课时规范练37　等比数列_高中三年全科资料_高中_高中1_2026版《优化设计》新高考版一轮（生物+数学）_2026年高考数学一轮（优化设计新高考版）_课后习题Word

课时规范练 37 等比数列 基础巩固练 1.(2024·安徽黄山一模)已知{a }是以q为公比的等比数列,a -a =2,a -a =16,则q=( ) n 3 1 6 4 A.2 B.3 C.4 D.5 2.(2024·广东江门一模)已知{a }是等比数列,a a =8a ,且a ,a 是方程x2-34x+m=0的两根, n 3 5 4 2 6 则m=( ) A.8 B.-8 C.64 D.-64 3.(2023·天津,6)已知{a }为等比数列,S 为数列{a }的前n项和,a =2S +2,则a 的值为( n n n n+1 n 4 ) A.3 B.18 C.54 D.152 4.(2024·湖北孝感模拟)为响应国家号召,某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经济”. 个体户小王2024年6月初向银行借了1年期的免息贷款8 000元,用于进货,因质优价廉, 供不应求.据测算:他每月月底获得的利润是该月初投入资金的20%,并且每月月底需扣 除生活费800元,余款作为资金全部用于下月再进货,如此继续,预计到2025年5月底他 的年所得收入(扣除当月生活费且还完贷款)为( )(参考数据:1.211≈7.4,1.212≈9) A.35 200元 B.39 200元 C.30 000元 D.31 520元 5.(多选题)(2024·湖北黄冈二模)数列{a }满足:a =1,S =3a (n≥2),则下列结论中正确的 n 1 n-1 n 是( ) 1 A.a = 2 3 B.{a }是等比数列 n C.a = 4 a ,n≥2 n+1 n 3 4 D.S =( )n-1,n≥2 n-1 3 6.(多选题)(2024·吉林长春模拟)在《增删算法统宗》中有如下问题:“三百七十八里关,初 行健步不为难;次日脚痛减一半,六朝才得到其关”,其意思是:“某人到某地需走378里路, 第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天才到达目的 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx地”,记此人中间两天走的路程之和为M,中间四天走的路程之积为N,则下列说法正确 的是( ) A.此人第一天走了全程的一半 B.此人第五天和第六天共走了18里路 C.5M<378 D.N=1 1522 S 7.(2024·上海闵行三模)设S 是等比数列{a }的前n项和,若S =4,a +a +a =8,则 12= n n 3 4 5 6 S 6 . 8.(2024·河北“五个一”名校联盟模拟)右图数阵的每一行最右边数据从上到下形成以1 为首项,以2为公比的等比数列,每行的第n个数从上到下形成以2n-1为首项,以3为公比 的等比数列,则该数阵第n行(n∈N*)所有数据的和S = . n 9.(13分)(2024·湖南长沙一模)已知数列{a }满足a -3a =2n-1,且a =1. n n+1 n 1 (1)证明:数列{a +n}是等比数列; n (2)求数列{a }的前n项和S . n n 10.(13分)(2024·江西南昌二模)已知数列{a }的前n项和为S ,且满足 n n a =1,a =3,a +a =ka . 1 2 n n+2 n+1 (1)当k=2时,求S ; 10 5 (2)若k= ,设b =a -2a ,求{b }的通项公式. n n+1 n n 2 综合提升练 11.(2024·河南开封三模)记S 为数列{a }的前n项和,T 为数列{a }的前n项积,若 n n n n a =1,a =S ,则满足T >1 000的n的最小值是( ) 1 n+1 n n A.5 B.6 C.7 D.8 12.(多选题)(2024·江西赣州一模)已知等比数列{a }的前n项和为S ,a =18,S =26,则( n n 3 3 ) A.a >0 n 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzxB.S >0 n C.数列{|a |}为单调数列 n D.