文档内容
课时规范练 68 二项分布、超几何分布、正态
分布
1.(2024·山东潍坊二模)已知随机变量X~N(3,σ2),且P(X≥4)=0.3,则P(X>2)=( )
A.0.2 B.0.3
C.0.7 D.0.8
2.(15分)(2024·安徽合肥一模)某地将举办园博会,主办方共设有5个省内展园、26个省
外展园和7个国际展园,开园面积近3.23平方千米.游客可通过乘坐观光车、骑自行车和
步行三种方式游园.
(1)若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩,记甲参观省
内展园的数量为X,求X的分布列及数学期望E(X);
(2)为更好地服务游客,主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客,
其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表:
游园方式
游园结果
观光车 自行车 步行
参观完所有展园 80 80 40
未参观完所有展园 20 120 160
用频率估计概率.若游客乙首次游园,选择上述三种游园方式的一种,求游园结束时乙能
参观完所有展园的概率.
3.(15分)(2024·四川成都二模)某省举办了一次高三年级化学模拟考试(满分100分),其中
甲市有20 000名学生参加.根据经验,本次模拟考试该省总体成绩及各市成绩都近似服
从正态分布N(μ,σ2).
(1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分,87分以上共有455人.甲市学生A的成绩为
76分,试估计学生A在甲市的大致名次;
(2)在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取40人,记Y表示在本次化学考试中成绩
在[μ-3σ,μ+3σ]之外的人数,求P(Y≥1)及Y的数学期望.
参考数据:0.997 340≈0.897 5.
参考公式:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954
5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx4.(15分)(2024·云南昆明模拟)某校举行知识竞赛,最后一个名额要在A,B两名同学中产
生,测试方案如下:A,B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答,在这4
3
个问题中,已知A能正确作答其中的3个,B能正确作答每个问题的概率都是 ,A,B两名
4
同学作答问题相互独立.
(1)求A,B两名同学恰好共答对2个问题的概率;
(2)若让你投票决定参赛选手,你会选择哪名学生,简要说明理由.
5.(15分)(2024·湖北襄阳模拟)襄阳市某中学一研究性学习小组为了了解襄阳市民每年旅
游消费支出费用(单位:千元),寒假期间对游览某签约景区的100名襄阳市游客进行随机
问卷调查,并把数据整理成如下表所示的频数分布表:
组别(支 [8, [10, [12, [14,
[0,2) [2,4) [4,6) [6,8)
出费用) 10) 12) 14) 16]
频数 3 4 8 11 41 20 8 5
(1)从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据,求两人旅游支出均不低于10 000元的概
率;
(2)若襄阳市民的旅游支出费用X近似服从正态分布N(μ,σ2),μ近似为样本平均数x(同一
组中的数据用该组区间的中间值代表),σ近似为样本标准差s,并已求得s≈3,利用所得正
态分布模型解决以下问题:
(ⅰ)假定襄阳市常住人口为500万人,试估计襄阳市有多少市民每年旅游费用支出在15
000元以上;
(ⅱ)若在襄阳市随机抽取3位市民,设其中旅游费用在9 000元以上的人数为ξ,求随机变
量ξ的分布列和均值.
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954
5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
答案：
1.C 解析 由题意可知其均值为3,2和4关于3对称,
所以P(X≤2)=P(X≥4)=0.3,
因此P(X>2)=1-P(X≤2)=0.7.
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzxC0C2
7
C1C1
35
2.解 (1)由题意知,X所有可能取值为0,1,2,则P(X=0)= 5 7= ,P(X=1)= 5 7= ,P(X=2)=
C2 22 C2 66
12 12
C2C0
5
5 7=
,
C2 33
12
所以X的分布列为
X 0 1 2
7 35 5
P
22 66 33
7 35 5 5
所以X的数学期望为E(X)=0× +1× +2× = .
