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课时规范练 17 利用导数研究函数的单调性
基础巩固练
x2+2
1.(2024·江西鹰潭模拟)函数y= +ln x的单调递增区间为( )
x
A.(0,2) B.(0,1)
C.(2,+∞) D.(1,+∞)
2.(2024·山东临沂期中)函数f(x)=2x3-ax2+7的单调递减区间是(0,2),则a=( )
A.6 B.3
C.2 D.0
3.(2024·河南许昌模拟)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)内单调递增,则a的最小值为(
)
A.e2 B.e
C.e-1 D.e-2
3
4.(2024·四川成都期中)函数y=f(x)在定义域(- ,3)内可导,记y=f(x)的导函数为
2
y=f'(x),y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的单调递增区间为( )
3
A.(- ,-1),(1,2)
2
1 4 8
B.( -1, ),( , )
2 3 3
1 4
C.(-1,- ),( ,2)
3 3
3 1 4 8
D.(- ,-1),( , ),( ,3)
2 2 3 3
1
5.(2024·福建福州模拟)设函数f(x)= x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取
2
值范围是( )
A.(1,2] B.[4,+∞)
C.(-∞,2] D.(0,3]
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx6.(2024·山东济南模拟)若函数f(x)=ax3-3x2+x+1恰有三个单调区间,则实数a的取值范围
为( )
A.[3,+∞) B.(-∞,3)
C.(-∞,0)∪(0,3) D.(-∞,0)
π
7.(2024·河北邢台模拟)函数f(x)=x+2cos x,x∈(0, )的单调递减区间为 .
2
8.(2024·山东青岛模拟)若函数f(x)=x-aln x的单调递减区间为(0,2),则实数a=
.
9.(15分)已知函数f(x)=(x-2)ex.
(1)求函数y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间.
10.(15分)(2024·广东佛山联考)已知函数f(x)=x2-(a-2)x-aln x(a∈R).
(1)当a=1时,求函数y=f(x)的单调区间;
(2)求函数y=f(x)的单调区间.
综合提升练
11.(2024·广东广州期中)已知a=3e(其中e为自然对数的底数),b=π3,c=3π,则( )
A.a0,
+ = = ,令 解得x∈(1,+∞),故选D.
x2 x x2 x2 x>0,
2.A 解析 由f(x)=2x3-ax2+7可得f'(x)=6x2-2ax,由于f(x)的单调递减区间是(0,2),故x=0和x=2是
f'(x)=6x2-2ax=0的两个根,故24-4a=0,解得a=6.故选A.
1 1
3.C 解析 依题可知,f'(x)=aex- ≥0在(1,2)上恒成立,显然a>0,所以xex≥ . 设g(x)=xex,x∈(1,2),
x a
1 1
所以g'(x)=(x+1)ex>0,所以g(x)在(1,2)内单调递增,g(x)>g(1)=e,故e≥ ,即a≥ =e-1,即a的最小值
a e
为e-1,故选C.
1 4 8 1
4.B 解析 若要y=f'(x)>0,则由题图可知x∈(-1, ),x∈( , ),故y=f(x)的单调递增区间为(-1, ),(
2 3 3 2
4 8
, ).故选B.
3 3
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5.A 解析 由f(x)= x2-9ln x(x>0),得f'(x)=x- = (x>0),
2 x x
当x∈(0,3)时,f'(x)<0,则f(x)单调递减;
当x∈(3,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)单调递增,又函数f(x)在区间[a-1,a+1]上单调递减,所以
{
a-1>0,
a+1≤3, 解得1a-1,
6.C 解析 f(x)的定义域为R,且f'(x)=3ax2-6x+1,要使函数恰有三个单调区间,则f'(x)=0有两个不
{ a≠0,
相等的实数根,所以 解得a<3且a≠0,故实数a的取值范围为(-∞,0)∪(0,3),故选
Δ=36-12a>0,
C.
π π π π π
7.( , ) 解析 由已知得f'(x)=1-2sin x,x∈(0, ),令f'(x)<0,即1-2sin x<0,解得 0,所以f(x)的单调递增区间为
x x
(0,+∞),无单调递减区间,不合题意.若a>0,令f'(x)=0,得x=a,当x>a时,f'(x)>0;当00,
函数f(x)在(1,+∞)内单调递增,即函数f(x)的单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为(1,+∞).
10.解 (1)由题意得,当a=1时,f(x)=x2+x-ln x,定义域为(0,+∞),则f'(x)=2x+1-
1 2x2+x-1 (x+1)(2x-1)
= = .
x x x
1
令f'(x)<0,得00,得x>
.
所以f(x)在(0, )内单调递减,在( ,+∞)上单调递增.
2 2 2
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx(2)由题可知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=2x-(a-2)-
a 2x2-(a-2)x-a (x+1)(2x-a)
= = .
x x x
(ⅰ)当a≤0时,f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
a a a
(ⅱ)当a>0时,令f'(x)<0,即2x-a<0,解得00,即2x-a>0,解得x> .所以f(x)在(0, )
2 2 2
a
内单调递减,在( ,+∞)上单调递增.
2
a a
综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在(0, )内单调递减,在( ,+∞)上单调
2 2
递增.
11.A 解析 因为y=3x在R上单调递增,y=x3在R上单调递增,所以3e<33<π3,即ae时,f'(x)<0,所以f(x)在(e,+∞)内单调递减,所以 > ,可得π·ln 3>3·ln π,即ln 3π>ln π3.
