文档内容
课时规范练 33 平面向量的数量积
基础巩固练
1.(2024·安徽马鞍山期末)已知向量a=(x,-2),b=(2,1),且a⊥b,则x=( )
A.-4 B.4
C.-1 D.1
2.(2025·上海开学考试)设a,b是非零向量,则“a·b>0”是“为锐角”的( )条件.
A.充要
B.充分不必要
C.必要不充分
D.既不充分也不必要
3.(2022·全国乙,理3)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=√3,|a-2b|=3,则a·b=( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
4.(2025·浙江开学考试)已知|a|=|b|=1,|2a+b|=√2,则a在b上的投影向量为( )
√3 √3
A. b B.- b
2 2
3 3
C. b D.- b
4 4
5.(2025·湖南衡阳开学考试)已知向量a=(3,1),b=(5,2),若(xa+2b)⊥(2a+b),则x=( )
126
A.-16 B.
37
126
C.- D.16
37
6.(多选题)(2024·山东济南模拟)已知平面向量a=(1,3),b=(-2,1),则( )
A.|a|=√10
B.(2a-b)⊥b
C.a与b的夹角为钝角
√5
D.a在b上的投影向量的模为
5
7.(多选题)(2025·湖南郴州开学考试)设向量a=(3,k),b=(2,-1),则下列说法错误的是( )
A.若a与b的夹角为钝角,则k>6
B.|a|的最小值为9
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx√2 √2
C.与b共线的单位向量只有一个,为( ,- )
2 2
D.若|a|=3|b|,则k=±6
8.(2024·福建厦门模拟)平面上的三个力F ,F ,F 作用于同一点,且处于平衡状态.已知
1 2 3
F =(1,0),|F |=2,=120°,则|F |=( )
1 2 1 2 3
1
A. B.1
2
C.√3 D.2
9.(2024·山东威海模拟)已知向量a=(2,1),b=(0,1),c=a+tb,若a·c=6,则t= .
10.(2025·广东潮州开学考试)如图,在正八边形ABCDEFGH中,AB=1,O为正八边形的中
心,则⃗AB·⃗HD= .
综合提升练
11.(2024·上海宝山模拟)如图是某一自行车的平面结构示意图,已知图中的圆A(前轮),圆
D(后轮)的半径均为√3, ABE, BEC, ECD均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮圆
上的一点,则在骑动该自行车的过程中,⃗AC·⃗BP的最大值为( )
△ △ △
A.18 B.24
C.36 D.48
2π
12.(2024·安徽淮南模拟)在△ABC中,已知∠ACB= ,BC=4,AC=3,D是边AB的中点,点
3
3 1
E满足⃗AE= ⃗AB+ ⃗AC,则 ⃗CD·⃗DE =( )
4 4
5
A.- B.-1
8
1 1
C. D.
2 8
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx13.(2025·江苏徐州模拟)已知点A(-2,0),B(2,0),若圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上存在点M满足
⃗MA·⃗MB=5,则实数a的取值范围是 .
14.(13分)(2024·浙江宁波期中)已知平面向量⃗OA,⃗OB,⃗OC满足|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|=
π
⃗OA·⃗OB =2,且<⃗OA,⃗OC >+<⃗OB,⃗OC >= .若x,y∈R,求|x⃗OA -y⃗OB |+|x⃗OA−⃗OC |+|y
3
⃗OB−⃗OC|的最小值.
15.(13分)(2025·河南期中)如图,我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox,Oy构成的坐
标系,称为“完美坐标系”.设e ,e 分别为与Ox,Oy方向相同的单位向量,若向量⃗OP
1 2
=xe +ye ,则把实数对[x,y]叫做向量⃗OP的“完美坐标”.
1 2
(1)若向量⃗OP的“完美坐标”为[3,4],求|⃗OP|;
1
(2)已知[x ,y ],[x ,y ]分别为向量a,b的“完美坐标”,证明:a·b=x x +y y + (x y +x y );
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
2
(3)若向量a,b的“完美坐标”分别为[sin x,1],[cos x,1],设函数f(x)=a·b,x∈R,求f(x)的值
域.
