布列及三大分布(五大考点)
考点01：分布列均值和方差的性质
离散型随机变量的均值与方差
1.均值
若离散型随机变量 的分布列为
称 为随机变量 的均值或数学期望，它反映了
离散型随机变量取值的平均水平．
2.均值的性质
C
（1） （ 为常数）．
（2）若 ，其中 为常数，则 也是随机变量，且 ．
（3） ．
（4）如果 相互独立，则 ．
3.方差若离散型随机变量 的分布列为
则称 为随机变量 的方差，并称其算术平方根 为随机变量
的标准差．
4.方差的性质
（1）若 ，其中 为常数，则 也是随机变量，且 ．
（2）方差公式的变形： ．
1．某城市采用摇号买车的方式，有20万人摇号，每个月摇上的人退出摇号，没有摇上的
人继续进入下月摇号，每个月都有人补充进摇号队伍，每个季度第一个月摇上的概率为 ，
第二个月为 ，第三个月为 ，则平均每个人摇上需要的时间为（ ）个月.
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】表示每个人摇上需要的时间及其对应概率后，借助期望公式与错位相减法计算即
可得.
【详解】设 表示摇上需要的时间，则 可能取 、 、 、 、 、 ，
则 ， ，
， ，
，
， ，
故
试卷第2页，共3页，
则
，
故
即 ，
当 时， ，故平均每个人摇上需要的时间为9个月.
故选：C.
2．有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子里有1个白球，乙袋子里有5个白球和5个黑球，
现从乙袋子里随机取出 个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出一个
球，记取到的白球的个数为 ，则当 变大时（ ）
A． 变小 B． 先变小再变大
C． 变大 D． 先变大再变小
【答案】A
【分析】运用超几何分布与两点分布，求解离散随机变量的期望，然后判断选项.【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出 个球，其中白球的个数
服从超几何分布，则 ．故从甲盒子里随机取一球，相当于从含有 个白
球的 个球中取一球，取到白球的个数为 ，
易知随机变量 服从两点分布，故 ，
所以 ，随着 的增加， 减小.
故选：A
3．克拉丽丝有一枚不对称的硬币.每次掷出后正面向上的概率为 ，她掷了 次
硬币，最终有10次正面向上.但她没有留意自己一共掷了多少次硬币.设随机变量 表示每
掷 次硬币中正面向上的次数，现以使 最大的 值估计 的取值并计算 .
(若有多个 使 最大，则取其中的最小 值).下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D． 与10的大小无法确定
【答案】B
【分析】由题可知 服从二项分布 ， ，结合
，计算得 ，又 和 ，
故得 .
【详解】由题， 服从二项分布 ，则 ，
试卷第4页，共3页最大即为满足 的最小 ，
即为 ，
又 ，故 为整数时， 不为整数时 为大于 的最小整数，
而 ，当 为整数时显然成立，
当 不为整数时大于 的最小整数为 的整数部分，其小于 ，
故 ，
答选：B.
4．下列说法中，正确命题的个数为（ ）
① 已知随机变量 服从二项分布 ，若 ，则 .
②对具有线性相关关系的变量 ， ，其线性回归方程为 ，若样本点的中心为
，则实数 的值是 .
③以模型 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 ，求得线性回归方程
为 ，则 、 的值分别是 和 .
④若样本数据 的方差为 ，则数据: 的方差为16
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】根据二项分布的期望公式及期望的性质判断①；根据回归直线方程必过样本中心
点，判断②；将两边取对数，即可判断③；根据方差的性质判断④.
【详解】对于①：因为 服从二项分布 ，所以 ，所以 ，解得 ，故①正确；
对于②：因为线性回归直线必过样本中心点，所以 ，可得 ，故②正确；
对于③：由 两边取对数可得 ，
令 ，求得线性回归方程为 ，所以 ， ，则 ， ，
故③正确；
对于④：若样本数据 的方差为 ，则数据 的方差为
，故④错误；
故正确的为①②③共 个.
故选：D
5．下列命题中，不正确的是（ ）
A．若随机变量 ，则
B．若随机变量 ，且 ，则
C．若x>0， ，则 的最小值为
D．两个随机变量的相关系数 越大，两个变量的线性相关性越强
【答案】D
【分析】对于A，由二项分布方差公式计算即可；对于B，由正态分布的对称性计算即可；
对于C，由基本不等式计算即可；对于D，根据相关系数的意义即可判断.
【详解】对于A，随机变量 ，由二项分布方差公式得
，故A正确；
对于B，随机变量 ，由正态分布的对称性得
，故B正确；
试卷第6页，共3页对于C，由 ，则 ，
所以
当且仅当 ，则 或 取等号，故C正确；
对于D，线性相关系数 的范围在 到 之间，有正有负，相关有正相关和负相关，
相关系数的绝对值的大小越接近于 ，两个变量的线性相关性越强；
反之，线性相关性越弱，故D错误.
故选：D.