22 66 33 6
(2)记事件A=“游客乙乘坐观光车游园”,事件B=“游客乙骑自行车游园”,事件C=“游客乙步行
游园”,事件M=“游园结束时,乙能参观完所有展园”,由题意可知,
P(A)=0.2,P(B)=0.4,P(C)=0.4,P(M|A)=0.8,P(M|B)=0.4,P(M|C)=0.2,由全概率公式可得
P(M)=P(A)·P(M|A)+P(B)P(M|B)+P(C)P(M|C)=0.4,所以游园结束时,乙能参观完所有展园的概率
为0.4.
3.解 (1)用X表示本次模拟考试甲市成绩,由题可知X近似服从正态分布,即X~N(μ,σ2).
因为甲市平均成绩为65分,所以N=65.
455
因为 =0.022 75,
20 000
1-P(μ-2σ≤X≤μ+2σ) 1-0.954 5
所以P(X>87)=0.022 75.又P(X>μ+2σ)= ≈ =0.022 75,
2 2
所以μ+2σ=65+2σ≈87,即σ≈11,
所以X~N(65,112),
所以μ+σ=65+11=76,
1-P(μ-σ≤X≤μ+σ) 1-0.682 7
所以P(X>76)= ≈ =0.158 65.
2 2
因为甲市学生A在该次考试中成绩为76分,所以甲市成绩高于学生A的学生人数约为20
000×P(X>76)=20 000×0.158 65=3 173,所以学生A在甲市的大致名次为3 174名.
(2)由题可知该省成绩近似服从正态分布,所以在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取1人,
其成绩在[μ-3σ,μ+3σ]之内的概率约为0.997 3,所以其成绩在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率约为0.002 7.
由题可知随机变量Y服从二项分布,即Y~B(40,0.002 7),
所以P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-0.997 340≈1-0.897 5=0.102 5,
E(Y)=40×0.002 7=0.108.
4.解 (1)设A同学答对的题数为X,
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx则随机变量X的所有可能取值为2,3.
C2C1
3
C3
1
则P(X=2)= 3 1= ,P(X=3)= 3= ;
C3 4 C3 4
4 4
设B同学答对的题数为Y,则随机变量Y的所有可能取值为0,1,2,3.
1 1 3 1 9
P(Y=0)=( )3= ,P(Y=1)=C1· ·( )2= ,
4 64 3 4 4 64
3 1 27 3 27
P(Y=2)= C2· ( )2 · = ,P(Y=3)=( )3= .
3 4 4 64 4 64
3 1 3
所以A,B两名同学恰好共答对2个问题的概率为P(X=2)P(Y=0)= × = .
4 64 256
3 1 9 1 9 27 27 9
(2)由(1)知,E(X)=2× +3× = ,E(Y)=0× +1× +2× +3× = ,
4 4 4 64 64 64 64 4
9 3 9 1 3
而D(X)=(2- )2× +(3- )2× = ,
4 4 4 4 16
9 1 9 9 9 27 9 27 9
D(Y)=(0- )2 × +(1- )2 × +(2- )2 × +(3- )2 × = .
4 64 4 64 4 64 4 64 16
因为E(X)=E(Y),D(X)15)=P(X>9+2×3)= ×[1-P(9-6≤X≤9+6)]≈ ×(1-0.954 5)=0.022 75,500×0.022
2 2
75=11.375(万),
估计襄阳市有11.375万市民每年旅游费用支出在15 000元以上.
1
(ⅱ)由(ⅰ)知,μ=9 000,则P(X>9 000)= ,
2
ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
1 1 1 1 3 1 1 3 1 1
P(ξ=0)= C0· (1- )2= ,P(ξ=1)=C1· ·(1- )2= ,P(ξ=2)= C2· ( )2·(1- )= ,P(ξ=3)= C3· ( )3= ;
3 2 8 2 2 2 8 3 2 2 8 3 2 8
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx1 3 3 1
P
8 8 8 8
1 3 3 1 3
所以E(ξ)=0× +1× +2× +3× =
8 8 8 8 2
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468
也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx
