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课时规范练 54 抛物线
基础巩固练
1.(2024·山东潍坊一模)已知抛物线C:x2=y上点M的纵坐标为1,则点M到C的焦点的距
离为( )
5
A.1 B.
4
3
C. D.2
2
2.(2024·辽宁丹东一模)已知抛物线y=2ax2(a>0)的焦点到准线的距离为1,则a=( )
A.2 B.1
1 1
C. D.
2 4
3.(2024·江苏徐州一模)若抛物线y2=2px(p>0)上的动点到其焦点F的距离的最小值为1,
则p=( )
A.1 B.√3
C.2 D.4
4.(2022·全国乙,理5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,
则|AB|=( )
A.2 B.2√2
C.3 D.3√2
5.(2024·浙江金丽衢十二校模拟)已知直线l :3x-4y-6=0和直线l :y=-2,抛物线x2=4y上一
1 2
动点P到直线l 和直线l 的距离之和的最小值是( )
1 2
A.2 B.3
11 37
C. D.
5 16
6.(2024·河北唐山一模)已知抛物线Γ:y2=4x的焦点为F,以F为圆心的圆与Γ交于A,B两
点,与Γ的准线交于C,D两点,若|CD|=2√21,则|AB|=( )
A.3 B.4
C.6 D.8
7.(2024·湖南常德一模)已知抛物线方程为y2=16x,焦点为F.圆的方程为(x-5)2+(y-1)2=1,
设P为抛物线上的点,Q为圆上的一点,则|PF|+|PQ|的最小值为( )
A.6 B.7
C.8 D.9
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx8.(2024·宁夏石嘴山三模)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A,B
两点,交其准线于C,AE与准线垂直且垂足为E,若|BC|=2|BF|,|AE|=3,则此抛物线的方程
为( )
3x
A.y2= B.y2=9x
2
9x
C.y2= D.y2=3x
2
9.(多选题)(2024·浙江金丽衢十二校一模)设P是曲线C:y2=8x(y>0)上的一动点,点F是C
的焦点,A(4,4),则( )
A.F(2,0)
B.若|PF|=4,则点P的坐标为(2,4)
C.|AP|+|AF|的最小值为2+2√5
9
D.满足△PFA面积为 的点P有2个
2
10.(2021·新高考Ⅰ,14)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一
点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为
.
11.(2024·陕西西安模拟)设P为抛物线C:y2=4x上的动点,A(2,6)关于P的对称点为B,记
P到直线x=-1,x=-4的距离分别为d ,d ,则d +d +|AB|的最小值为 .
1 2 1 2
综合提升练
12.(2024·河北石家庄模拟)古希腊的几何学家用一个不垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥,
将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线,如图所示的圆锥中,AB为底面圆的直径,M
为PB中点,某同学用平行于母线PA且过点M的平面去截圆锥,所得截口曲线为抛物线.
若该圆锥的高PO=2,底面半径OA=2,则该抛物线焦点到准线的距离为( )
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C.√3 D.√2
13.(2024·安徽合肥模拟)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=8x,P为x轴正半轴上一
点,线段OP的垂直平分线l交C于A,B两点,若∠OAP=120°,则四边形OAPB的周长为(
)
A.64√3 B.64
C.80√3 D.80
14.(2025·北京十一学校段考)已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被
称为该圆锥曲线的通径,清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中,也称圆的直径为通径.
已知圆(x-2)2+(y+1)2=4的一条直径与拋物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的
一组邻边,则p=( )
1
A. B.1
2
C.2 D.4
15.(2024·浙江名校协作体联考)写出两个与直线x+1=0相切且与圆x2+y2-4x+3=0外切的
圆的圆心坐标 .
16.(15分)(2025·北京顺义检测)如图,已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)在第一象限上一点,
F是抛物线C的焦点,以Fx为始边,FM为终边的∠xFM=60°,且|FM|=4,l为抛物线C的
准线,O为原点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线FM与抛物线C交于另一个点N,过N作x轴的平行线与l相交于点E.求证:
M,O,E三点共线.
创新应用练
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AB的中点.对于任意的n∈N*且n≥2,将线段AH和AD分成n等份,设AH,AD上的分点
为M 和N (k=1,2,…,n-1),过AH上的分点M 作与HO平行的直线l ,l 与直线ON 交于点
k k k k k k
A ,利用对称性作出A 关于OH对称的另一半的点,用光滑曲线把它们连接起来,得到曲
k k
线E(过坐标原点O).设T(0,-3),P为曲线E上的一个动点,则|PT|的最小值为 .