6．下列命题错误的是（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
B．设 ，若 ， ，则
C．线性回归直线 一定经过样本点的中心
D．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地
随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从二项分布，
且
【答案】D
【分析】根据相关系数的表示意义、二项分布的有关性质、线性回归方程和超几何分布的
定义依次判断选项即可.
【详解】A：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故A正确；
B：由 ，得 ，解得 ，故B正确；
C：线性回归直线 一定经过样本点的中心 ，故C正确；
D：由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，
所以由超几何分布的定义知 服从超几何分布，得 ，故D错误；故选：D
7．若随机变量 的可能取值为 ，且 （ ），则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据概率之和等于1得到方程，求出 ，计算出期望，进而计算出方差.
【详解】由题意得 ，解得 ，
故 ，
.
故选：A
8．设 ， ， 是不全相等的实数，随机变量 取值为 ， ， 的概率都是 ，随机变量
取值为 ， ， 的概率也都是 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】首先求出 ，设 ，从而得到 ， 、 ，再利用作差
法判断 与 的大小关系，即可得解.
【详解】因为随机变量 取值为 ， ， 的概率都是 ，
∴ ，设 ，
则
试卷第8页，共3页；
随机变量 取值为 ， ， 的概率都是 ，
∴ ，
；
由 ， ， 是不全相等的实数，
，
，∴ ；
综上， ， .
故选：B.
9．某人在 次射击中击中目标的次数为 ， ，其中 ， ，击中奇
数次为事件 ，则（ ）
A．若 ， ，则 取最大值时
B．当 时， 取得最小值
C．当 时， 随着 的增大而增大
D．当 时， 随着 的增大而减小【答案】C
【分析】对于A，根据 直接写出 ，然后根据 取最大值列
式计算即可判断；对于B，根据 ，直接写出 即可判断；对于CD，由题
意把 表示出来，然后利用单调性分析即可.
【详解】对于A，在 次射击中击中目标的次数 ，
当 时对应的概率 ，
因为 取最大值，所以 ，
即 ，
即 ，解得 ，
因为 且 ，所以 ，即 时概率 最大，故A不正确；
对于B， ，当 时， 取得最大值，故B不正
确；
对于C、D，
，
，
，
试卷第10页，共3页当 时， ， 为正项且单调递增的数列，
所以 随着 的增大而增大，故C正确；
当 时， ， 为正负交替的摆动数列，
所以 不会随着 的增大而减小，故D不正确；
故选：C.
10．下列说法不正确的是（ ）
A．一组数据1，4，14，6，13，10，17，19的25％分位数为5
B．一组数据 ，3，2，5，7的中位数为3，则 的取值范围是
C．若随机变量 ，则方差
D．若随机变量 ，且 ，则
【答案】C
【分析】对于A，先把数据从小到大排列，利用百分位定义计算即可；对于B，根据中位
数的定义讨论即可；对于C，根据二项分布的方差公式计算即可；对于D，根据正态分布
的对称性求解.
【详解】对于A，该组数据共8个，且 ，所以25％分位数为从小到大排列后第
2个数和第3个数的平均数，即为 ，故A正确；
对于B，若 ，则这组数据由小到大排列依次为2，3，5， ，7或2，3，5，7， ，
中位数为5，不合题意；
若 ，则这组数据由小到大排列依次为2，3， ，5，7，中位数为 ，不合题意；
若 ，则这组数据由小到大排列依次为2， ，3，5，7或 ，2，3，5，7，中位数为
3，故实数 的取值范围是 ，故B正确；
对于C，若随机变量 ，则 ，所以，故C错误；
对于D，若随机变量 ，且 ，则
，故D正确．
故选：C．
考点02：超几何分布
超几何分布：一般地，在含有 件次品的 件产品中，任取 件，其中恰有 件次
品 数 ， 则 事 件 发 生 的 概 率 为 , 其 中
，且 ．称分布列
0 1 …
…
为超几何分布列．如果随机变量 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 服从超
几何分布.
注意：若有 件产品，其中 件为次品，无放回地任意抽取 件，则其中恰有的次品件
数 是服出超几何分布.
11．一箱苹果共有12个苹果，其中有 个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．
恰有2个烂果的概率为 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由超几何分布的概率公式列方程即可求解.
试卷第12页，共3页【详解】依题意可得 ，即 ，整理得 ，
解得 或9，因为 ，所以 ．
故选：B.
12．2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，
女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先将男生人数设为随机变量 ，再求得概率，代入期望公式，即可求解.
【详解】设男生人数为 ，且 ，
， ， ,
则 .
故选：C
13．某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取
2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活
动，一个月（30天）下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券
有（ ）
A．1张 B．2张 C．3张 D．4张
【答案】B
【分析】根据题意，计算盒子中奖券数量对应的概率，结合期望分析更接近11的可能最大.
【详解】设中奖的概率为 ，30天中奖的天数为 ，则
若盒子中的有奖券有1张，
则中奖的概率为 ，
，若盒子中的有奖券有2张，
则中奖的概率为 ，
，
若盒子中的有奖券有3张，
则中奖的概率为 ，
，
若盒子中的有奖券有4张，
则中奖的概率为 ，
，
根据题意盒子中的有奖券有2张，更有可能30天中奖11天，
故选：B.
14．袋中有6个大小相同的黑球，编号为 ，还有4个同样大小的白球，编号为
，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（ ）
①取出的最大号码 服从超几何分布；
②取出的黑球个数 服从超几何分布；
③取出2个白球的概率为 ；
④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
A．①② B．②④ C．③④ D．①③④
【答案】B
【分析】根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取可判断①②；利用超几
何分布求概率的方式即可判断③④
【详解】对于①，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取
试卷第14页，共3页出的最大号码 不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①
错误；
对于②，取出的黑球个数 符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，
可以用超几何分布的数学模型计算概率，故②正确；
对于③，取出2个白球的概率为 ，故③错误；
对于④，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，
总得分最大的概率为 ，故④正确．
故选：B
15．下列说法正确的为（ ）
A．某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从
该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本．已知该校高一、高二、高三年级学
生数之比为5:4:3，则应从高三年级中抽取14名学生
B．10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件
次品的概率为
C．若随机变量 服从正态分布 ， ，则
D．设某校男生体重 （单位：kg）与身高 （单位：cm）具有线性相关关系，根据一
组样本数据 ，用最小二乘法建立的回归方程为 ，若该
校某男生的身高为170cm，则可断定其体重为62.5kg
【答案】C
【分析】对A，结合分层抽样按比例分配原则可判断错误；对B，结合超几何分布公式可
求解对应概率；对C，结合正态分布对称性可判断；对D，线性回归方程只能做出预测.
【详解】对于A．应从高三年级中抽取 名学生，A错误；
对于B．所求概率 ，B错误；对于C， ，所以 ，C正确；
对于D，用回归方程计算得到是估计值，故不能断定其体重为62.5kg，D错误．
故选：C
16．在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了4个小球，其中3个是
白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球.方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；
方法二：在10箱中各任意摸出两个小球.将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记
为 和 ，则（ ）
A． B．
C． D．以上三种情况都有可能
【答案】C
【分析】分别计算 和 ，再比较大小.
【详解】方法一：每箱中的黑球被选中的概率为 ，所以至少摸出一个黑球的概率
．
方法二：每箱中的黑球被选中的概率为 ，所以至少摸出一个黑球的概率
．
，则 ．
故选：C.
17．2021年1月18日，国家统计局公布我国2020年GDP总量首次突破100万亿元，这是
试卷第16页，共3页我国经济里程碑式的新飞跃.尤其第三产业增长幅度较大，现抽取6个企业，调查其第三产
业产值增长量分别为0.4，0.6，1.2，1.2，1.8，2.0(单位：十万元)，若增长量超过1.5(十万
元)可评为优秀企业，现从6个企业中随机抽取两个，则恰好有一个优秀企业的概率为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题知，增长量超过1.5的有2个，则从6个企业中随机抽取两个，则恰好有一个
优秀企业的个数为 ，从而求得概率.
【详解】由题知，增长量超过1.5的有2个，则从6个企业中随机抽取两个，则恰好有一个
优秀企业的概率为
故选：D
18．《易 系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，
其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如
图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这 个数中任取 个数，则这 个数中至少有 个阳数
的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本题首先可以根据题意确定 个数中的阳数和阴数，然后求出任取 个数中有
个阳数以及任取 个数中有 个阳数的概率，最后两者相加，即可得出结果.
【详解】由题意可知， 个数中， 、 、 、 、 是阳数， 、 、 、 、 是阴数，若任取 个数中有 个阳数，则 ，
若任取 个数中有 个阳数，则 ，
故这 个数中至少有 个阳数的概率 ，
故选：C.
19．纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展
进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富．小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣．收集
了如下9枚纹样徽章，其中4枚凤纹徽章，5枚龙纹徽章．小楠从9枚徽章中任取3枚，则
其中至少有一枚凤纹徽章的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题首先可以确定所有可能事件的数量为 ，然后确定满足“一枚凤纹徽章也没
有”的所有可能事件的数目为 ，最后根据“至少有一枚凤纹徽章”的对立事件为“一枚
凤纹徽章也没有”即可得出结果.
【详解】从9枚纹样徽章中选择3枚，所有可能事件的数量为 ，
试卷第18页，共3页满足“一枚凤纹徽章也没有”的所有可能事件的数目为 ，
因为“至少有一枚凤纹徽章”的对立事件为“一枚凤纹徽章也没有”，
所以 ，
故选：B.
20．一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展
的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量X，男生的人数为变量Y，则
等于
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】求出 ,即得解.
【详解】由题得 ,
所以 .
故选：C.
