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课时规范练 16 导数概念及其意义、导数运算
基础巩固练
lim f (2+Δx)-f (2)
1.(2024·江苏南通期末)已知函数f(x)=x2,则Δx→0 =( )
Δx
A.1 B.2
C.4 D.6
2.(2025·湖南永州开学考试)曲线f(x)=x2+ln x在点(1,1)处的切线方程是( )
A.3x-y-2=0
B.2x-y-2=0
C.3x+y-2=0
D.2x+y-2=0
3.(2024·河南郑州期中)已知f(x)=3f'(1)x-x2+ln x+1,则f(1)=( )
1 5
A. B.
2 2
3
C. D.0
2
4.(2025·安徽开学考试)已知直线y=ax与曲线f(x)=ln(x+b)相切于点(0,f(0)),则a+b的值
为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
5.(多选题)(2024·浙江嘉兴模拟)下列求导运算错误的是( )
A.若f(x)=cos x,则f'(x)=-sin x
B.若f(x)=e-2x+1,则f'(x)=e-2x+1
x 1-x
C.若f(x)= ,则f'(x)=
ex ex
1
D.若f(x)=xln x,则f'(x)=
x
6.(多选题)(2024·江苏无锡模拟)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两
点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )
A.y=cos x
B.y=ln x
C.y=ex
D.y=x2
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx7.(2024·广东广州模拟)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=x3-xf'(2),则曲线y=f(x)
在点(2,f(2))处的切线方程为 .
1
8.已知直线l与曲线C :y=x2和C :y=- 均相切,则该直线与两坐标轴围成的三角形的面
1 2
x
积为 .
9.(2025·浙江开学考试)曲线f(x)=ex在x=0处的切线恰好是曲线g(x)=ln(x+a)的切线,则实
数a= .
lnx
10.(15分)设直线l为曲线C:y= 在点(1,0)处的切线.
x
(1)求直线l的方程;
(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方.
综合提升练
11.(2024·江西上饶模拟)函数f(x)的图象如图所示,下列数值排序正确的是( )
A.f'(1)>f'(2)>f'(3)>0
B.f'(1)f'(1)>f'(2)>f'(3)
12.(多选题)若直线y=3x+m是曲线y=x3(x>0)与曲线y=-x2+nx-6(x>0)的公切线,则 (
)
A.m=-2
B.m=-1
C.n=6
D.n=7
13.(多选题)(2024·辽宁沈阳模拟)下列四条曲线中,直线y=2x与其相切的有( )
A.y=2ex-2
B.y=2sin x
1
C.y=3x+
x
D.y=x3-x-2
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx14.(2024·湖南长沙联考)过点(2,0)作曲线f(x)=xex的两条切线,切点分别为(x ,f(x )),
1 1
(x ,f(x )),则x +x =( )
2 2 1 2
A.-2 B.-√2
C.√2 D.2
1
15.(2024·河南新乡模拟)在曲线y=2x3- 的所有切线中,与直线y=7x+6平行的共有( )
x
A.4条 B.3条
C.2条 D.1条
lnx
16.若曲线f(x)= 与曲线g(x)=ax2(a>0)有公共点,且在公共点处有公切线,则实数a=
x
.
17.(15分)已知f(x)=f'(1)x2-x+2ln x.
(1)求f'(1)并写出f(x)的表达式;
1
(2)记g(x)= (f(x)+x2+x)+a,若曲线y=ex+2x在点(0,1)处的切线也是曲线g(x)的切线,求a
2
的值.
创新应用练
18.(2024·广东佛山期中)经过曲线y=7x3-x与y=-x3-5x+3的公共点,且与曲线f(x)=ex+1和
g(x)=ex+1的公切线l垂直的直线方程为( )
A.8x+8y+7=0
B.8x+8y-7=0
C.8x-8y+1=0
D.8x-8y-1=0
19.(2024·福建厦门模拟)已知函数f(x)=x2+aln x的图象有两条与直线y=2x平行的切线,
x x
且切点坐标分别为P(x ,f(x )),Q(x ,f(x )),则 1 2 的取值范围是
1 1 2 2
x +x
1 2
.
答案：
lim f (2+Δx)-f (2)
1.C 解析 由题意Δx→0 =f'(2),因为f(x)=x2,所以f'(x)=2x,即f'(2)=4.故选C.
Δx
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2.A 解析 由f(x)=x2+ln x,得f'(x)=2x+ ,所以f'(1)=2+1=3,所以曲线f(x)=x2+ln x在点(1,1)处的
x
切线方程是y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.故选A.
1 1
3.C 解析 因为f(x)=3f'(1)x-x2+ln x+1,则f'(x)=3f'(1)-2x+ ,所以f'(1)=3f'(1)-2+1,解得f'(1)= ,所
x 2
3
以f(1)=3f'(1)-1+1=
.
故选C.
2
4.B 解析 由题意,直线y=ax与曲线f(x)=ln(x+b)相切于点(0,f(0)),即切点为(0,0),所以ln b=0,解
1
得b=1,所以f(x)=ln(x+1),则f'(x)= ,可得f'(0)=1,即切线的斜率为1,所以a=1,所以a+b=2.故
x+1
选B.
5.BD 解析 对于A,f'(x)=(cos x)'=-sin x,故A正确;对于B,f'(x)=e-2x+1·(-2x+1)'=-2e-2x+1,故B错误;
ex(1-x) 1-x 1
对于C,f'(x)= = ,故C正确;对于D,f'(x)=ln x+x· =ln x+1,故D错误.故选BD.
e2x ex x
6.AD 解析 由题意y=f(x)具有T性质,则存在x ,x ,使得f'(x )f'(x )=-1.
1 2 1 2
π π
对于A,f'(x)=-sin x,存在x = ,x =- ,使得f'(x )f'(x )=-1,A正确;
1 2 1 2
2 2
1
对于B,f'(x)= >0,不存在x ,x ,使得f'(x )f'(x )=-1,B错误;
1 2 1 2
x
对于C,f'(x)=ex>0,不存在x ,x ,使得f'(x )f'(x )=-1,C错误;
1 2 1 2
1
对于D,f'(x)=2x,存在x =1,x =- ,使得f'(x )f'(x )=4x x =-1,D正确.故选AD.
1 2 1 2 1 2
4
7.6x-y-16=0 解析 对函数f(x)=x3-xf'(2),求导可得f'(x)=3x2-f'(2),得f'(2)=3×22-f'(2),因而切线的斜
率k=f'(2)=6,又f(2)=23-2×f'(2)=8-12=-4,可得切线方程为y+4=6(x-2),即6x-y-16=0.
1 1
8.2 解析 由已知得函数y=x2与y=- 的导函数分别为y'=2x,y'= .设C ,C 上的切点分别为
1 2
x x2
y - y x2+ 1 { x 1 =2,y 1 =4,
(x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 ),则有 x 1 -x 2=2x 1 = 1 = 1 x 2 ,解得 x = 1 ,y =-2, 故l:y=4x-4,l与坐标轴的交点
1 2 x2 x -x 2 2 2
2 1 2
1
分别为(1,0),(0,-4),则围成的三角形的面积为 ×1×4=2.
2
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx9.2 解析 对于f(x)=ex,易知f'(x)=ex,曲线f(x)=ex在x=0处的切线斜率为k=e0=1,切点为(0,1),则
1
曲线f(x)=ex在x=0处的切线方程为y=x+1,显然g'(x)= ,设直线y=x+1与曲线g(x)=ln(x+a)
x+a
{ 1
=1, {x =-1,
相切的切点为(x ,ln(x +a)),由 x +a 解得 0
0 0 0 a=2.
ln(x +a)=x +1,
0 0
lnx 1-lnx
10.(1)解 设f(x)= ,则f'(x)= ,所以f'(1)=1,所以直线l的方程为y=x-1.
x x2
(2)证明 令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线l的下方等价于g(x)>0( x>0,x≠1).
x2-1+lnx
g(x)满足g(1)=0,且g'(x)=1-f'(x)= . ∀
x2
当01时,x2-1>0,ln x>0,所以g'(x)>0,故
g(x)单调递增.
所以g(x)>g(1)=0( x>0,x≠1).
所以除切点之外,曲线C在直线l下方.
∀
11.D 解析 作曲线在点(1,f(1)),(2,f(2)),(3,f(3))处的切线(图略),记其斜率依次为k ,k ,k ,结合图象
1 2 3
可得0>k >k >k ,由导数的几何意义可得k =f'(1),k =f'(2),k =f'(3),所以0>f'(1)>f'(2)>f'(3).故选D.
1 2 3 1 2 3
12.AD 解析 设直线y=3x+m与曲线y=x3(x>0)相切于点(a,a3),与曲线y=-x2+nx-6(x>0)相切于点
(b,3b+m),对于函数y=x3(x>0),y'=3x2,则3a2=3(a>0),解得a=1.所以13=3+m,即m=-2.对于函数
y=-x2+nx-6(x>0),y'=-2x+n,则-2b+n=3(b>0),又-b2+nb-6=3b-2,所以-b2+b(3+2b)-6=3b-2,又b>0,所
以b=2,n=7.
13.ABD 解析 直线y=2x的斜率为k=2.
A选项中,y'=2ex,令2ex=2,得x=0,当x=0时,y=0,因为点(0,0)在直线y=2x上,所以直线y=2x与曲
线y=2ex-2相切;B选项中,y'=2cos x,令2cos x=2,得x=2kπ(k∈Z),当x=2kπ时,y=0,因为点(0,0)在直
1 1
线y=2x上,所以直线y=2x与曲线y=2sin x相切;C选项中,y'=3- ,令3- =2,得x=±1,当x=1时,
x2 x2
1
y=4,当x=-1时,y=-4,因为(1,4),(-1,-4)都不在直线y=2x上,所以直线y=2x与曲线y=3x+ 不相
x
切;D选项中,y'=3x2-1=2,得x=±1,当x=1时,y=-2,当x=-1时,y=-2,其中(-1,-2)在直线y=2x上,所以
直线y=2x与曲线y=x3-x-2相切.故选ABD.
