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课时规范练 18 利用导数研究函数的极值、最
值
基础巩固练
1.(2024·安徽合肥模拟)函数f(x)=3+xln 2x的极小值点为( )
A.x=1 B.x=2
1
C.x=e D.x=
2e
1
2.(2024·河南期末)函数f(x)= x3-x2-3x(x≤0)的最大值是( )
3
5
A. B.0
3
C.2 D.3
3.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数g(x)=xf'(x)的图象如图所示,则下列结论
中一定成立的是( )
A.f(x)有两个极值点
B.f(-2)为函数的极大值
C.f(x)有两个极小值
D.f(-1)为f(x)的极小值
4.(2024·山东青岛模拟)函数f(x)=x3-3ax+a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是( )
A.[0,1) B.(0,1)
1
C.(-1,1) D.(0, )
2
1
5.(2024·福建泉州模拟)若函数f(x)=- x2+4x-2aln x有两个不同的极值点,则实数a的取值
2
范围是( )
A.(-∞,1) B.(0,1)
C.(0,2) D.(2,+∞)
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx6.(多选题)(2024·安徽宿州模拟)已知x=1为函数f(x)=x2-3x-log x的极值点,则( )(参考
a
数据:ln 2≈0.693 1)
A.f(x)在(0,1)上单调递减
B.f(x)的极小值为-2
C.f(x)有最小值,无最大值
D.f(x)有唯一的零点
7.函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0,2π]上的最小值、最大值分别为( )
π π 3π π
A.- , B.- ,
2 2 2 2
π π 3π π
C.- , +2 D.- , +2
2 2 2 2
8.(2024·山东潍坊模拟)若函数f(x)=-x3+6x2-m的极大值为30,则实数m的值为 .
9.(2024·福建三明模拟)某圆锥的母线长为10 cm,当其体积最大时,圆锥的高为
cm.
b
10.(15分)(2025·八省联考,17)已知函数f(x)=aln x+ -x.
x
(1)设a=1,b=-2,求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程;
(2)若x=1是f(x)的极小值点,求b的取值范围.
综合提升练
x lnx
11.(2024·四川内江模拟)已知函数f(x)= -a和g(x)= +b有相同的极大值,则a+b=(
ex x
)
A.2 B.0
C.-3 D.-1
{ 1
- ,x<0,
12.(2024·安徽合肥模拟)已知函数f(x)= 若a0,
值为( )
e
A.1 B.
2
C.e-1 D.2
13.(2024·安徽合肥模拟)已知函数f(x)=(k-x)ex在区间[0,1]上的最大值为k,则函数f(x)在区
间(0,+∞)上( )
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B.无极大值,有最小值
C.有极大值,有最大值
D.无极大值,无最大值
a 3
14.(2024·江苏南京模拟)已知函数f(x)= +ln x在区间[1,e]上的最小值为 ,则a的值为(
x 2
)
3
A.1 B.
2
e
C. D.
√e
2
15.(2024·河北承德联考)函数f(x)=|x-1|+xln x的最小值为 .
创新应用练
1
16.(17分)(2025·北京期中)已知f(x)=ex-ax+ x2,其中a>-1.
2
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)当a=1时,求函数f(x)的极值;
1
(3)若f(x)≥ x2+x+b对于x∈R恒成立,求(a+1)b的最大值.
2
答案：
1.D 解析 f(x)=3+xln 2x的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln 2x+1.
1 1 1 1
令f'(x)<0,得00,得x> ,所以f(x)在(0, )内单调递减,在( ,+∞)内单调递增,
2e 2e 2e 2e
1
所以f(x)在x= 处取得极小值.故选D.
2e
2.A 解析 由题意知f'(x)=x2-2x-3,x≤0.令f'(x)>0,得x<-1,令f'(x)<0,得-10,f'(x)<0,f(x)在(-∞,-2)内单调递减;
当-20,f(x)在(-2,0)内单调递增;当01时,g(x)>0,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)内单调递增.所以f(x)在x=-2和x=1处取得极小值,故B,D错
误,C正确;
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故选C.
4.B 解析 f'(x)=3x2-3a,当a≤0时,f'(x)≥0,且不恒为0,f(x)在(0,1)内单调递增,f(x)无最小值;当a>0
时,由f'(x)=0,解得x=±√a,当x>√a时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当00,
因此 x +x =4>0,
1 2
x x =2a>0,
1 2
解得00,故f(x)在(0, )和(1,+∞)上单调递增,在( ,1)内单调递减,因此极小值为
x 2 2
1 5
f(1)=-2,极大值为f( )=- -ln 2,结合图象(图略)可知f(x)无最小值也无最大值,且有唯一的零点,故
2 4
选项B,D正确,选项A,C错误,故选BD.
7.D 解析 函数f(x)的导数f'(x)=-sin x+sin x+(x+1)cos x=(x+1)cos x,x∈[0,2π].
π 3π π π 3π
令f'(x)=0,得x= 或x=
.
当x∈[0, )时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(
,
)时,f'(x)<0,函
2 2 2 2 2
3π π π
数f(x)单调递减;当x∈( ,2π]时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.故当x= 时,函数f(x)有极大值f( )=
2 2 2
π 3π 3π 3π
+2;当x= 时,函数f(x)有极小值f( )=- .
2 2 2 2
3π π
又因为f(0)=2,f(2π)=2,所以函数f(x)在区间[0,2π]上的最小值为- ,最大值为 +2,故选D.
2 2
8.2 解析 f'(x)=-3x2+12x=-3x(x-4),令f'(x)<0,解得x<0或x>4,令f'(x)>0,解得00,V(h)单调递增;当h> 时,
3 3 3
10√3 10√3
V'(h)<0,V(h)单调递减.所以当h= cm时,V(h)取得极大值且极大值为最大值,即当h=
3 3
cm时,圆锥的体积最大.
2
10.解 (1)当a=1,b=-2时,f(x)=ln x- -x,其中x>0,
x
1 2 -x2+x+2 -x2+x+2
则f'(x)= + -1= ,令f'(x)=2,即 =2,
x x2 x2 x2
2
化简得3x2-x-2=(x-1)(3x+2)=0,解得x=1(x=- 舍去).
3
显然x=1是方程f'(x)=2的解.
又f(1)=-3,则切线过点(1,-3),结合切线的斜率为2,则切线方程为y+3=2(x-1),即2x-y-5=0.
a b -x2+ax-b
(2)由题意可得函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= − -1= .
x x2 x2
-x2+(b+1)x-b
因为x=1是f(x)的极小值点,则f'(1)=-1+a-b=0,即a=b+1,则f'(x)= =-
x2
(x-1)(x-b)
.
x2
若b≤0,令f'(x)>0,则x∈(0,1),令f'(x)<0,则x∈(1,+∞),
则f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,得x=1是f(x)的极大值点,不满足题意;
若00,则x∈(b,1),令f'(x)<0,则x∈(0,b)∪(1,+∞),
则f(x)在(b,1)内单调递增,在(0,b)和(1,+∞)内单调递减,得x=1是f(x)的极大值点,不满足题意;
(x-1)2
若b=1,则f'(x)=- <0,f(x)在(0,+∞)内单调递减,无极值,不满足题意;
x2
若b>1,令f'(x)>0,则x∈(1,b),令f'(x)<0,则x∈(0,1)∪(b,+∞),
则f(x)在(1,b)内单调递增,在(0,1)和(b,+∞)内单调递减,得x=1是f(x)的极小值点,满足题意.
综上,当x=1是f(x)的极小值点时,b的取值范围是(1,+∞).
x 1-x
11.B 解析 f(x)= -a,则f'(x)= ,令f'(x)>0,解得x<1,
ex ex
令f'(x)<0,解得x>1,所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
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所以f(x)在x=1处取得极大值f(1)= -a.g(x)= +b,则g'(x)= ,
e x x2
令g'(x)<0,解得x>e,令g'(x)>0,解得00).
{ 1
- ,x<0,
因为f(x)=
x
且a0,
{ - 1 =t, { a=- 1 ,
所以 a 所以 t
lnb+1=t, b=et-1,
1
所以b-a=et-1+
.
t
1 1
令g(t)=et-1+ (t>0),则g'(t)=et-1- .当t∈(0,1)时,g'(t)<0,g(t)单调递减;当t∈(1,+∞)时,g'(t)>0,g(t)单
t t2
1
调递增,所以g(t)在t=1处取得极小值,也是最小值,g(1)=e1-1+ =2,所以b-a的最小值为2.故选D.
1
13.D 解析 f'(x)=(k-x-1)ex,当x0,当x>k-1时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,k-1)上单调递增,
在(k-1,+∞)上单调递减,又f(0)=k,且f(x)在[0,1]上的最大值为k,所以k-1≤0,即k≤1,此时f(x)在
(0,+∞)上单调递减,且无极大值、最大值、最小值,故选D.
a 1 a x-a
14.D 解析 因为f(x)= +ln x(x>0),所以f'(x)= − = ,当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)
x x x2 x2
3 3
内单调递增,此时函数最小值为f(1)=a+ln 1= ,解得a= ,不符合题意,舍去;当a>0时,令f'(x)<0,
2 2
得00,得x>a;所以f(x)在(0,a)内单调递减,在(a,+∞)内单调递增.
①当01时,f'(x)=1+(ln x+1)=ln x+2>0,所以
1-x+xlnx,00,即g(x)在R上单
2
调递增.又易知f'(0)=0,所以当x≤0时,f'(x)≤f'(0)=0,当x>0时,f'(x)>0,即函数f(x)在(-∞,0)内单调
递减,在(0,+∞)内单调递增,即函数f(x)的极小值为f(0)=1,无极大值.
1
(3)f(x)≥ x2+x+b对于x∈R恒成立,可得ex-(a+1)x-b≥0在x∈R恒成立.令h(x)=ex-(a+1)x-b,则
2
h'(x)=ex-(a+1),又a>-1,由h'(x)=ex-(a+1)=0,解得x=ln(a+1),易知当xln(a+1)时,h'(x)>0,所以h(x)在(-∞,ln(a+1))内单调递减.在(ln(a+1),+∞)内单调递增.因此h(x)在
x=ln(a+1)处取得极小值,也是最小值,为h(ln(a+1))=eln(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b.
易知(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b≥0,即b≤(a+1)-(a+1)ln(a+1),可得(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).令
F(x)=x2-x2ln x,x>0,则F'(x)=2x-(2xln x+x)=x(1-2ln x),所以当00.当x>√e时,
e
F'(x)<0.所以F(x)在(0,
√e
)内单调递增,在(
√e
,+∞)内单调递减,则F(x)≤F(
√e
)=e-eln√e= ,即
2
e e
(a+1)b≤ . 故(a+1)b的最大值为
2 2
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