答案：
1
1.B 解析 抛物线C的准线方程为y=- ,又点M在抛物线上且纵坐标为1,所以点M到C的焦
4
1 5
点的距离为1-(- )= .
4 4
1 1
2.D 解析 抛物线方程可化为x2= y(a>0),由抛物线的焦点到准线的距离为1,可得 =1,解得
2a 4a
1
a= .
4
p p p
3.C 解析 由题得F( ,0),设点P(x,y)为抛物线上一点,则由抛物线的定义知,|PF|=x+ ≥ ,所以
2 2 2
p
1= ,解得p=2.
2
4.B 解析 设点A(x ,y ),由题意知点F(1,0),则|BF|=2.由抛物线的定义知|AF|=x +1,又|AF|=|BF|,
A A A
所以x +1=2,即x =1,所以 =4.所以|AB|= =2
A A y2 √(x -3)2+ y2 √2.
A A A
5.B 解析 由题意可得,抛物线x2=4y的焦点F(0,1),准线l:y=-1.
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设动点P与直线l,l ,l 的距离分别为d,d ,d ,点F到直线l 的距离为d = =2,则
1 2 1 2 1 3
√32+(-4)2
d =d+1=|PF|+1,可得d +d =d +|PF|+1≥d +1=3,当且仅当点P在点F到直线l 的垂线上且点P
2 1 2 1 3 1
在F与l 之间时,等号成立,动点P到直线l 和直线l 的距离之和的最小值是3.
1 1 2
p
6.D 解析 由抛物线方程知 =1,所以F(1,0).不妨设点A在第一象限,如图所示,
2
直线CD与x轴交于点E,由|CD|=2√21,则|ED|=√21,|EF|=2,所以圆的半径r=√(√21)2+22=5,
p
所以|AF|=5,由抛物线的定义可得x + =5,所以x =4,又因为点A在抛物线上,所以A(4,4),所以|
A A
2
AB|=2×4=8.
7.C 解析 由抛物线方程得焦点F(4,0),准线方程为x=-4,
过点P作准线的垂线,垂足为N,因为点P在抛物线上,所以|PF|=|PN|,所以|PF|+|PQ|=|PN|+|PQ|,
当点Q固定不动时,P,Q,N三点共线,即QN垂直于准线时|PF|+|PQ|最小,即|QN|最小,又因为点Q
在圆上运动,由圆的方程为(x-5)2+(y-1)2=1得圆心M(5,1),半径r=1,所以当MN与准线垂直时,|
QN| =|MN|-r=8.
min
8.D 解析 如图所示,
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|BD| 1
Rt BCD中,可得sin∠BCD= = ,所以∠BCD=30°,在Rt ACE中,|AE|=3,可得|AC|=3+3a,
|BC| 2
△ △
1 2a 3
由|AC|=2|AE|,所以3+3a=6,解得a=1.因为BD∥FG,所以 = ,解得p= ,所以抛物线方程为
p 3a 2
y2=3x.
9.AB 解析 因为抛物线C:y2=8x(y>0)的焦点为F(2,0),所以A正确;
由|PF|=4=x +2,解得x =2,所以y =√8x =√16=4,即点P的坐标为(2,4),故B正确;
P P P P
取P(3,2√6),则|AP|+|AF|=√1+(4-2√6)2+√16+4=√41-16√6+2√5,因为256×6-372=167>0,
所以16√6>37,即40-16√6=(4-2√6)2<3,所以√41-16√6<√4=2,即|AP|+|AF|<2+2√5,故C
错误;
4
因为直线AF的斜率为k= =2,所以直线AF的方程为y=2(x-2),点P(x,y)到直线AF的距离为
4-2
|2x-4- y| 9 1 |2x-4- y| 9 y2
d= ,|AF|=√16+4=2√5,若△PFA面积为 ,则 × ×2√5= ,又2x=
√5 2 2 √5 2 4
1 9 1 9 9
>0,所以 (y-2)2-5=
或
(y-2)2-5=- ,解得y=2+
√38
或y=2±
√2
,所以满足△PFA面积为 的点
4 2 4 2 2
P有3个,故D错误.
故选AB.
3 p p
10.x=- 解析 ∵PF⊥x轴,∴x =x = ,将x = 代入y2=2px,得y=±p.
P F P
2 2 2
不妨设点P在x轴的上方,则P (p ,p ) ,即|PF|=p.