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx14.D 解析 由题意得f'(x)=(x+1)ex,过点(2,0)作曲线f(x)=xex的两条切线,设切点坐标为(x
0
,x
0
ex 0),
x ex 0
则(x
0
+1)ex 0=
x
0
-2
,即(x2
0
-2x
0
-2)ex 0=0,由于ex 0>0,故x2
0
-2x
0
-2=0,Δ=12>0,由题意可知x
1
,x
2
为x2
0
-2x
0
-
0
2=0的两个实数解,故x +x =2,故选D.
1 2
1 1 √6
15.B 解析 由y'=6x2+ ,令6x2+ =7,得x=±1或x=± .当x=1时,切点为(1,1),不在直线
x2 x2 6
y=7x+6上,切线不与直线y=7x+6重合,满足题意;当x=-1时,切点为(-1,-1),在直线y=7x+6上,切
√6 √6 17√6
线与直线y=7x+6重合,舍去;当x= 时,切点为( ,- ),不在直线y=7x+6上,切线不与直线
6 6 18
√6 √6 17√6
y=7x+6重合,满足题意;当x=- 时,切点为(- , ),不在直线y=7x+6上,切线不与直线
6 6 18
1
y=7x+6重合,满足题意.故在曲线y=2x3- 的所有切线中,与直线y=7x+6平行的共有3条,故选B.
x
1 lnx lnx
16. 解析 f(x)= 的定义域为(0,+∞),设曲线f(x)= 与曲线g(x)=ax2(a>0)的公共点为
3e x x
ln x
(x ,y )(x >0),则f(x )=g(x ),即 0=ax2①.
0 0 0 0 0 x 0
0
1-lnx 1-ln x
又f'(x)= ,g'(x)=2ax,且两曲线在公共点(x ,y )处有公切线,则f'(x )=g'(x ),即 0
x2 0 0 0 0 x2
0
1
=2ax ②,①②联立消去a,得2ln x =1-ln x ,解得x = 1 ,代入①可得a= ln x 0= ln e3 = 1 .
0 0 0 0 e3
x3 1 3e
0 (e3)3
2
17.解 (1)由f(x)=f'(1)x2-x+2ln x,求导可得f'(x)=2f'(1)x-1+ ,由f'(1)=2f'(1)-1+2,解得f'(1)=-1,则
x
f(x)=-x2-x+2ln x.
1 1
(2)g(x)= (f(x)+x2+x)+a=ln x+a,求导可得g'(x)= ,由y=ex+2x,得y'=ex+2,故曲线y=ex+2x在点
2 x
(0,1)处的切线斜率k=e0+2=3,所以曲线y=ex+2x在(0,1)处的切线方程为y-1=3(x-0),化简可得
1 1 1 1
y=3x+1,令g'(x)= =3,解得x= ,将其代入切线方程y=3x+1可得y=2,代入g(x)得g( )=ln +a,
x 3 3 3
1
所以ln +a=2,解得a=2+ln 3.
3
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx{ y=7x3-x,
18.B 解析 由 消去y整理得8x3+4x-3=0.
y=-x3-5x+3,
1 1 1
令F(x)=8x3+4x-3,则F'(x)=24x2+4>0,所以F(x)=8x3+4x-3在R上单调递增,又F( )=8×( )3+4×
2 2 2
1
{x= ,
{ y=7x3-x, 2
-3=0,所以方程组 的解为 即曲线y=7x3-x与y=-x3-5x+3的公共点的坐标
y=-x3-5x+3 3
y= ,
8
1 3
为( , ).
2 8
设直线l与曲线f(x)=ex+1和曲线g(x)=ex+1分别相切于(x 1 ,ex 1+1),(x 2 ,ex 2 +1),而f'(x)=ex,g'(x)=ex+1,所
{
ex 1=ex
2
+1,
{ x =0,
以f'(x 1 )=ex 1,g'(x 2 )=ex 2 +1,所以 ex 2 +1-ex 1-1 =ex 1, 解得 x 1 =-1,
x -x 2
2 1
3
所以f'(0)=e0=1,即公切线l的斜率为1,故与l垂直的直线的斜率为-1,所以所求直线方程为y- =-
8
1
(x- ),整理得8x+8y-7=0.故选B.
2
1 a
19.(0, ) 解析 由题意可知f(x)=x2+aln x的定义域为(0,+∞),所以x ,x ∈(0,+∞),f'(x)=2x+ ,当切
1 2
4 x
a a
点为P(x ,f(x ))时,切线斜率为2x + ,当切点为Q(x ,f(x ))时,切线斜率为2x + ,因为两条切线与
1 1 1 2 2 2
x x
1 2
a a
直线y=2x平行,所以2x
1
+ =2,2x
2
+ =2,即2x2-2x
1
+a=0,2x2-2x
2
+a=0,所以x
1
,x
2
是关于方程
x x 1 2
1 2
1 a 1
2x2-2x+a=0的两个正实数根,由Δ=(-2)2-4×2a>0,得a< ,又x +x =1,x x = >0,可得0