考点03：二项分布及二项分布的概率最大问题
1．n重伯努利试验的概念
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行 n次所
组成的随机试验称为n重伯努利试验．
2．n重伯努利试验具有如下共同特征
(1)同一个伯努利试验重复做n次；
(2)各次试验的结果相互独立．3．二项分布（若有 件产品，其中 件是次品，有放回地任意抽取 件，则其中恰有
的次品件数 是服从二项分布的）
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示
事件A发生的次数，则X的分布列为：
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，
p)．
4．一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
21．在概率论中，全概率公式指的是：设 为样本空间，若事件 两两互斥，
，则对任意的事件 ，有
．若甲盒中有2个白球、2个红
球、1个黑球，乙盒中有 个白球 、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个
球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色
相同的概率大于等于 ，则 的最大值为 ．
【答案】6
【分析】设相应事件，结合全概率公式列式求解即可.
【详解】设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为 ， ， ，
从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为 ，
则 ，
可得
试卷第20页，共3页，
解得 ，则 的最大值为6．
故答案为：6.
22．近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景
线．某外卖小哥每天来往于4个外卖店（外卖店的编号分别为 ），约定：每天他首
先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的任何
一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单
的店之外的3个外卖店取单，设事件 第 次取单恰好是从1号店取单 是事件
发生的概率，显然 ，则
【答案】
【分析】依题意利用全概率公式可得 ，再构造等比数列求解
即可．
【详解】由题意可知，由全概率公式可得，
，
所以 ，
又因为 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ．
故答案为： ．
23．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态
空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性
质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口
袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（ ）次这样的操作，记口袋甲中黑
球的个数为 ，恰有1个黑球的概率为 ，则 的值是 ； 的数学期望
是 .
【答案】
【分析】利用全概率公式求出 ；利用期望的计算公式求出 有关的递推式，然后构
造等比数列求通项即可.
【详解】考虑到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的，由全概率公式可得
；
记 取0，1，2，3的概率分别为 ， ， ， ，
推导 的分布列：
， ， ，
则
，
则 ，
故
给合 ，可知 .
试卷第22页，共3页故答案为： ; .
24．甲、乙、丙三个人去做相互传球训练，训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传
球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．如果第
一次由甲将球传出，设 次传球后球在甲手中的概率为 ，则 ； ．
【答案】 /0.25
【分析】设出事件 ，由题意得到 ，由互斥事件的概率加法公式和
全概率公式得到概率 的递推式 ，接着构造等比数列 ,求出其通项公
式即得.
【详解】设 “经过 次传球后，球在甲的手中”，则事件 的概率即 ，
则
依题意， ，则
，
即 ， (*)
因 代入解得， ， ；
由（*）可得， ，且 ，
故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
于是， ，则得， .
故答案为： ； .25．如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱
形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，
小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，后落入底部的格子中．
记格子从左到右的编号分别为 ，用 表示小球最后落入格子的号码，若
，则 .
【答案】5
【分析】分析得到 ～ ，有 ，由二项式系数的性质求最大值.
【详解】小球在下落的过程中，共10次等可能的向左或向右落下，则小球落入底部的格子
号码服从二项分布，
且落入格子的号码即向右次数，即 ～ ，
所以 ，
由二项式系数的对称性可知当 时， 最大，即 最大，所以 ．
故答案为：5.
26．为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最
后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否
互不影响．已知甲回答正确的概率为 ，甲、丙两人都回答正确的概率是 ，乙、丙两人
都回答正确的概率是 ．若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少
试卷第24页，共3页有1人回答正确的概率为 ；若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答
题机会的概率分别为 ， ， ，则这个问题回答正确的概率为 ．
【答案】 /
【分析】根据题意，设甲回答正确为事件 ，乙回答正确为事件 ，丙回答正确为事件 ，
先由相互独立事件的概率公式求出 、 的值，结合对立事件的性质求出第一空答案，
利用全概率公式计算第二空的答案．
【详解】根据题意，设甲回答正确为事件 ，乙回答正确为事件 ，丙回答正确为事件 ，
则 ， ， ，
所以 ， ，
若规定三名同学都回答这个问题，
则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率
，
若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为 ， ， ，
则这个问题回答正确的概率 ．
故答案为： ； ．
27．已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，
但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不
出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是 ；得0分的概率是 .
【答案】 0.24/ 0.36/
【分析】设相应事件，由题意可得 ，根据对立事件结合条件概率公
式分析求解.
【详解】设“第一问做出”为事件A，“第二问做出”为事件B，由题意可得： ，
则 ，
所以 ，即此题得满分的概率是0.24；
所以 ，即此题得满分的概率是0.36.
故答案为：0.24；0.36.
28．甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙
箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知至少抽到一个红球的条件下，
则2个球都是红球的概率为 ；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于
4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽
到的是红球，则它是来自乙箱的概率是 .
1
【答案】
3
【分析】利用条件概率公式计算摸出的2个球是红球的概率；利用全概率公式求红球的概
率.
【详解】记事件 表示“至少抽到一个红球”，事件 表示“2个球都是红球”，
, ,
所以 .
设事件 表示“从乙箱中抽球”，则事件 表示“从甲箱中抽球”，
事件 表示“抽到红球”，则
,
所以 ,
试卷第26页，共3页所以 .
