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课时规范练 32 平面向量基本定理及向量坐标
运算
基础巩固练
1.(2025·八省联考,4)已知向量a=(0,1),b=(1,0),则a·(a-b)=( )
A.2 B.1
C.0 D.-1
2.(2024·江苏苏州期中)已知D是△ABC的边BC上的点,且⃗BC=3⃗BD,则⃗AD=( )
1 1
A. ⃗AB−⃗AC B. ⃗AB− ⃗AC
3 3
2 1
C. ⃗AB+ ⃗AC D. ⃗AB+⃗AC
3 3
3.(2024·广东期中)已知向量a=(-1,2),b=(2,1-m),且a∥b,则m=( )
A.0 B.-2
C.-3 D.5
4.(2024·江苏南京宁海中学校考)已知非零向量e ,e 不共线,如果⃗AB=e +e ,⃗AC=-3e +7e ,
1 2 1 2 1 2
⃗AD=2e -3e ,则四点A,B,C,D( )
1 2
A.一定共线
B.恰是空间四边形的四个顶点
C.一定共面
D.肯定不共面
5.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,用基底{a,b}表示c,则( )
A.c=2a-3b B.c=-2a-3b
C.c=-3a+2b D.c=3a-2b
6.(多选题)用下列e ,e 能表示向量a=(3,2)的是( )
1 2
A.e =(6,4),e =(9,6)
1 2
B.e =(-1,2),e =(5,-2)
1 2
C.e =(3,5),e =(6,10)
1 2
D.e =(2,-3),e =(-2,3)
1 2
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx7.(2024·山东济宁模拟)已知平面向量a=(-1,2),b=(m,-3),若a+2b与a共线,则m=
.
8.已知在平面直角坐标系中,点P (0,1),P (2,5),当P是线段P P 靠近P 的一个四等分点
1 2 1 2 1
时,点P的坐标为 .
9.如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC和OB的交点P的坐标是 .
10.(13分)(2024·北京期中)设e ,e 是两个不共线的向量,已知⃗AB=2e -8e ,⃗CB=e +3e ,⃗CD
1 2 1 2 1 2
=2e -e .
1 2
(1)求证:A,B,D三点共线;
(2)若⃗BF=3e -ke ,且B,D,F三点共线,求k的值.
1 2
综合提升练
11.(2024·广东珠海模拟)古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中,提
到了蜂巢,称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构,从而储
存更多的蜂蜜,提升了空间利用率,体现了动物的智慧,得到世人的认可.已知蜂巢结构的
平面图形如图所示,则⃗AB=( )
3 5 5 3
A.- ⃗CE+ ⃗DE B.- ⃗CE+ ⃗DE
2 6 6 2
2 5 5 2
C.- ⃗CE+ ⃗DE D.- ⃗CE+ ⃗DE
3 6 6 3
12.(多选题)(2024·广东佛山检测)一个平行四边形的三个顶点坐标分别是(5,7),(-3,5),
(3,4),则第四个顶点的坐标可能是( )
A.(-1,8) B.(-5,2)
C.(11,6) D.(5,2)
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx13.(多选题)(2024·广东中山期中)如图,在△ABC中,D为BC的中点,⃗AE=2⃗EC,AD与BE
交于点F,若⃗CF=x⃗AB+y⃗AC,则下面对于x,y的描述正确的是( )
A.2x+3y=-1 B.2x-3y=1
C.x-y=1 D.x+y=-1
14.(2024·四川自贡期末)如图,在平面四边形ABCD中,∠CBA=∠CAD=90°,∠ACD
1
=30°,AB=BC,点E在线段BC上满足⃗BE= ⃗EC,若 ⃗AC =λ⃗AD +μ⃗AE (λ,μ∈R),则λμ=
2
.
15.(2024·江西赣州模拟)在平行四边形ABCD中,点E,F分别满足⃗DC=2⃗DE=4⃗EF,
⃗BC=2⃗BG,若⃗AF=λ⃗AE+μ⃗AG,则λ+μ= .
16.(13分)(2024·江西南昌模拟)如图,在平行四边形ABCD中,点E是AB的中点,F,G是
2 2
AD,BC的三等分点.其中AF= AD,BG= BC,设 ⃗AB =a,⃗AD =b.
3 3
(1)用a,b表示⃗EF,⃗EG;
4
(2)如果|a|= |b|,用向量的方法证明:EF⊥EG.
3
创新应用练
17.(多选题)(2024·河北保定期末)设Ox,Oy是平面内相交的两条数轴,其中∠xOy=θ
π
(0<θ<π且θ≠ ),e ,e 分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若平面向量a满足
1 2
2
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzxa=xe +ye ,则有序数对(x,y)称为向量a在“仿射”坐标系xOy下的“仿射”坐标,记作
1 2
a=(x,y)θ,则下列命题中是真命题的是( )
π
A.已知a=(2,3) ,则|a|=
√13
3
B.已知a=(x ,y )θ,b=(x ,y )θ,则a+b=(x +x ,y +y )θ
1 1 2 2 1 2 1 2
π π
C.已知a=(-1,2) ,b=(2,1) ,则a·b=0
3 3
D.已知a=(x ,y )θ,b=(x ,y )θ,若a∥b,则x ·y =x ·y
1 1 2 2 2 1 1 2
答案：
1.B 解析 ∵a=(0,1),b=(1,0),∴a-b=(-1,1),∴a·(a-b)=0×(-1)+1×1=1.故选B.
