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课时规范练 69 概率与统计中的综合问题
1.(15分)(2023·新高考Ⅱ,19)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的
某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分
布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于
或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);
误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生
的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);
(2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最
小值.
2.(15分)(2024·江西鹰潭二模)等高堆积条形图是一种数据可视化方式,能够清晰呈现多
个变量的数据并进行比较,这种类型图表将多个条形图堆积在一起并用颜色进行区分,形
成一条整体条形图,每个条形图的高度表示对应变量的值,不同颜色表示不同变量,能够
更好地理解每个变量在总体中的占比.石墨烯发热膜能用在衣服上,使之更加轻薄、保暖.
石墨烯发热膜的制作如下:从石墨中分离出石墨烯,制成石墨烯发热膜.从石墨中分离石
墨烯的一种方法是化学气相沉积法,使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A材料、
B材料可供选择,研究人员对附着在A材料、B材料上的石墨各做了50次再结晶试验,得
到如下等高堆积条形图.
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试验结果 A材料 B材料 合计
试验成功
试验失败
合计
(1)根据等高堆积条形图,填写2×2列联表,并根据小概率值α=0.001的独立性检验,判断
试验的结果是否与材料有关;
(2)研究人员得到石墨烯后,再制作石墨烯发热膜有三个环节:①透明基底及UV胶层;②
2
石墨烯层;③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为 ,第三环节生产合格的概率
3
3
为 ,且各生产环节相互独立.已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元,若生产不
4
合格还需进行修复,第三环节的修复费用为4 000元,其余环节修复费用均为2 000元.试
问如何定价(单位:万元),才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标?
(精确到0.001)
n(ad-bc)2
附:χ2= ,其中n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
3.(15分)(2024·广东梅州一模)某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况,从学校内
随机抽取了500名高中学生进行在线调查,收集了他们参加公益劳动时间(单位:时)分配
情况等数据,并将样本数据分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18]
九组,绘制成如图所示的频率分布直方图.
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx(1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况,从参加公益劳动时间在
(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中,采用分层抽样的方法抽取了10人,现从这10人中
随机抽取3人.记参加公益劳动时间在(14,16]内的学生人数为X,求X的分布列和期望;
(2)以调查结果的频率估计概率,从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生,用
“P (k)”表示这20名学生中恰有k名学生参加公益劳动时间在(10,12](单位:时)内的概
20
率,其中k=0,1,2,…,20.当P (k)最大时,写出k的值.
20
4.(15分)(2024·浙江杭州模拟)某单位有10 000名职工,想通过验血的方法筛查出某种细
菌感染性疾病.抽样化验显示,当前携带该细菌的人约占0.9%,若逐个化验需化验10 000
次.统计专家提出了一种化验方法:随机按n人一组进行分组,将各组n个人的血液混合在
一起化验,若混合血样呈阴性,则这n个人的血样全部阴性;若混合血样呈阳性,则说明其
中至少有一人的血样呈阳性,就需对每个人再分别化验一次.
(1)若每人单独化验一次花费10元,n个人混合化验一次花费n+9元.问n为何值时,化验
费用的数学期望最小?(注:当p<0.01时,(1-p)n≈1-np)
(2)该疾病主要是通过人与人之间进行传播,感染人群年龄大多数是40岁以上.细菌进入
人体后有潜伏期.潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.潜伏期越
长,感染给他人的可能性越高.现对已发现的90个病例的潜伏期(单位:天)进行调查,统计
发现潜伏期的平均数为7.2,方差为2.252.如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”,
按照年龄统计样本,得到下面的列联表:
年龄/人数 长期潜伏 非长期潜伏
40岁以上 15 50
40岁及40岁以下 10 15
①依据小概率值α=0.05的独立性检验,判断“长期潜伏”与年龄是否有关?
②假设潜伏期X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.
为防止该疾病的传播,现要求感染者的密接者居家观察14天,请用概率的知识解释其合
理性.
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附:χ2= ,
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.1 0.05 0.01
x 2.706 3.841 6.635
α
若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954
5,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997 3.
5.(17分)(2024·山东聊城三模)今年五一节期间,聊城百货大楼有限公司搞促销活动,下表
是该公司5月1号至10号(日期简记为1,2,3,…,10)连续10天的销售情况:
日期x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
销售额
19 19.3 19.6 20 21.2 22.4 23.8 24.6 25 25.4
y(万元)
由上述数据,用最小二乘法得到销售额和日期的经验回归方程为 ^=0.84x+17.45,日期的
y
方差约为3.02,销售额的方差约为2.59.
(1)根据经验回归方程,分析销售额随日期变化趋势的特征,并计算第4天的残差;
(2)计算样本相关系数r,并分析销售额和日期的相关程度(精确到0.001);
(3)该公司为了促销,拟打算对电视机实行分期付款方式销售,假设顾客购买一台电视机
选择分期付款的期数及相应的概率和公司获得的利润Y(单位:元)情况如下表:
ξ 2 4 6
P a a a
1 2 3
Y 400 600 800
已知a ,a ,a 成等比数列.
1 2 3
设该公司销售两台电视机所获得的利润为X(单位:元),当X=1 200的概率取得最大值时,
求利润X的分布列和数学期望.
n
∑(x -x)(y - y)
参考公式:样本相关系数r=i=1 i i .回归方程^ ^x+^中斜率和截距的
y=b a
√ n n
∑(x -x)2∑(y - y)2
i i
i=1 i=1
n
∑(x -x)(y - y)
最小二乘法估计公式分别为
b
^
=i=1
i i
,a
^
= y−b
^
x
.相关数据:
√78 218
n
∑(x -x)2
i
i=1
≈279.67.
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx6.(17分)(2024·黑龙江哈尔滨模拟)某景区接待外地游客数量如下:
x/日 1 2 3 4 5
y/万人 45 50 60 65 80
(1)计算x,y的样本相关系数r(计算结果精确到0.01),并判断是否可以认为日期与游客人
数的相关性很强;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程;
(3)该景区为了吸引游客,在售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动,具体抽奖规
则为:从该旅游团中随机同时抽取两名游客,两名游客性别不同则为中奖.已知某个旅游
团中有5名男游客和k(k≥5)名女游客,设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为p,
当k取多少时,p最大?
n n n
∑(x -x)(y - y) ∑x y -nx y ∑(x -x)(y - y)
参考公式: b ^ =i=1 i i =i=1 i i ,a ^ = y−b ^ x ,r=i=1 i i .
n n √ n n
∑(x -x)2 ∑x2-nx2 ∑(x -x)2∑(y - y)2
i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1
参考数据:√3≈1.732.
答案：
1.解 (1)当p(c)=0.5%时,由患病者频率分布直方图可得第一个小矩形面积为0.002×5=0.01,
95+100
∴c= =97.5.
2
由未患病者频率分布直方图可得q(c)=0.01×(100-97.5)+0.002×5=0.035.
(2)当c∈[95,100)时,p(c)=(c-95)×0.002,q(c)=(100-c)×0.01+0.01,
∴f(c)=-0.008c+0.82>0.02;
当c∈[100,105]时,p(c)=5×0.002+(c-100)×0.012,q(c)=(105-c)×0.002,
∴f(c)=0.01c-0.98≥0.02.
{-0.008c+0.82,c∈[95,100),
∴f(c)=
0.01c-0.98,c∈[100,105].
故当c=100时,f(c)取最小值,最小值为f(100)=0.02.
2.解 (1)零假设为H :试验结果和材料无关.
0
根据题中所给等高堆积条形图,得2×2列联表如下.
试验结果 A材料 B材料 合计
试验成功 45 30 75
试验失败 5 20 25
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx合计 50 50 100
100(45×20-30×5)2
计算可得χ2= =12>10.828,
75×25×50×50
依据α=0.001的独立性检验,可以推断H 不成立,即试验的结果与材料有关.
0
(2)设生产1吨石墨烯发热膜所需的修复费用为X万元,易知X的可能取值为0,0.2,0.4,0.6,0.8,
2 3 1 2 1 3 1
P(X=0)=( )2 × = ,P(X=0.2)=C1× × × = ,
3 4 3 2 3 3 4 3
2 1 1 3 7 2 1 1 1 1 1 1
P(X=0.4)=( )2 × +( )2 × = ,P(X=0.6)=C1× × × = ,P(X=0.8)=( )2 × = ,
3 4 3 4 36 2 3 3 4 9 3 4 36
则X的分布列为
X 0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 1 7 1 1
P
3 3 36 9 36
1
修复费用X的期望E(X)=0× +0.2×
3
1 7 1 1 7
+0.4× +0.6× +0.8× = ≈0.233,
3 36 9 36 30
所以石墨烯发热膜的定价至少为1+1+0.233=2.233(万元/吨),才能实现预期的利润目标.
3.解 (1)由频率分布直方图得2(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)=1,解得a=0.10.
这500名学生中参加公益劳动时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生人数分别为
500×0.10=50,500×0.08=40,500×0.02=10,若采用分层抽样的方法抽取了10人,
40
则从参加公益劳动时间在(14,16]内的学生中抽取 ×10=4(人),现从这10人中随机抽
50+40+10
取3人,
C3
20 1
C1C2
60 1
则X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)= 6 = = ,P(X=1)= 4 6= = ,P(X=2)=
C3 120 6 C3 120 2
10 10
C2C1
36 3
C3
4 1
4 6= = ,P(X=3)= 4 = = ,
C3 120 10 C3 120 30
10 10
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
1 1 3 1
P
6 2 10 30
1 3 1 6
则其期望为E(X)=1× +2× +3× = .
2 10 30 5
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx(2)由(1)可知参加公益劳动时间在(10,12]的概率P=0.1×2=0.2,所以P (k)=Ck 0.2k(1-0.2)20-k=Ck
20 20 20
0.2k0.820-k,
{P (k)≥P (k-1),
依题意 20 20
P (k)≥P (k+1),
20 20
即{Ck 0.2k0.820-k≥Ck-10.2k-10.821-k,
20 20
Ck 0.2k0.820-k≥Ck+10.2k+10.819-k,
20 20
20-k+1
{ 0.2× ≥0.8,
k
即
20-(k+1)+1
0.8≥0.2× ,
k+1
16 21
解得 ≤k≤ ,
5 5
因为k∈N*,所以k=4,
即当P (k)最大时,k=4.
20
4.解 (1)要使化验费用的数学期望最小,只需每个人的化验费用期望最小.
设每人的化验费用为Y元,若混合血样呈阴性,
n+9 9
则Y= =1+ ,若混合血样是阳性,
n n
9
则Y=11+ ,
n
9 9
所以P(Y=1+ )=0.991n,P(Y=11+ )=1-0.991n,
n n
9 9 9
每位职工的化验费用为E(Y)=(1+ )×0.991n+(11+ )×(1-0.991n)=11-10×0.991n+ =11-10×(1-
n n n
0.009)n+ 9 ≈11-10×(1-0.009n)+ 9 =1+0.09n+ 9 ≥1+2 √ 0.09n· 9 =2.8,
n n n n
9
当且仅当0.09n= ,即n=10时取等号,故n=10时,每位职工化验费用的期望最小.
n
(2)①零假设为H :“长期潜伏”与年龄无关.
0
90(15×15-50×10)2 2 178
根据列联表中的数据,经计算得到χ2= = ≈2.58<3.841=x
0.05
,根据小
65×25×25×65 845
概率值α=0.05的独立性检验,没有充分证据推断H 不成立,因此可以认为“长期潜伏”与年龄
0
无关.
②若潜伏期X~N(7.2,2.252),
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由P(X>13.95)=P(X>7.2+3×2.25)≈ =0.001 35,得知潜伏期超过14天的概率很低,因
2
此隔离14天是合理的.
5.解 (1)根据经验回归方程^=0.84x+17.45,日期每增加一天,销售额约增加0.84万元,把x=4代入
y
经验回归方程,得^=0.84×4+17.45=20.81,因为20-20.81=-0.81,所以第4天的残差为-0.81.
y
(2)由
10 10 10 10
∑(x -x)(y - y) ∑(x -x)2 ∑(x -x)2 √ ∑(x -x)2
r i i i i i
=i=1 ×i=1 =i=1 = i=1
b ^ √ ∑ 10 (x -x)2∑ 10 (y - y)2 ∑ 10 (x -x)(y - y) √ ∑ 10 (x -x)2∑ 10 (y - y)2 ∑ 10 (y - y)2
i=1 i i=1 i i=1 i i i=1 i i=1 i i=1 i
10
√ ∑(x -x)2
得r= b ^ i=1 i =0.84 × √3.02=0.84 × √78 218 ≈ 0.907,
10 2.59 259
∑(y - y)2
i
i=1
0.907比较接近于1,故销售额和日期的相关程度较强.
1
(3)由a
1
,a
2
,a
3
成等比数列,得 a2=a
1
·a
3
,且a
1
+a
2
+a
3
=1,设其公比为q,则a
2
( +1+q)=1,所以a
2
=
2 q
1
,
1
+1+q
q
由题意可得X的值分别为800,1 000,1 200,1 400,1 600,
则P(X=800)=a2,P(X=1 000)=2a a ,P(X=1 200)=a2+2a a =3a2,P(X=1 400)=2a a ,P(X=1 600)=a2,
1 1 2 2 1 3 2 2 3 3
3
又P(X=1 200)=3 a 2 2= 1 ≤ 3×( 1 )2= 1 ,取得最大值的条件1 =q,即q=1,此时a 1 =a 2 =a 3 = 1 ,
( +1+q) 2 3 3 q 3
q
故X的分布列为
X 800 1 000 1 200 1 400 1 600
1 2 1 2 1
P
9 9 3 9 9
1 2 1 2 1
期望E(X)=800× +1 000× +1 200× +1 400× +1 600× =1 200.
9 9 3 9 9
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6.解 (1)因为 x= =3,y= =60,
5 5
5 5
所以∑(x
i
-x)(y
i
-y)=∑x
i
y
i
-5x y=(1×45+2×50+3×60+4×65+5×80)-5×3×60=85,
i=1 i=1
5
∑(x
-x)2=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=10,
i
i=1
5
∑(y -
y)2=(45-60)2+(50-60)2+(60-60)2+(65-60)2+(80-60)2=750,
i
i=1
n
∑(x -x)(y - y)
所以r=i=1 i i = 85 ≈ 85 ≈ 0.98,
√ 5 5 50√3 86.6
∑(x -x)2∑(y - y)2
i i
i=1 i=1
由此可以认为两者的相关性很强.
5 5
(2)由(1)知 ∑(x
i
-
x
)(y
i
-
y
)=85,∑(x -x)2=10,
i
i=1 i=1
5
∑(x -x)(y - y)
所以
b
^
=i=1
i i
=
85=8.5.
5 10
∑(x -x)2
i
i=1
因为^ ^ =60-8.5×3=34.5,
a= y−bx
所以经验回归方程为y=8.5x+34.5.
C1·C1
10k
(3)记P(k)=t= 5 k = (k≥5,k∈N*),
C2 (k+5)(k+4)
5+k
10(k+1) 10k 10(4-k)
因为P(k+1)-P(k)= − = <0,
(k+6)(k+5) (k+5)(k+4) (k+4)(k+5)(k+6)
5 5
所以P(k+1)0,t∈( , ],F'(t)<0,
3 3 9
1 1 5 1
所以F(t)在(0, )上单调递增,在( , ]上单调递减,所以当t= 时,P取得最大值.
3 3 9 3
10k 1
由t= = ,解得k=20或k=1(舍去),
(k+5)(k+4) 3
所以当k=20时,恰有一次中奖的概率P最大
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