数列{|S |}为单调数列 n 13.(2024·湖北八市联考)设等比数列{a }的前n项和为S ,若3S >S >0,则公比q的取值范 n n 2 6 围为 . 14.(15分)(2024·新疆乌鲁木齐一模)设等比数列{a }的前n项和为S ,已知 n n a +a =30,S =45. 2 4 4 (1)求{a }的通项公式; n 1 (2)设b = ,求{b }的前n项和T . n n n a a n n+1 创新应用练 15.(15分)(2024·山东潍坊二模)数列{a }中,从第二项起,每一项与其前一项的差组成的数 n 列{a -a }称为{a }的一阶差数列,记为{a(1)},依此类推,{a(1)}的一阶差数列称为{a }的 n+1 n n n n n 二阶差数列,记为{a(2)},….如果一个数列{a }的p阶差数列{a(p)}是等比数列,则称数列 n n n {a }为p阶等比数列(p∈N*). n (1)已知数列{a }满足a =1,a =2a +1. n 1 n+1 n ①求a(1),a(1),a(1) ; 1 2 3 ②证明:{a }是一阶等比数列. n 20 37 78 215 (2)已知数列{b n }为二阶等比数列,其前5项分别为1, , , , ,求b n 及满足b n 为整 9 9 9 9 数的所有n值. 答案： 1.A 解析 由题得a -a =a q3-a q3=q3(a -a )=2q3=16,解得q=2. 6 4 3 1 3 1 2.C 解析 因为{a }是等比数列,所以a a =a a =a2,又a a =8a ,所以a =8. n 3 5 2 6 4 3 5 4 4 又a ,a 是方程x2-34x+m=0两根,所以m=a a =a2=64. 2 6 2 6 4 3.C 解析 设等比数列{a }的公比为q,当n=1时,a =2a +2,即a q=2a +2,① n 2 1 1 1 当n=2时,a =2(a +a )+2, 3 1 2 即a q2=2(a +a q)+2,② 1 1 1 联立①②可解得a =2,q=3,所以a =a q3=54. 1 4 1 4.D 解析 设2024年6月底小王手中有现款为a =(1+20%)×8 000-800=8 800元,设2024年6月 1 底为第一个月,以此类推,设第n个月月底小王手中有现款为a ,第n+1个月月底小王手中有现款 n 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx为a ,则a =1.2a -800,即a -4 000=1.2(a -4 000),所以数列{a -4 000}是首项为4 800,公比为 n+1 n+1 n n+1 n n+1 1.2的等比数列,所以a -4 000=4 800×1.211,即a =4 000+4 800×1.211≈39 520,所以预计到2025年 12 12 5月底他的年所得收入为39 520-8 000=31 520元. 1 5.AC 解析 由S =3a (n≥2),当n=2时,S =a =3a =1,解得a = ,故A正确;当n≥1时,可得 n-1 n 1 1 2 2 3 4 1 S =3a ,所以S -S =3a -3a (n≥2),所以a =3a -3a (n≥2),即a = a (n≥2),当n=1时,a = a n n+1 n n-1 n+1 n n n+1 n n+1 n 2 1 3 3 1 4 [1-( ) n-2 ] 不符合上式,故C正确,B错误;因为S =a +a +a +…+a =1+3 3 =(4)n-2,n>2,故D错 n-1 1 2 3 n-1 4 3 1- 3 误.故选AC. 1 6.BCD 解析 设此人第n天走了a 里路,则数列{a }是首项为a ,公比为q= 的等比数列,已知六 n n 1 2 1 a [1-( ) 6 ] 天走的路程总和为S 6 = a 1 (1-q6) = 1 2 =378,解得a 1 =192,a n =192×(1)n-1.此人第一天走 1-q 1 2 1- 2 192 96 1 1 1 了全程的 = > ,A错误;已知a =192×( )4=12,a =192×( )5=6,可得a +a =18,B正确;中 5 6 5 6 378 189 2 2 2 1 1 间两天走的路程之和为M=a +a =192×( )2+192×( )3=72,则5M=360<378,C正确;中间四天走 3 4 2 2 的路程之积为N=a a a a =96×48×24×12=(48×24)2=1 1522,D正确.