2
如图,由条件得, PFO∽△QFP,
△
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∴
|OF|
=
|PF| ,即
2 p
,解得p=3.故C的准线方程为x=- 3
.
|PF| |QF| = 2
p 6
11.2√37+3 解析 抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,如图,
因为d =d +3,且A(2,6)关于P的对称点为B,所以|PA|=|PB|,
2 1
所以d +d +|AB|=2d +3+2|PA|=2(d +|PA|)+3=2(|PF|+|PA|)+3≥2|AF|+3=2√(2-1)2+62+3=2
1 2 1 1
√37+3.当P为线段AF与抛物线的交点时,上式取等号,d +d +|AB|取得最小值,最小值为2√37
1 2
+3.
1
12.D 解析 因为M是PB的中点,O是AB的中点,所以AP∥OM,|OM|= |AP|= ,截圆锥的平
√2
2
面平行于母线PA且过母线PB的中点M,故点O也在截面上,根据对称性可知抛物线的对称轴为
OM,焦点在OM上,以M为原点,OM所在直线为x轴,截面上过点M的OM的垂线为y轴建立直
角坐标系,设抛物线与底面的一个交点为E,则x =|OM|=√2,y =|OA|=2.设抛物线方程为
E E
p p
y2=2px(p>0),代入点E的坐标得4=2p ,解得p= ,即该抛物线焦点( ,0)到准线x=- 的距离
×√2 √2
2 2
为√2.
13.A 解析 因为线段OP的垂直平分线l交C于A,B两点,所以结合抛物线的对称性可得AB与
OP互相垂直平分,则四边形OAPB为菱形.设点P(2t,0)且t>0,则直线l的方程为x=t,令l与x轴交
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于点H,又∠OAP=120°,则在Rt△OAH中,∠OAH= ∠OAP=60°,继而可得|AH|= = ,
2 √3 3
√3t t2
所以点A的坐标为(t, ),代入抛物线C:y2=8x,可得 =8t,解得t=24,在Rt OAH中,|OA|=2|AH|
3 3
△
√3
=2× ×24=16
√3
,所以四边形OAPB的周长为4|OA|=64
√3.
3
14.C 解析 因为圆(x-2)2+(y+1)2=4的一条直径与抛物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方
形的一组邻边,而抛物线x2=2py(p>0)的通径与y轴垂直,所以圆(x-2)2+(y+1)2=4的这条直径与x
轴垂直,且圆的这条直径的上端点就是抛物线通径的右端点,因为圆(x-2)2+(y+1)2=4的圆心为(2,-
1),半径为2,所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为(2,1),即抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1),则
4=2p,解得p=2.经检验p=2满足题意.
15.(0,0),(2,4)(答案不唯一,只要圆心坐标(a,b)满足b2=8a即可) 解析 设所求圆心坐标为(a,b),圆
x2+y2-4x+3=0化为(x-2)2+y2=1,其圆心为(2,0),半径为1.由题意得,a+1=√(a-2)2+b2-1,即a-
(-2)=√(a-2)2+b2,故圆心(a,b)到点(2,0)的距离和到直线x=-2的距离相等,所以所求圆心的轨迹
是以(2,0)为焦点的抛物线,故b2=8a,只要满足该式即可.
16.(1)解 过点M作MA⊥l,垂足为A,连接FA,则|MA|=|FM|,因为∠xFM=60°,所以∠FMA=
60°, MFA为等边三角形,故|FA|=|MA|=4.因为∠FAQ=30°,所以|FQ|=|FA|·sin 30°=2,即p=2,故抛
物线C的方程为y2=4x.
△
(2)证明 由(1)知抛物线C的焦点F(1,0),k =tan 60°=√3,直线FM的方程为y=√3(x-1).
FM
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由 得3x2-10x+3=0,解得x =3,x = ,所以y =2√3,y =- ,点M坐标为(3,2√3),
y2=4x, M N 3 M N 3
2√3 2√3 2√3
点E坐标为(-1,- ).因为k = ,k = ,
OM OE
3 3 3
所以M,O,E三点共线.
4 4 4
17.2 解析 由题意得D(-4,0),A(-4,-4),H(0,-4),M (- ,-4),N (-4,- ),则直线l :x=-
√2 n-1 n-1 n-1
n n n
1 x2
(n≥2,n∈N*),直线ON :y= x(n≥2,n∈N*),联立两直线方程消去n得曲线E:y=- ,即x2=-4y.经
n-1
n 4
检验A(k=1,2,…,n-1)都在曲线E上.
k
设P(2t,-t2),则|PT|2=4t2+(3-t2)2=t4-2t2+9=(t2-1)2+8≥8,当且仅当t2=1,即P(2,-1)或P(-2,-1)时
取等号,故|PT| =2√2
min
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