创新应用练
2
16.(多选题)(2025·四川巴中开学考试)如图,在边长为3的等边三角形ABC中,⃗AD= ⃗AC,
3
且点P在以AD中点O为圆心,OA为半径的半圆上,包括半圆弧的两个端点.⃗BP=x⃗BA+y
⃗BC,则下列说法正确的是( )
A.
1≤x≤1
3
1 2
B.⃗BD= ⃗BA+ ⃗BC
3 3
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzxC. 9 ≤⃗BP·⃗BC ≤9
2
2√3
D.x+y的最大值为 +1
9
答案：
1.D 解析 因为a⊥b,故2x-2=0,即x=1,故选D.
2.C 解析 当为锐角时,a·b=|a|·|b|cos>0,所以“a·b>0”是“为锐角”的必要条
π
件;当a·b=|a|·|b|cos>0时,0≤< ,所以“a·b>0”是“为锐角”的不充分条件.所
2
以“a·b>0”是“为锐角”的必要不充分条件.故选C.
3.C 解析 由已知得|a-2b|2=|a|2+4|b|2-4a·b=1+12-4a·b=9,解得a·b=1.
3
4.D 解析 由|a|=|b|=1,|2a+b|= ,可得|2a+b|2=4a2+b2+4a·b=4+1+4a·b=2,解得a·b=- ,则a在
√2
4
a·b b 3
b上的投影向量为 · =- b.故选D.
|b| |b| 4
5.C 解析 因为a=(3,1),b=(5,2),
所以xa+2b=x(3,1)+2(5,2)=(3x+10,x+4),2a+b=2(3,1)+(5,2)=(11,4).
因为(xa+2b)⊥(2a+b),所以(xa+2b)·(2a+b)=0,即(3x+10,x+4)·(11,4)=0,即11(3x+10)+4(x+4)=0,
126
即37x+126=0,所以x=-
.
故选C.
37
6.AD 解析 A选项,|a|=√12+32=√10,A正确;B选项,2a-b=(2,6)-(-2,1)=(4,5),故(2a-
b)·b=(4,5)·(-2,1)=-8+5=-3≠0,故2a-b与b不垂直,B错误;C选项,cos=
a·b (1,3)·(-2,1) 1 √2
= = = >0,故a与b的夹角为锐角,C错误;D选项,a在b上的
|a||b| √1+9×√4+1 5√2 10
|a·b| |(1,3)·(-2,1)| √5
投影向量的模为 = = ,D正确.故选AD.
|b| √4+1 5
7.BC 解析 对于A,因为a与b的夹角为钝角,故a·b<0且a,b不反向共线,则a·b=(3,k)·(2,-1)=6-
3
k<0且-3-2k≠0,解得k>6且k≠- ,综上,k>6,A正确;对于B,|a|=√9+k2≥ 3,当且仅当k=0时,等号成
2
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立,故|a|的最小值为3,B错误;对于C,|b|=√4+1=√5,与b共线的单位向量有2个,为±( ,
√5 √5
2√5 √5
)=±( ,- ),C错误;对于D,若|a|=3|b|,则 √9+k2=3
√5
,解得k=±6,D正确.故选BC.
5 5
8.C 解析 由已知,可得F +F +F =0,所以F =-(F +F ).
1 2 3 3 1 2
1
因为F =(1,0),所以|F |=1,所以F ·F =|F |·|F |cos=1×2×(- )=-1,所以|F |2=
1 1 1 2 1 2 1 2 3
2
F2=(F +F )2=|F |2+|F |2+2F ·F =1+4-2=3,所以|F |=√3.
3 1 2 1 2 1 2 3
9.1 解析 由题意知,c=a+tb=(2,1+t),因为a·c=6,所以a·c=2×2+(1+t)=6,解得t=1.
10.1+√2 解析 在正八边形ABCDEFGH中,连接HC,则易知HC∥AB,
而∠ABC=135°,即∠BCH=45°,于是∠HCD=90°.在等腰梯形ABCH中,CH=1+2×1×cos 45°=1+
√2,所以⃗AB·⃗HD=1×|⃗HD|cos∠CHD=|⃗HC|=1+√2.
11.C 解析 骑行过程中,点A,B,C,D,E相对位置不动,只有点P绕点D做圆周运动.
如图,以直线AD为x轴,过点E垂直于AD的直线为y轴,E为坐标原点建立平面直角坐标系.
由题意A(-4,0),B(-2,2√3),C(2,2√3),圆D的方程为(x-4)2+y2=3.
设P(4+√3cos α,√3sin α),其中α是参数,且0≤α≤2π.则⃗AC=(6,2√3),⃗BP=(6+√3cos α,√3sin α-2
1 √3
√3),⃗AC·⃗BP =6(6+√3cos α)+2√3(√3sin α-2√3)=6√3cos α+6sin α+24=12( sin α+ cos α)
2 2
π π π
+24=12sin(α+ )+24,易知当sin(α+ )=1,即α= 时,⃗AC·⃗BP 取得最大值36.故选C.
3 3 6
1 3 1
12.C 解析 ∵D为AB的中点,∴⃗CD= (⃗CA+⃗CB),∵⃗AE= ⃗AB+ ⃗AC,
2 4 4
3 3 1 1 3 1 3
∴ ⃗AE− ⃗AB= ⃗AC− ⃗AE,即 ⃗BE= ⃗EC,∴⃗CE= ⃗CB,如图所示.
4 4 4 4 4 4 4
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∴⃗DE=⃗DC+⃗CE =- (⃗CA+⃗CB)+ ⃗CB= ⃗CB− ⃗CA,∴⃗CD·⃗DE= (⃗CA+⃗CB)·( ⃗CB− ⃗CA
2 4 4 2 2 4 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
)= ⃗CA·⃗CB− ⃗CA2+ ⃗CB2− ⃗CA·⃗CB=- ⃗CA2+ ⃗CB2− ⃗CA·⃗CB=- ×9+ ×16- ×
8 4 8 4 4 8 8 4 8 8
2π 1
3×4cos = .
3 2
√23+1 √23-1
13.[- , ] 解析 圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1的圆心为C(a-1,a+2),半径为r=1,
2 2
⃗MA=⃗MO+⃗OA,⃗MB=⃗MO+⃗OB=⃗MO−⃗OA,其中O为坐标原点.可得⃗MA·⃗MB=(⃗MO+⃗OA)·(
⃗MO−⃗OA)=⃗MO2−⃗OA2=⃗MO2-4=5,则|⃗MO|=3.所以点M的轨迹为以O(0,0)为圆心,半径R=3的
圆.由题意可知圆C与圆O有公共点,则R-r≤|OC|≤R+r,即2≤√(a-1)2+(a+2)2≤4,解得-
√23+1 √23-1 √23+1 √23-1
≤a≤ ,所以实数a的取值范围是[- , ].
2 2 2 2
14.解 由题意可知⃗OA·⃗OB=|⃗OA|·|⃗OB|cos<⃗OA,⃗OB>=4cos<⃗OA,⃗OB>=2,
1 π
解得cos<⃗OA,⃗OB >= ,根据向量夹角的取值范围知<⃗OA,⃗OB >= . 如图所示建立平面直角坐
2 3
标系,
不妨令A(2,0),B(1,√3),以原点为圆心,半径为2作圆.
π
因为<⃗OA,⃗OC >+<⃗OB,⃗OC >= ,则点C在劣弧 上.设x⃗OA=⃗OD ,y⃗OB=⃗OE ,则|x⃗OA -y⃗OB |+|
AB
3
⏜
x⃗OA−⃗OC|+|y⃗OB−⃗OC|=|⃗ED|+|⃗CD|+|⃗CE|,关于直线OB,OA分别作点C的对称点C',C″,连接
C'C″,
2π
易知C',C″在圆上,且∠C'OC″=
.
3
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx根据对称性可知|⃗ED|+|⃗CD|+|⃗CE|=|⃗ED|+|⃗C″D|+|⃗C'E|≥|C'C″|,当且仅当C',C″,D,E四点共
线时取得等号.由余弦定理知|C'C″|= √ 22+22-2×2×2cos 2π =2√3.
3
15.解 (1)因为⃗OP的“完美坐标”为[3,4],则⃗OP=3e +4e ,又因为e ,e 分别为与Ox,Oy方向相同
1 2 1 2
1
的单位向量,且夹角为60°,所以|e
1
|=|e
2
|=1,e
1
·e
2
=|e
1
||e
2
|·cos 60°= ,所以|⃗OP |=
2
√ 1
√(3e +4e )2=√9e2+24e ·e +16e2= 9+24× +16=√37.
1 2 1 1 2 2 2
1 1
(2)由(1)知e
1
·e
2
= ,所以a·b=(x
1
e
1
+y
1
e
2
)·(x
2
e
1
+y
2
e
2
)=x
1
x 2e2+x
1
y
2
e
1
·e
2
+x
2
y
1
e
1
·e
2
+y
1
y 2e2=x
1
x
2
+y
1
y
2
+
2 1 2 2
(x y +x y ),
1 2 2 1
1
即a·b=x x +y y + (x y +x y ).
1 2 1 2 1 2 2 1
2
1
(3)因为向量a,b的“完美坐标”分别为[sin x,1],[cos x,1],由(2)得f(x)=a·b=sin xcos x+1+ (sin
2
x+cos x).
π 1 π
令t=sin x+cos x= sin(x+ ),则sin xcos x= (t2-1),因为x∈R,所以- sin(x+ ) ,即-
√2 √2≤√2 ≤√2
4 2 4
1 1 1 1 1 3
t ,令g(t)= (t2-1)+1+ t= (t2+t+1)= (t+ )2+ (- t ),因为g(t)的图象是对称轴为
√2≤ ≤√2 √2≤ ≤√2
2 2 2 2 2 8
1
直线t=- ,开口向上的抛物线的一部分,
2
1 1 3 1
所以当t=- ∈[-
√2,√2
]时,g(t)取得最小值g(- )= ,当t=
√2
时,g(t)取得最大值g(
√2
)= ×(2+
2 2 8 2
3+√2 3 3+√2
√2+1)= ,所以f(x)的值域为[ , ].
2 8 2
2 1
16.BCD 解析 对于B,因为⃗AD= ⃗AC,且点P在半圆上,所以在三角形ABC中,OA=OD=DC=
3 3
1 1 1 2
AC=1,则⃗BD=⃗BC+⃗CD=⃗BC+ ⃗CA=⃗BC+ (⃗BA−⃗BC)= ⃗BA+ ⃗BC,故B正确;
3 3 3 3
对于C,如图,以O为坐标原点,以直线AC为x轴,以过点O垂直于AC的直线为y轴建立平面直
角坐标系,
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则A(-1,0),B( , ),C(2,0).因为点P在以AD的中点O为圆心,OA为半径的半圆上且包括半圆
2 2
1
弧的两个端点,所以点P的轨迹方程为x2+y2=1(y≤0).设P(cos α,sin α),α∈[π,2π],则 ⃗BP =(cos α-
2
3√3 3 3√3 3 3√3 3 3 3√3 27
,sin α- ),⃗BC =( ,- ),⃗BA =(- ,- ),所以⃗BP·⃗BC= cos α- − sin α+ =3cos(α+
2 2 2 2 2 2 4 2 4
π π 4π 7π π 1 9 π
)+6.因为α∈[π,2π],所以α+ ∈[ , ],所以cos(α+ )∈[- ,1],所以 ≤3cos(α+ )+6≤9,
3 3 3 3 3 2 2 3
9 1 3√3 3 3√3
即 ≤⃗BP·⃗BC≤9,故C正确;对于A,因为⃗BP =x⃗BA +y⃗BC ,所以(cos α- ,sin α- )=x(- ,- )
2 2 2 2 2
3 3√3 1 3√3 3 3√3 3√3 3√3 1
+y( ,- ),即(cos α- ,sin α- )=(- (x-y),- (x+y)),所以sin α- =- (x+y),cos α-
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 2√3 2 1 √3 1 2 2√3 π 2
=- (x-y),所以x+y=- sin α+1,x-y=- cos α+ ,则x=- sin α- cos α+ =- sin(α+ )+ .
2 9 3 3 9 3 3 9 3 3
π 4π 7π π √3 1 2√3 π
因为α∈[π,2π],所以α+ ∈[ , ],所以sin(α+ )∈[-1, ],所以 ≤- sin(α+ )+
3 3 3 3 2 3 9 3
2 2√3 2 1 2√3 2 2√3
≤ + ,即 ≤x≤ + ,故A错误;对于D,x+y=- sin α+1.因为α∈[π,2π],所以当α=
3 9 3 3 9 3 9
3π 2√3
时,x+y取得最大值 +1,故D正确.故选BCD
2 9
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