2.C 解析 因为⃗BC=3⃗BD,
所以⃗AC−⃗AB=3(⃗AD−⃗AB),
2 1
所以⃗AD= ⃗AB+ ⃗AC.
3 3
3.D 解析 向量a=(-1,2),b=(2,1-m),且a∥b,则有-1×(1-m)=2×2,解得m=5.故选D.
4.C 解析 因为非零向量e ,e 不共线,所以⃗AC+2⃗AD=(-3e +7e )+2(2e -3e )=e +e =⃗AB,由平面
1 2 1 2 1 2 1 2
向量基本定理可知,四点A,B,C,D共面.
5.D 解析 建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形网格的边长为1,则
A(1,0),B(2,1),C(0,4),D(7,1),所以a=(1,1),b=(-2,3),c=(7,-3).设向量c=ma+nb,m,n∈R,则
{m-2n=7, {m=3,
c=ma+nb=(m-2n,m+3n)=(7,-3),所以 解得 故c=3a-2b.故选D.
m+3n=-3, n=-2,
6.AB 解析 可用e ,e 能表示向量a=(3,2),有两种可能:要么e ∥e ∥a,要么e ,e 不共线.A选项
1 2 1 2 1 2
中,满足e ∥e ∥a,正确;B选项中,(-1)×(-2)≠2×5,e ,e 不共线,能构成一组基底,所以能表示平面内
1 2 1 2
包括a的任意向量;C,D选项中,都有e ∥e ,但都不与a平行,所以无法用e ,e 表示a.故选AB.
1 2 1 2
3 3
7. 解析 a=(-1,2),b=(m,-3),则a+2b=(-1+2m,-4),又(a+2b)∥a,故4=2(-1+2m),解得m= .
2 2
1 1
8.( ,2) 解析 因为P是线段P 1 P 2 靠近P 1 的一个四等分点,所以⃗P P= ⃗P P ,
2 1 4 1 2
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{ x= ×2, { 1
1 4 x= , 1
设P(x,y),则有(x,y-1)= (2,4) P( ,2).
⇒ ⇒ 2 ⇒
4 1 2
y-1= ×4 y=2
4
x y
9.(3,3) 解析 设P(x,y),则 ⃗OP =(x,y),因为 ⃗OB =(4,4),且 ⃗OP与⃗OB 共线,所以 = ,即x=y.
4 4
又⃗AP=(x-4,y),⃗AC=(-2,6),且⃗AP与⃗AC共线,则得(x-4)·6-y·(-2)=0,解得x=y=3,所以点P的坐标为
(3,3).
10.(1)证明 由已知得⃗BD=⃗CD−⃗CB=(2e -e )-(e +3e )=e -4e ,
1 2 1 2 1 2
∵⃗AB=2e
1
-8e
2
,∴⃗AB=2⃗BD.又∵AB与BD有公共点B,∴A,B,D三点共线.
(2)解 由(1)可知⃗BD=e -4e ,
1 2
∵⃗BF=3e
1
-ke
2
,且B,D,F三点共线,
{ λ=3,
∴⃗BF=λ⃗BD(λ∈R),即3e
1
-ke
2
=λe
1
-4λe
2
,即 解得k=12.
-k=-4λ,
11.B 解析 以D为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.
不妨设AD=2,则A(-1,√3),B(5,5√3),D(0,0),E(9,√3),C(0,4√3),
故⃗AB=(6,4√3),⃗CE=(9,-3√3),⃗DE=(9,√3).
{ 6=9x+9 y,
设⃗AB=x⃗CE+y⃗DE,则
4√3=-3√3x+√3 y,
5
{x=- ,
6 5 3
解得 所以 ⃗AB =- ⃗CE+ ⃗DE.
3 6 2
y= ,
2
12.ABC 解析 设点A(5,7),B(-3,5),C(3,4),设第四个顶点为D(x,y),分以下三种情况讨论:①若四边
{x+3=-2, {x=-5,
形ABDC为平行四边形,则⃗AC=⃗BD,即(-2,-3)=(x+3,y-5),即 解得 此时,点D
y-5=-3, y=2,
{ x-5=6,
的坐标为(-5,2);②若四边形ABCD是平行四边形,则⃗AD=⃗BC,则(x-5,y-7)=(6,-1),即 解
y-7=-1,
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得 此时,点D的坐标为(11,6);③若四边形ACBD为平行四边形,则⃗AD=⃗CB,即
y=6,
{x-5=-6, {x=-1,
(x-5,y-7)=(-6,1),即 解得 此时,点D的坐标为(-1,8).综上所述,第四个顶点的坐
y-7=1, y=8,
标为(11,6)或(-5,2)或(-1,8),故选ABC.