故选BCD. 2 3 4 5 7.5 解析 由题意得S -S =8,S =S +8=4+8=12,由等比数列前n项和的性质得S ,S -S ,S -S ,S -S 6 3 6 3 3 6 3 9 6 12 9 S -S S -S S -S 成等比数列,故 6 3= 9 6= 12 9,即82=4(S -12),解得S =28,则S -S =28-12=16,所以 9 9 9 6 S S -S S -S 3 6 3 9 6 S 60 162=8(S -28),解得S =60,故 12= =5. 12 12 S 12 6 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx8.3n-2n 解析 因为每行的第n个数从上到下形成以2n-1为首项,以3为公比的等比数列,所以 2 2 2 2 S =30×2n-1+31×2n-2+32×2n-3+…+3n-1×20,所以S =3n-1×[( )n-1+( )n-2+( )n-3+…+( )0],S =3n-1 n n n 3 3 3 3 2 1-( ) n 3 =3n×[1-(2)n]=3n-2n. × 2 3 1- 3 9.(1)证明 由a -3a =2n-1,得a +(n+1)=3(a +n),又a =1,即a +1=2, n+1 n n+1 n 1 1 所以数列{a +n}是首项为2,公比为3的等比数列. n (2)解 由(1)知,a +n=2·3n-1,即a =2·3n-1-n, n n 所以S =(2×30-1)+(2×31-2)+…+(2×3n-1-n)=2(30+31+…+3n-1)-(1+2+…+n) n 2(1-3n) (1+n)n (n+1)n = − =3n- -1. 1-3 2 2 10.解 (1)当k=2时,有a +a =2a , n n+2 n+1 即a -a =a -a ,所以{a }为等差数列.因为a =1,a =3,所以公差d=a -a =2, n+2 n+1 n+1 n n 1 2 2 1 10×9 所以S 10 =1×10+ ×2=100. 2 5 5 1 1 1 (2)由已知,当k= 时,有a = a -a ,所以a -2a = a -a = (a -2a ),即b = b ,且b =a - n+2 n+1 n n+2 n+1 n+1 n n+1 n n+1 n 1 2 2 2 2 2 2 1 2a =1,所以{b }是以1为首项, 为公比的等比数列, 1 n 2 1 1 所以b =1×( )n-1=( )n-1. n 2 2 11.B 解析 由a =S 可得S -S =S ,即S =2S ,S =1≠0,故{S }是首项为1,公比为2的等比数列, n+1 n n+1 n n n+1 n 1 n {2n-2,n≥2, 故S =2n-1,所以a =S =2n-1,故当n≥2时,a =2n-2,n=1时不符合该式,因此a = 故 n n+1 n n n 1,n=1. T =a a a …a =1×20×21×…×2n-2= (n-1)(n-2) n 1 2 3 n 2 2 . 由T >1 000,则 (n-1)(n-2) >1 000,当n=6时,210>1 000,当n=5时,26<1 000,且 (n-1)(n-2) 的值 n 2 2 2 在n≥5时,随着正整数n的增大而增大,故n的最小值为6. 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx12.BC 解析 设等比数列{a }的首项为a ,公比为q,由题意有{ a q2=18, 解得 n 1 1 a +a q+a q2=26, 1 1 1 { 3 { 3 {q=3, q=- , q=- , 或 4 对于选项A,当 4 n为偶数时,a <0,所以A错误;对于选项B,因为S = a =2 n n 1 a =32, a =32, 1 1 { 3 a (1-qn) q=- , {q=3, 1 ,当 4 时,显然有S >0,当 时,1-q<0,1-qn<0,所以S >0,故B正确; 1-q n a =2 n a =32 1 1 3 对于选项C,当q=3时,数列{|a |}是首项为2,公比为3的递增数列,当q=- 时,数列{|a |}是首项为 n n 4 3 32,公比为 的递减数列,所以C正确;对于选项D,由选项B的分析知S >0,所以|S |=S ,当 n n n 4 3 { 3 32×[1-(- ) n ] q=- , 时,S = 4 128 [1-(-3)n],此时S 不具有单调性,所以D错误.故选BC. 4 n = × n 3 7 4 a =32 1+ 1 4 13.(-1,0)∪(0,1) 解析 由题知等比数列{a }的公比q≠0, n 又S =S (1+q2+q4),所以3S >S >0可转化为3S >S (1+q2+q4)>0, 6 2 2 6 2 2 所以q2-1<0,解得q∈(-1,0)∪(0,1). 所以公比q的取值范围为(-1,0)∪(0,1). 14.解 (1)设等比数列{a }的公比为q, n {a +a =30, {a +a =30, 由题意可得 2 4 则 2 4 S =45, a +a =15, 4 1 3 即{a q+a q3=30,解得{q=2,所以a =3×2n-1. 1 1 n a +a q2=15, a =3, 1 1 1 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx1 (2)因为b n = 1 ≠0,则 b n+1= a n+1 a n+2 = a n = 1 = 1 ,且b 1 = 1 = 1 ,即数列{b n }是以 1 为 a a b 1 a q2 4 a a 18 18 n n+1 n n+2 1 2 a a n n+1 1 1 [1-( ) n ] 首项,公比为1的等比数列,所以T =18 4 2 [1-(1)n]. n = 4 1 27 4 1- 4 15.(1)①解 由a =1,a =2a +1,易求得a =3,a =7,a =15, 1 n+1 n 2 3 4 由一阶差数列的定义得a(1) =a -a =2,a(1) =a -a =4,a(1) =a -a =8. 1 2 1 2 3 2 3 4 3 ②证明 因为a =2a +1,所以a -2a =1,所以当n≥2时,有a -2a =1, n+1 n n+1 n n n-1 所以a -2a =a -2a ,变形得a -a =2(a -a ),即a(1) =2a(1) ,n≥2,又因为a(1) =2,故{a(1) }是以2 n+1 n n n-1 n+1 n n n-1 n n-1 1 n 为首项,2为公比的等比数列,即{a }是一阶等比数列. n 2 (2)解 由题意知{b n }的二阶差数列{b(2)}为等比数列,设公比为q,则由题意得,b(2)= ,q=4,所以 n 1 3 2 11 n-1 11 n-1 2 b(2)= ×4n-1.由题意b(1)= ,所以b(1)=b(1)+∑(b(1)−b(1))= +∑b(2)= ×4n-1+1,所以 n 3 1 9 n 1 k+1 k 9 k 9 k=1 k=1 n-1 n-1 2 4n-1-1 b n =b 1 +∑(b k+1 -b k )=1+∑b(1)= (4n-1-1)+n,所以b n 为整数当且仅当 为整数.由已知得,当 k=1 k=1 k 27 27 n=1时,符合题意,当n=2,3,4,5时,不符合题意, 当n≥6时,4n-1-1=(1+3)n-1-1=C1 ×3+C2 ×32+C3 ×33+…+Cn-1×3n-1, n-1 n-1 n-1 n-1 3C1 +9C2 所以原题等价于 n-1 n-1为整数, 27 3C1 +9C2 (3n-4)(n-1) [3(n-1)-1](n-1) 因为 n-1 n-1= = ,(*) 27 18 2×9 显然3(n-1)-1不含质因子3,所以n-1必为9的倍数,设n-1=9k,k∈N,则n=9k+1,将n=9k+1代入(*) 式,当k为奇数时,3(n-1)-1为偶数,(*)式为2的倍数;当k为偶数时,n为奇数,n-1为偶数,(*)式为2 的倍数. 又因为2与9互质,所以(*)为整数. 综上,当n=9k+1,k∈N时,b 为整数 n 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468 也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx