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课时规范练 7 函数的单调性与最值
基础巩固练
1.(2024·北京通州期末)下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递增的是( )
1
A.f(x)= B.f(x)=(x-1)2
√x
1
C.f(x)=lg x D.f(x)=( )x
2
1
2.(2024·安徽亳州期末)函数f(x)=( )x,x∈[0,2],则f(x)的值域是( )
2
A.[0,4] B.[0,1]
1 1
C.[ ,1] D.[ ,1]
4 2
3.(2024·江苏扬州期中)若函数y=x2-2ax+1在区间[-2,1]上单调递增,则实数a的取值范围
为( )
A.a<-2 B.a≤-2
C.a>1 D.a≥1
{-x2-ax-5,x≤1,
4.(2024·浙江杭州期中)已知函数f(x)=
a
是R上的增函数,则实数a的取
,x>1
x
值范围是( )
A.[-3,0]
B.[-3,-2]
C.(-∞,-2]
D.(-∞,0)
5.(多选题)(2024·江苏南京期中)下列说法正确的是( )
A.定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则函数f(x)是R上的增函数
B.定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则函数f(x)在R上不是减函数
C.定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,在区间[0,+∞)上也单调递增,则函数
f(x)在R上是增函数
D.定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,在区间(0,+∞)内也单调递增,则函数
f(x)在R上是增函数
6.(多选题)(2024·山东潍坊期中)下列函数值域为[1,+∞)的是( )
A.y=x+1关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx
B.y=x2+2x+2
1-x
C.y=
1+x
D.y=x- 1 +1(x≥1)
x
7.(2024·广东广州期中)函数f(x)=√x2+3x+2的单调递减区间是 .
综合提升练
8.(2024·河北唐山期中)设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,例如[-1.5]=-2,[4.9]=4,
[π]=3,已知函数f(x)=x-[x],则下列选项正确的是( )
A.f(x)的图象关于y轴对称
B.f(x)的最大值为1,没有最小值
C.f(√6)+f(√13)>1
D.f(x)在R上是增函数
9.(2024·湖南娄底期末)函数f(x)=log (-x2+4x+5)的单调递增区间是( )
2
A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(2,5) D.(-1,2)
10.(2024·浙江丽水模拟)已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意实数x ,x 且x ≠x ,都有
1 2 1 2
f (x )-f (x )
1 2 >-1,则下列说法正确的是( )
x -x
1 2
A.y=f(x)+x是增函数
B.y=f(x)+x是减函数
C.y=f(x)是增函数
D.y=f(x)是减函数
11.(多选题)(2024·辽宁本溪期末)对于函数f(x)=2|x|,g(x)=2|x-1|,则( )
A.f(x)与g(x)具有相同的最小值
B.f(x)与g(x)在(0,+∞)内具有相同的单调性
C.f(x)与g(x)的图象都是轴对称图形
D.f(x)与g(x)在(-∞,0)内具有相反的单调性
12.(多选题)(2024·黑龙江大庆期中)若函数f(x)与g(x)的值域相同,但定义域不同,则称f(x)
与g(x)是“同象函数”,已知函数f(x)=x,x∈[0,1],则下列函数中与f(x)是“同象函数”的
有( )
A.g(x)=x2,x∈[-1,1]关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx
B.g(x)= 1 ,x∈[1,+∞)
x
C.g(x)=ex,x∈(-∞,0]
D.g(x)=-x3,x∈[-1,0]
{ 1
x+ ,x>0,
13.(2024·江苏南通模拟)已知函数f(x)= x 的最小值为2,则实数a的取值
x2-2ax+3,x≤0
范围为 .
创新应用练
x
14.(13分)(2024·安徽阜阳模拟)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f( )=f(x)-f(y),当x>1
y
时,f(x)<0.
(1)判断f(x)的单调性,并证明;
1
(2)若f( )=1,解不等式f(x)+f(5-x)≥-2.
2
1 1
15.(13分)已知函数f(x)= − (a>0,x>0).
a x
(1)判断并证明函数f(x)在(0,+∞)内的单调性;
[1 ] [1 ]
(2)若f(x)在 ,2 上的值域是 ,2 ,求a的值.
2 2
16.(13分)(2025·北京期中)已知函数f(x)=x|x-a|-2,a∈R.
(1)当a=2时,直接写出函数f(x)的单调递增区间;
(2)当a>2时,求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值.
答案：
1
1.C 解析 对于A,函数f(x)= 在(0,+∞)内单调递减,A不符合题意;对于B,函数f(x)=(x-1)2在
√x
(0,1)内单调递减,B不符合题意;对于C,函数f(x)=lg x在(0,+∞)内单调递增,C符合题意;对于D,函
1
数f(x)=( )x在(0,+∞)内单调递减,D不符合题意.故选C.
2
1 1 1
2.C 解析 因为y=( )x在[0,2]上单调递减,所以y=( )x在[0,2]上的值域为[ ,1].故选C.
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3.B 解析 抛物线y=x2-2ax+1开口向上,对称轴为直线x=a,要想y=x2-2ax+1在区间[-2,1]上单调
递增,则a≤-2.故选B.
a
{- ≥1,
{-x2-ax-5,x≤1, 2
4.B 解析 因为函数f(x)= 是R上的增函数,则 解
a a<0,
,x>1
x a
-12-a×1-5≤ ,
1
得-3≤a≤-2.
所以实数a的取值范围是[-3,-2].故选B.
{ x-1,x≥1,
5.BC 解析 对于A,如f(x)= 满足f(2)>f(1),但f(x)不是R上的增函数,所以A错误;
-x+2,x<1,
对于B,若函数f(x)在R上为减函数,则对于任意x ,x ∈R且x f(x )成立,则若f(2)>f(1),
1 2 1 2 1 2
函数f(x)在R上不是减函数,故B正确;对于C,若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,
在[0,+∞)上也单调递增,则满足对任意x ,x ∈R且x 0
调递增,在区间(0,+∞)上也单调递增,而-1<1,但f(-1)=f(1)=0,不符合增函数的定义,所以f(x)在R上
不是增函数,故D错误.故选BC.
6.BD 解析 因为函数y=x+1的值域为R,故A错误;因为y=x2+2x+2=(x+1)2+1≥1,故函数的值
1-x 2
域为[1,+∞),故B正确;因为y= =-1+ ≠-1,故函数的值域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),则C错误;因
1+x x+1
1 1
为函数y=x,y=- 在[1,+∞)上均单调递增,所以当x=1时,y=x- +1(x≥1)有最小值1,故函数的值
x x
域为[1,+∞),故D正确.故选BD.
7.(-∞,-2] 解析 设t=x2+3x+2,由t≥0可得,x≥-1或x≤-2.
3 1
函数y= ,由t=x2+3x+2=(x+ )2- 在(-∞,-2]上单调递减,在[-1,+∞)内单调递增,而y= 在[0,+∞)
√t √t
2 4
内单调递增,由复合函数的单调性可知,函数f(x)=√x2+3x+2的单调递减区间是(-∞,-2].
8.C 解析 画出f(x)=x-[x]的图象如图.关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx
对于A,可以看出此函数不是偶函数,其图象不关于y轴对称,A错误;对于B,f(x)无最大值,有最小
值0,B错误;对于C,因为√6∈(2,3),√13∈(3,4),故f(√6)=√6-2,f(√13)=√13-3,f(√6)+f(√13)=√6
-2+√13-3=√6+√13-5,因为(√6+√13)2-36=2√78-17=√312−√289>0,所以√6+√13>6,故f(√6)
+f(√13)=√6+√13-5>1,C正确;对于D,由图象可知f(x)在R上不是增函数,D错误.故选C.
{-(x-2)2+9>0,
9.D 解析 由题意f(x)=log (-x2+4x+5)=log [-(x-2)2+9],令 解得-1-1可化为f(x )-f(x )<-(x -x ),即
1 2 1 2 1 2 1 2
x -x
1 2
f(x )+x 0时,f(x)=x+ ≥2 x· =2,当且仅当x= 时取等号,即x=1时取等号,此
x x x
时函数的最小值为2;当x≤0时,f(x)=x2-2ax+3=(x-a)2+3-a2,当a≤0时,f(x) =f(a)=3-a2,要想函数
min
{ 1
x+ ,x>0,
f(x)= x 的最小值为2,只需3-a2≥2,解得-1≤a≤1,而a≤0,所以-1≤a≤0;当a>0
x2-2ax+3,x≤0
时,f(x) =f(0)=3,显然3>2,符合题意.综上所述,实数a的取值范围为[-1,+∞).
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x x
14.解 (1)设任意实数x ,x 满足01,因为当x>1时,f(x)<0,所以f( 2)=f(x )-f(x )<0,即
1 2 1 2 2 1
x x
1 1
f(x )>f(x ),所以f(x)为(0,+∞)内的减函数.
1 2
1
(2)令x=y=1,得f(1)=f(1)-f(1)=0,所以f(1)=0,令x=1,y=2,得f( )=f(1)-f(2)=1,所以f(2)=-1,则f(x)
2
x x 2
+f(5-x)≥-2 f(x)+f(5-x)≥2f(2),即f(x)-f(2)≥f(2)-f(5-x),由于f( )=f(x)-f(y),则f( )≥f( ).
y 2 5-x
⇔
x
{ >0,
2
因为f(x)为(0,+∞)内的减函数,所以 2 解得00,
5-x
x 2
≤ ,
2 5-x
故不等式的解集为(0,1]∪[4,5).
15.解 (1)函数f(x)在(0,+∞)内单调递增.
证明:设x ,x 是(0,+∞)内的任意两个数,且x 0,x x >0.
1 2 1 2 2 1 1 2
1 1 1 1 1 1 x -x
∵f(x )-f(x )=( − )-( − )= − = 2 1>0,
2 1
a x a x x x x x
2 1 1 2 1 2
∴f(x )>f(x ),
2 1
∴f(x)在(0,+∞)内单调递增.
[1 ]
(2)∵f(x)在 ,2 上单调递增,
2
1 1 2
∴f( )= ,f(2)=2,解得a= .
2 2 5
{x(x-2)-2,x≥2, {(x-1)2-3,x≥2,
16.解 (1)当a=2时,f(x)=x|x-2|-2= 即f(x)=
x(2-x)-2,x<2, -(x-1)2-1,x<2.
由二次函数的性质知f(x)的单调递增区间为(-∞,1],[2,+∞).
a a2-8
(2)因为a>2,x∈[1,2],所以f(x)=x(a-x)-2=-x2+ax-2=-(x- )2+ .
2 4
a 3 a 3
当1< ≤ ,即2 ,即a>3时,f(x) min =f(1)=a-3.
2 2 2 2
综上,f(x) =
min
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