13.AC 解析 ⃗CF=x⃗AB+y⃗AC=x(⃗CB−⃗CA)+y⃗AC=x⃗CB-(x+y)⃗CA.
因为⃗AE=2⃗EC,所以⃗CA=3⃗CE,即⃗CF=x⃗CB-3(x+y)⃗CE,由F,B,E三点共线,所以x-3(x+y)=1,即
2x+3y=-1,故A正确;又D为BC的中点,所以⃗CB=2⃗CD,即⃗CF=2x⃗CD-(x+y)⃗CA,由F,D,A三点共
2
{ x= ,
线,所以2x-(x+y)=1,即x-y=1,故C正确;则由{2x+3 y=-1,
解得
5
所以2x-3y=
13
,故B
x- y=1, 3 5
y=- ,
5
错误;
1
x+y=- ,故D错误.故选AC.
5
3√3
14. 解析 如图,以A为坐标原点,以直线AB为x轴,以过点A垂直于AB的直线为y轴建立
4
2
平面直角坐标系.不妨设AB=BC=2,则有A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(2, ),AC=2 ,又∠ACD=30°,所以
√2
3
2√6
AD=ACtan 30°= .
3
2√6 2√6 √2 2√3
过点D作DF垂直x轴于点F,易知∠DAF=45°,则DF= sin 45°= × = ,
3 3 2 3
2√3 2√3 2√3 2√3 2
所以D(- , ).则⃗AC =(2,2),⃗AD =(- , ),⃗AE =(2, ).
3 3 3 3 3
2√3 2√3 2
因为⃗AC = λ⃗AD + μ⃗AE ,所以(2,2)=λ(- , )+μ(2, ),
3 3 3
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3 2
所以 解得
2√3 2 3
λ+ μ=2, μ= ,
3 3 2
3√3
则λμ的值为 .
4
7
15. 解析 以{⃗AB,⃗AD }为基底向量,则可得
6
3 1 1
⃗AF=⃗AD+⃗DF= ⃗AB+⃗AD,⃗AE=⃗AD+⃗DE= ⃗AB+⃗AD,⃗AG=⃗AB+⃗BG=⃗AB+ ⃗AD.因为⃗AF
4 2 2
1 1 1 1
= λ⃗AE + μ⃗AG ,即 ⃗AF = λ⃗AE + μ⃗AG =λ( ⃗AB+⃗AD)+μ(⃗AB+ ⃗AD)=( λ+μ)⃗AB +(λ+ μ)⃗AD ,可
2 2 2 2
1 3
{ λ+μ= ,
2 4 3 7 7
得 两式相加得 (λ+μ)= ,可得λ+μ= .
1 2 4 6
λ+ μ=1,
2
2 1 1 2 1 2 1
16.(1)解 由题意得⃗EF=⃗AF−⃗AE= ⃗AD− ⃗AB=- a+ b,⃗EG=⃗EB+⃗BG= ⃗AB+ ⃗BC= a+
3 2 2 3 2 3 2
2
b.
3
1 2 1 2 1 4 1 4 4
(2)证明 由(1)得 ⃗EF·⃗EG =(- a+ b)·( a+ b)=- a2+ b2=- ×( |b|)2+ b2=0,所以EF⊥EG.
2 3 2 3 4 9 4 3 9
π
17.BD 解析 对于A,a=(2,3) ,则a=2e 1 +3e 2 ,所以|a|=√(2e +3e )2=√4e2+9e2+12e ·e =
3 1 2 1 2 1 2
√ π
4+9+12×1×1×cos =√19,故A错误;对于B,已知a=(x
1
,y
1
)θ,b=(x
2
,y
2
)θ,则
3
a=x e +y e ,b=x e +y e ,a+b=(x +x )e +(y +y )e ,则a+b=(x +x ,y +y )θ,故B正确;
1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
π π
对于C,a=(-1,2) ,b=(2,1) ,则a=-e +2e ,b=2e +e ,所以a·b=(-e +2e )·(2e +e )=-2|e |2+2|e |2+3|
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
3 3
π π 3
e |·|e |cos =-2+2+3×1×1×cos = ,故C错误;对于D,a=(x ,y )θ,b=(x ,y )θ,则
1 2 1 1 2 2
3 3 2
a=x e +y e ,b=x e +y e ,若a∥b,则当a=0或b=0时,x =y =0或x =y =0,则x ·y =x ·y ;当a≠0,b≠0
1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2
时,存在唯一实数λ,使得a=λb,则x e +y e =λ(x e +y e ),则x =λx ,y =λy ,消元变形得x ·y =x ·y ,故
1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2
D正确.故选BD
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