3 π
由g(x)=ln x在(0,+∞)内单调递增,可得π3<3π,即b0恒成立,故双曲正弦函数是增
2 2
ex+e-x ex-e-x
函数,故A正确;对于B,令g(x)=cosh x= ,则g'(x)= ,由A知,g'(x)为增函数,又g'(0)=
2 2
e0-e0
=0,故当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,故g(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)
2
ex-e-x
内单调递增,故B错误;对于C,tanh x= sinhx = 2 = ex-e-x = e2x-1 =1- 2 ,由y=e2x+1
coshx ex+e-x ex+e-x e2x+1 e2x+1
2
2
在R上单调递增,且y=e2x+1>1,故tanh x=1- 是增函数,故C正确;对于D,由C知tanh x=
e2x+1
e2x-1
,则tanh(x+y)=
e2x+1
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+
e2x+2y-1 tanhx+tanh y e2x+1 e2y+1 (e2x-1)(e2y+1)+(e2y-1)(e2x+1) e2x+2y+e2x-e2y-1+e2x+2y-e2x+e2y-1 2e2x+2y-2 e2x+2y-1
, = = = = =
e2x+2y+1 1+tanhxtanh y e2x-1 e2y-1 (e2x+1)(e2y+1)+(e2x-1)(e2y-1) e2x+2y+e2x+e2y+1+e2x+2y-e2x-e2y+1 2e2x+2y+2 e2x+2y+1
1+ ·
e2x+1 e2y+1
tanhx+tanh y
,故tanh(x+y)= ,故D正确.故选ACD.
1+tanhxtanh y
13.AD 解析 f(x)=ex-e-x+sin x的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex+sin(-x)=-(ex-e-x+sin x)=-f(x),则f(x)为
1
奇函数,又f'(x)=ex+e-x+cos x≥2√ex·e-x+cos x=2+cos x>0,当且仅当ex= ,即x=0时等号成立,
ex
1
则f(x)在R上为增函数,由f(t)+f(1-3t)<0,得f(t)<-f(1-3t),则f(t) ,因此
2
B,C符合,A,D不符合,故选AD.
14.(0,+∞) 解析 f'(x)=2sin xcos x+2x=sin 2x+2x,f'(0)=0.令f'(x)=g(x),则g'(x)=2+2cos 2x≥0且不
恒为0,所以f'(x)单调递增,所以当x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f'(x)>0,故函数f(x)的单调递增区间是
(0,+∞).
2 16 64 16 2 2 2
15.解 (1)f'(x)=5ax4-8x3(a≠0),则f'( )=5a· − = ,因为f( )=0,所以曲线y=f(x)在点( ,f( ))
a a4 a3 a3 a a a
16 2 16 32
处的切线方程为y= (x- ),即y= x- .
a3 a a3 a4
8 8
(2)f'(x)=x3(5ax-8)(a≠0),令f'(x)=0,得x
1
=0,或x
2
= .当a>0时,令f'(x)<0,得00,得
5a 5a
8 8 8
x<0或x> ,所以f(x)在(0, )内单调递减,在(-∞,0)和( ,+∞)内单调递增.当a<0时,令f'(x)<0,
5a 5a 5a
8 8 8 8
得x< 或x>0,令f'(x)>0,得 0时,f(x)在(0, )内单调递减,在(-∞,0)和( ,+∞)内单调递增,当a<0时,f(x)在(-∞,
5a 5a
8 8
)和(0,+∞)内单调递减,在( ,0)内单调递增.
5a 5a
eln2 ln2 2 ln2
16.AD 解析 对于A,∵f(ln 2)= + = + ,f(ln 4)=
ln2 eln2 ln2 2
eln4 ln4 4 2ln2 2 ln2
+ = + = + ,∴f(ln 2)=f(ln 4),故A正确.对于B,f(x)的定义域为
ln4 eln4 2ln2 4 ln2 2
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(0,1),f'(x)= + = ,∵x∈(0,1),∴x-1<0.令g(x)=ex-
x2 (ex)2 x2ex
x,x∈(0,+∞),则g'(x)=ex-1>0在(0,+∞)内恒成立,∴g(x)在(0,+∞)内单调递增,∴g(x)>g(0)=1,即ex-
ex x
x>0,∴f'(x)<0,∴f(x)在(0,1)内单调递减,故B错误;对于C,当x<0时,f(x)= + <0,此时不存在
x ex
ex x √ex x
m∈R,使f(m)=2;当x>0时,f(x)= + >2 · =2,由B知,ex>x,等号取不到,故不存在m∈R,
x ex x ex
ex x
使f(m)=2,故C错误;对于D,当x>0时,f(x)= + >0,此时不存在n∈R,使f(n)=-2;当x<0时,
x ex
ex x ex -x √ ex -x
f(x)= + =-( + )≤-2 · =-2,令g(x)=ex+x,x∈(-∞,0),则g'(x)=ex+1>0在(-∞,0)内
x ex -x ex -x ex
恒成立,∴g(x)在(-∞,0)内单调递增,∵g(0)=1>0,g(-1)=e-1-1<0,∴∃x
0
∈(-1,0),使得g(x
0
)=ex 0+x
0
=0,
即ex 0=-x
0
,∴存在n∈R,使f(n)=-2,故D正确.故选AD
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