故答案为：① ，② .
29．某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲､乙两人为一组参加比赛，每
次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，
无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为 ，乙每次投篮的命中率均为 .由抽
签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲､乙的概率各为 .第2次投篮的人是甲的概
率为 ；已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为
.
【答案】
【分析】设相应事件，结合题意分析相应事件的概率，结合全概率公式求 ；结合条
件概率求 .
【详解】设“第 次是甲投篮”为事件 ，“投篮命中”为事件B，
由题意可知： ， ，
则 ，
所以第2次投篮的人是甲的概率为
；
且在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为
.故答案为： ； .
30．学习小组为了研究手机对学生学习的影响，对本学校学生手机使用情况统计分析有以
下结果：若学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7，若学生前一天
玩手机，接下来一天也玩手机的概率为0.8. 已知一个学生第一天没玩手机，根据这个统计
结果计算，那么他第二天玩手机的概率为 ，第三天不玩手机的概率为
.
【答案】 0.3 0.55
【分析】根据题意由对立事件概率公式得第二天玩手机的概率，再由全概率公式得第三天
不玩手机概率即可.
【详解】由题意，学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7，
所以一个学生第一天没玩手机，那么他第二天玩手机的概率为 ，
由全概率公式知第三天不玩手机的概率为 .
故答案为： ；
考点04：正态分布常考题型
【规律方法】
1.求正态曲线的两个方法
(1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为．
(2)待定系数法：求出μ，σ便可．
2.正态分布下2类常见的概率计算
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直
线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.
(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联
系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．
3.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略
(1)充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1．
(2)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．
(3)注意概率值的求解转化：
①P(X<a)＝1－P(X≥a)；
②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)；
③若b<μ，则P(X<b)＝．
试卷第28页，共3页特别提醒：正态曲线，并非都关于y轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y轴对称．
31．若随机变量 ，且 ，则
．
【答案】0.1/
【分析】利用正态分布的对称性得到答案.
【详解】因为 ，且 ，则 ，
所以 ．
故答案为：0.1
32．正态分布 在区间 和 上取值的概率为 ， ，则二者的大小关系为
．
【答案】相等.
【分析】根据正态分布的对称性求解可得.
【详解】由正态分布的对称性可知， ，
所以 ，
所以 ，即 .
故答案为：相等.
33．某生产线正常生产下生产的产品 的一项质量指标 近似服从正态分布 ，若
，则实数 的值为 .
【答案】3
【分析】根据正态分布的对称性可得方程，求出 .
【详解】 近似服从正态分布 ， ，
故 ，解得 .故答案为：3
34．李明记录了自己50次坐公交车所花的时间为 （单位：分钟），经数据分析发现
服从正态分布，平均时间为36分钟，方差为36，则 .
【答案】
【分析】根据正态分布的对称性求解即可.
【详解】由题意可知： ，
所以
.
故答案为：
35．某次数学练习中，学生成绩X服从正态分布 ,若 ，则从
参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于125的概率是
．
【答案】
【分析】根据题意，结合正态分布曲线的对称性，求得 ，设选中的学生的
成绩高于125分的人数为 ，结论重复试验的概率计算公式，即可求解.
【详解】由题意，学生成绩X服从正态分布 ，若 ，
则 ，
所以 ，
从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，设选中的学生的成绩高于125分的人数为 ，
试卷第30页，共3页可得变量 ，
所以至少有2名学生的成绩高于125分的概率为 .
故答案为： .
36．随机变量 的概率分布密度函数 ，其图象如图所示，设
，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】0.35/
【分析】根据正态分布的对称性即可求解.
【详解】由题意可知 ，则 ，
故图中阴影部分的面积为 ．
故答案为：0.35.
37．某市统计高中生身体素质状况，规定身体素质指标值在 内就认为身体素质合
格，在[60，84]内就认为身体素质良好，在 内就认为身体素质优秀，现从全市随机
抽取100名高中生的身体素质指标值 ，经计算
．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布
，则估计该市高中生身体素质良好的概率为 ．（用百分数作答，精确到）
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
．
【答案】
【分析】利用正态分布均值和方差公式得出 的值，再由特定区间的概率即可求解..
【详解】因为100个数据 的平均值 ，
方差
所以 的估计值为 的估计值为 .
设该市高中生的身体素质指标值为 ，由 ，
得 .
故答案为： ．
38．已知某种零件的尺寸（单位：mm）在 内的为合格品．某企业生产的该种零
件的尺寸X服从正态分布 ，且 ，则估计该企业生产的2000个零
件中合格品的个数为 ．
【答案】1600
【分析】解法一：根据题意利用正态分布的对称性求零件合格的概率，进而可得结果；解
法二：根据题意利用正态分布的对称性求零件不合格的概率，进而可得结果.
【详解】解法一：因为X服从正态分布 ，且 ，
所以该企业生产的该种零件合格的概率
，
所以估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为 ．
解法二：因为X服从正态分布 ，且 ，
试卷第32页，共3页所以 ，
所以该企业生产的该种零件不合格的概率为 ，
所以估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为 ．
故答案为：1600.
39．某企业生产一种零部件，其质量指标介于 的为优品.技术改造前，该企业生
产的该种零部件质量指标服从正态分布 ；技术改造后，该企业生产的同种零部
件质量指标服从正态分布 .那么，该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率
与技术改造前的优品率之差为 .（若 ，则 ，
， ）
【答案】
【分析】根据题意利用正态分布性质分别计算出技术改造前后的优品率，可得结果.
【详解】技术改造前，易知 ，
则其优品率为 ；
技术改造后，其中 ，
则其优品率为 ；
所以优品率之差为 .
故答案为：
40．小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常选择自驾、公交或地铁这三种方式.若
小明选择自驾，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布 若小
明选择地铁，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布 ；若小明选择公交，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布 .若小明上午
8：12从家里出发，则选择 上班迟到的可能性最小.(填“自驾”“公交”或“地
铁”)
参考数据：若 则 ，
，
【答案】公交
【分析】由题意可知从家里到达公司所用的时间不超过48分钟，小明就不会迟到，由此计
算三种方式下 的值，比较大小，即可得结论.
【详解】由题意可知从家里到达公司所用的时间不超过48分钟，小明就不会迟到；
若选择自驾，则 ；
若选择地铁，则 ；
若选择公交，则 ，
而 ，
故选择公交上班迟到的可能性最小，
故答案为：公交
考点05：独立事件的乘法公式
事件的独立性
（1）事件 与 相互独立的充要条件是 ．
（2）当 时， 与 独立的充要条件是 ．
（3）如果 ， 与 独立，则 成立．
41．目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播 ，在第1天的直播
试卷第34页，共3页中有超过100万次的观看．
(1)已知小李第1天观看了虚拟主播 的直播，若小李前一天观看了虚拟主播 的直播，则
当天观看虚拟主播 的直播的概率为 ，若前一天没有观看虚拟主播 的直播，则当天观
看虚拟主播 的直播的概率为 ，求小李第2天与第3天至少有一天观看虚拟主播 的直
播的概率；
(2)若未来10天内虚拟主播 的直播每天有超过100万次观看的概率均为 ，记这10天中
每天有超过100万次观看的天数为 ．
①判断 为何值时， 最大；
②记 ，求 ．
【答案】(1) (2)① ；②
【分析】（1）先求出小李第二天和第三天都没有观看虚拟主播 直播的概率，然后利用对
立事件的概率，即可求解；
（2）①由已知 服从二项分布 ，则 ，进而可得
，然后利用比值与1比较大小，即可求解；
②因为 ，所以 可能取值为1或 ，然后结合①分别求出 和 的概率代
入 ，即可得解.
【详解】（1）由已知小李第 天和第 天都没有观看虚拟主播 直播的概率为
，
所以小李第 天和第 天至少有一天观看虚拟主播 直播的概率为 .（2）①由已知 服从二项分布 ，所以 ，
由 ，
当 时， ，所以 ，即 ，
当 时， ，所以 ，即 ，
综上，当 时， 最大.
②因为 ，所以 或 ，
当 时， ，
，
当 时， ，
，
.
42．甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双
方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知
每局比赛中，甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，两人平局的概率为
，且每局比赛结果相互独立．
(1)若 ，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；
(2)当 时，
（i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数 的分布列及期望 的最大值；
试卷第36页，共3页（ii）若比赛不限制局数，求“甲学员赢得比赛”的概率（用 表示）．
【答案】(1) (2)(i)分布列见解析， ，(ii)
【分析】（1）用事件 分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，“平局”，记
“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N，则事件N包括事件：
共5种，即可求解；
（2）（i）由题意得 的所有可能取值为： ，求出对应的概率，列出分布列及求出数
学期望，并求出最大值；
（ii）由（1）得前两局比赛结果可能有： ，其中事件 表示“甲学员赢得
比赛”，事件 表示“乙学员赢得比赛”，事件 表示“甲、乙两名学员各得1
分”，当甲、乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢
得比赛的概率相同，所以 即可求
解．
【详解】（1）用事件 分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，“平局”，
则 ，
记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N，
则事件N包括事件： 共5种，
所以
．
（2）（i）因为 ，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即 ，
由题意得 的所有可能取值为： ，，
，
，
所以 的分布列为：
2 4 5
所以 的期望为：
因为 ，所以 ，
等号成立时， ，所以 ，
所以 ，
故 的最大值为： ．
（ii）记“甲学员赢得比赛”为事件M，则 ，
由（1）得前两局比赛结果可能有： ，
其中事件 表示“甲学员赢得比赛”，事件 表示“乙学员赢得比赛”，
事件 表示“甲、乙两名学员各得1分”，
当甲、乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛
试卷第38页，共3页的概率相同，
所以
，
所以 ，得 ，
因为 ，所以 .
43．某箱中有 个除颜色之外均相同的球， 已知.箱中1个球为白球，其余
为黑球.现在该箱中进行一取球实验:每次从箱中等可能地取出一个球，若取出白球或取球
次后结束实验，否则进行相应操作进行下一次取球.设实验结束时的取球次数为 .
(1)若取出黑球后放回箱中，求 的数学期望 ;
(2)若取出黑球后替换为白球放回箱中，求 的最大值 ，并证明: .
【答案】(1) ；(2) ，证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，求出取出白球、黑球的概率，再求出 的可能值及各个值
对应的概率，列出分布列并求出期望.
（2）求出 ，再列出不等式 且 并求出 ，然后利
用分析法，结合不等式性质推理证明.
【详解】（1）每一次取到白球的概率为 ，取到黑球的概率为
，当 时， 的所有可能取值为 ，且有
，
因此 的分布列为：
1 2 …
….
，即 ，
，
两式作差得
，
故 ，代入得 .
（2）由于取球次数最多为 次，则当 时，
，
分别令 ，
，整理得 ，
代入 得 ，
则 的最大值 在 或 处取得，且代入有 ，
试卷第40页，共3页经检验， 时也成立，因此 .
下面证明： ，
即证 ，
等价于证明 ，
等价于证明 ，
等价于证明 ，
又当 时， ，则 ，
且有 ，
所以上式成立，即 得证.
44．希望中学高三（8）班拟举办为期两天的气排球比赛，晏老师从体育室拿了4个排球放
入球车中提供使用，4个排球中有2个新球与2个旧球，比赛当天从球车中随机取出2个球
进行比赛，赛完后新球变成旧球放回球车.设第1天与第2天赛完后球车中旧球数量分别为
和 .
(1)求 的分布列与数学期望 .
(2)求 与 .
【答案】(1)分布列见解析， (2) ，
【分析】（1）求出 可取的值及相应的概率，求出 可取的值及相应的概率，可得 的分
布列及期望；（2）求出 ， ，由条件概率公式计算可得答案.
【详解】（1） 可取的值为 ，
，
，
，
可取的值为 ，
，
，
，
，
所以： 的分布列为：
2 3 4
；
（2） ，
，
试卷第42页，共3页.
45．小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了 元，然后发给朋友 ，如果 猜中，
将获得红包里的所有金额；如果 未猜中， 将当前的红包转发给朋友 ，如果 猜中，
、 平分红包里的金额；如果 未猜中， 将当前的红包转发给朋友 ，如果 猜中，
、 和 平分红包里的金额；如果 未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设 、 、
猜中的概率分别为 ， ， ，且 、 、 是否猜中互不影响．
(1)求 恰好获得 元的概率；
(2)设 获得的金额为 元，求 的分布列及 的数学期望．
【答案】(1) (2)分布列见解析，
【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算即可；
（2）由题意， 的可能取值为 ， ， ， ，计算对应的概率值，写出 的分布列与
数学期望值．
【详解】（1）若 恰好获得8元红包，则结果为 未猜中， 未猜中， 猜中，
故A恰好获得 元的概率为 ；
（2） 的可能取值为 ， ， ， ，
则 ， ，
， ，
所以 的分布列为：
数学期望为 ．
46．小林有五张卡片，他等概率的在每张卡片上写下1，2，3，4，5中的某个数字．
(1)求五张卡片上的数字都不相同的概率；(2)证明：这五张卡片上最大的数字最可能是5．
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）根据独立事件的概率的乘法公式计算；
（2）先计算最大数的概率，再结合 即可证明.
【详解】（1） ．
（2）记 为这五张卡片上最大的数字，则 ．
由 ，
由 ，
所以这五张卡片上最大的数字最可能是5.
47．甲、乙两人进行足球射门训练，设有I、II两个射门区，约定如下：每人随机选择I区
内射门或II区内射门，在I区内射门，进球得1分，不进球得0分；在II区内射门，进球
得3分，不进球得0分.已知甲每次在I区内射门进球的概率均为 ，每次在II区内射门进
球的概率均为 ；乙每次在I区内射门进球的概率均为 ，每次在II区内射门进球的概率
均为 ，且甲、乙两人射门进球与否互不影响（甲、乙各完成一次射门为一次射门训练）.
(1)在一次射门训练中，求甲、乙都得0分的概率；
(2)若3次射门训练中， 表示甲、乙得分相等的射门训练次数，求随机变量 的分布列与
数学期望.
【答案】(1) (2)分布列见解析，
【分析】（1）先分别求得甲，乙选择两区均得0分的概率，进而可得甲、乙都得0分的概
率；
（2）求得甲，乙得分相等的概率，利用二项分布可求分布列与数学期望.
试卷第44页，共3页【详解】（1）在一次投篮中，甲选择I区内射门进球得1分的概率为 ，不进球得
0分的概率为 ；
甲选择II区内射门进球得3分的概率为 ，不进球得0分的概率为 .
乙选择I区内射门进球得1分的概率为 ，不进球得0分的概率为 ；
乙选择II区内射门进球得3分的概率为 ，不进球得0分的概率为
故一次射门训练中，甲、乙都得0分的概率为 .
（2）依题意可知， 的所有可能取值为0，1，2，3，
由（1）可知，一次射门训练中，甲、乙得分相等的概率为 ，
则 ，
所以 ，
，
，
，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P所以 .
48．阳春三月，油菜花进入最佳观赏期，长沙县江背镇、望城光明村彭家老屋、浏阳达浒
油菜花田、岳麓区含泰社区油菜花田都免费向市民、游客开放，长沙某三所高级中学A，
B，C组织学生去这四个景区春游，已知A，B两所学校去每个景区春游的可能性都相同，
C学校去岳麓区含泰社区春游的可能性为 ，去其它三个景区春游的可能性相同.
(1)求望城光明村彭家老屋迎来三所学校春游的概率；
(2)长沙县江背镇迎来学校所数的分布列及数学期望.
【答案】(1) ；(2)分布列见解析，数学期望 .
【分析】（1）由相互独立事件的概率乘法公式可求得望城光明村彭家老屋迎来三所学校春
游的概率.
（2）求出长沙县江背镇迎来学校所数X的可能值及对应的概率，求得分布列及数学期望.
【详解】（1）依题意，A，B两所学校去每个景区春游的概率都是 ，
C学校去岳麓区含泰社区春游的概率为 ，去其它三个景区春游的概率为
所以望城光明村彭家老屋迎来三所学校春游的概率为： .
（2）依题意，长沙县江背镇迎来学校所数X的可能值为：0，1，2，3，
,
， ，
所以长沙县江背镇迎来学校所数X的分布列为：
0 1 2 3
数学期望 .
49．某校甲、乙两个数学兴趣班要进行扩招，经过数学兴趣班的海报宣传，共有4名数学
试卷第46页，共3页爱好者a，b，c，d报名参加（字母编号的排列是按照报名的先后顺序而定）．现通过一个
小游戏进行分班，规则如下：在一个不透明的箱子中放有红球和黑球各2个，红球和黑球
除颜色不同之外，其余大小、形状完全相同，按报名先后顺序，先由第一名数学爱好者从
箱子中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱子中；接着由
下一名数学爱好者从箱子中不放回地摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1
个，如此重复，直至4名数学爱好者均摸球完毕．数学爱好者若摸出红球，则被分至甲班，
否则被分至乙班．
(1)求a，b，c三名数学爱好者均被分至同一个兴趣班的概率；
(2)记甲、乙两个兴趣班最终扩招的人数分别为e，f，记 ，求 ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）记事件 “a被分至甲班”，事件 “b被分至甲班”，事件 “c被
分至甲班”，根据题意分别求出 ，从而可求出 ，进而可求
出a，b，c三名数学爱好者均被分至同一个兴趣班的概率；
（2）由题意，X的可能取值为4，2，0，根据题意求出相应的概率，从而可求出 .
【详解】（1）a，b，c三人均被分至同一个兴趣班，即三人同被分至甲班或乙班，
记事件 “a被分至甲班”，事件 “b被分至甲班”，事件 “c被分至甲班”，
当a即将摸球时，箱子中有2个红球和2个黑球，则a被分至甲班即a摸出红球的概率为
；
当a被分至甲班，b即将摸球时，箱子中有2个红球和3个黑球，则b被分至甲班即b摸出
红球的概率为 ；
当a，b均被分至甲班，c即将摸球时，箱子中有2个红球和4个黑球，则c被分至甲班即c
摸出红球的概率为 ；
所以 ，，
同理可知，数学爱好者a，b，c均被分至乙班的概率也为 ，
所以a，b，c三人均被分至同一个兴趣班的概率为 ．
（2）由题意，X的可能取值为4，2，0，
为4名数学爱好者被分至同一班，则 ，
为4名数学爱好者中有3名均被分至同一班，其余1名被分至另一班，
设第 名数学爱好者被单独分至另一班，则
， ，
， ，
所以 ，
为4名数学爱好者中各有2名被分至甲班和乙班，
则 ，
所以 ．
50．学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲､
乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得-5分，没有平局.
三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为
，各项目的比赛结果相互独立.甲､乙获得冠军的概率分别记为 .
(1)求甲教师总得分为0分的概率；
(2)判断甲､乙获得冠军的实力是否有明显差别（若 ，则认为甲､乙
获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别.）.
试卷第48页，共3页【答案】(1)0.352(2)甲､乙获得冠军的实力没有明显差别.
【分析】（1）应用互斥事件的概率是概率的和计算求解；
（2）应用对立事件结合互斥事件求概率，再根据新定义计算判断下结论.
【详解】（1） 甲教师总得分为0分，
甲教师在三个项目比赛中赢一项输两项.
所求概率为 .
（2）不妨设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为 ，
则教师甲获得冠军的概率
，
则教师乙获得冠军的概率 ，
，
，
甲､乙获得冠军的实力没有明显差别.
