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课时规范练 46 利用空间向量求空间角
1.(15分)(2024·全国甲,理19)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,四边形ABCD与
四边形ADEF均为等腰梯形,EF∥AD,BC∥AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=√10,FB=2√3,
M为AD的中点.
(1)证明:BM∥平面CDE;
(2)求二面角F- BM-E的正弦值.
2.(15分)(2024·浙江杭州模拟)如图,在三棱柱ABC-A B C 中,AB=AC=√5,BC=2,侧面
1 1 1
BB C C是正方形,P是平面A B C 上一点,且AP⊥BC.
1 1 1 1 1
(1)证明:点P到直线A B 和A C 的距离相等;
1 1 1 1
2π
(2)已知二面角A-BC-B 的大小是 ,求直线AB与平面ACC A 所成角的正弦值.
1 1 1
3
3.(15分)(2024·湖南常德三模)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面
ABCD,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD=4,PA=PD.
(1)证明:BD⊥平面PAD;
4√2
(2)已知三棱锥B-PAD的体积为 ,点N为线段AP的中点,设平面NCD与平面PBD的
3
交线为l,求直线l与平面PAB所成角的正弦值.
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx4.(15分)(2024·江西宜春模拟)现有一个多面体如图所示,四边形ABCD为矩形,四边形
ABFE,CDEF为两个全等的等腰梯形,EF∥AB,AB=4,EF=AD=2,P是线段AD上一点.
2
(1)若点P是线段AD上靠近点A的三等分点,Q为线段CF上一点,且⃗FQ= ⃗FC,证明:
5
PF∥平面BDQ;
3 2√39
(2)若点E到平面ABCD的距离为 ,PF与平面BCF所成角的正弦值为 ,求AP的长.
2 13
答案：
1.(1)证明 因为M为AD的中点,且AD=4,故MD=2=BC,又因为BC∥AD,所以四边形BCDM为平
行四边形,所以BM∥CD.因为BM 平面CDE,CD 平面CDE,所以BM∥平面CDE.
(2)解 取AM的中点O,连接OF,OB,
⊄ ⊂
由题意,易知OF⊥AM,OB⊥AM,
且OF=3,OB=√3,故OF2+OB2=FB2,所以OF⊥OB.
以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则F(0,0,3),B(√3,0,0),M(0,1,0),E(0,2,3).
所以⃗FB=(√3,0,-3),
⃗BM=(-√3,1,0),⃗ME=(0,1,3),
设平面FBM的法向量为n=(x,y,z),
{n·⃗FB=√3x-3z=0,
则
n·⃗BM=-√3x+ y=0,
m·n 11
令z=1,得n=( √3 ,3,1).同理,可求得平面BEM的法向量m=( √3 ,3,-1),则cos= =
|m||n| 13
4√3 4√3
,所以sin= ,故二面角F-BM-E的正弦值为 .
13 13
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx2.(1)证明 当P和A 重合时,显然符合题意.当P和A 不重合时,连接A P,延长A P交B C 于点
1 1 1 1 1 1
M ,因为四边形BB C C是正方形,所以BB ⊥BC,又因为BB ∥AA ,所以AA ⊥BC,又
1 1 1 1 1 1 1
AP⊥BC,AP∩A A=A,AP,A A 平面AA P,所以BC⊥平面AA P.又A P 平面AA P,所以BC⊥A P,
1 1 1 1 1 1 1
则B C ⊥A M .因为AB=AC,所以M 为B C 的中点,且A M 为∠C A B 的角平分线.所以点P到
1 1 1 1 ⊂ 1 1 1 1 1 1 1⊂1
直线A B 和A C 的距离相等.
1 1 1 1
(2)解 取BC的中点M,连接MM ,AM,所以MM ⊥BC,AM⊥BC,所以∠AMM 为二面角A-BC-B 的
1 1 1 1
2π 2π
平面角,因为二面角A-BC-B 1 的大小是 ,所以∠AMM 1 = . 又在三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中,M 1 为
3 3
B C 的中点,取BC的中点M,所以A M ∥AM,所以A ,M ,A,M四点共面.又
1 1 1 1 1 1
MM ⊥BC,AM⊥BC,MM ∩AM=M,MM ,AM 平面AA M M,所以BC⊥平面AA M M.又BC 平面
1 1 1 1 1 1 1
ABC,所以平面ABC⊥平面AA M M,过点M作平面ABC的垂线,交A M 于点N,分别以
1 1 ⊂ 1 1 ⊂
⃗MA,⃗MB,⃗MN的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示.
由题可得A(2,0,0),A (1,0,√3),C(0,-1,0),B(0,1,0),所以⃗AC=(-2,-1,0),⃗A A =(-1,0,√3),⃗AB=(-2,1,0).设
1 1
平面ACC
1
A
1
的一个法向量为n=(x,y,z),则{⃗A A
1
·n=0,
即
{-x+√3z=0,令x=
√3
,则y=-2
√3
⃗AC·n=0, -2x- y=0,
,z=1,所以n=(√3,-2√3,1),设直线AB与平面ACC A 所成的角为α,则sin α=|cos|=
1 1
|n·⃗AB| 4√3 √15 √15
= = ,所以直线AB与平面ACC A 所成角的正弦值为 .
1 1
|n||⃗AB| √16×√5 5 5
3.(1)证明 取AD的中点O,∵PA=PD,∴PO⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PO⊥平面ABCD.又BD 平面
ABCD,∴PO⊥BD.∵AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD=4,∴BD=AD=2√2,∴BD2+AD2=AB2,∴
⊂
BD⊥AD.又PO∩AD=O,PO,AD 平面PAD,∴BD⊥平面PAD.
⊂
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(2)解 V B-PAD =V P-ABD = S △ABD ·PO= × AD·BD·PO= PO= ,∴PO=√2. 取PB的中点M,∵N
3 3 2 3 3
为AP的中点,∴MN∥AB,又AB∥CD,∴MN∥CD,∴平面NCD即为平面MNDC,∴DM为平面
NCD与平面PBD的交线l.取AB的中点Q,连接OQ,由(1)可知,OA,OP,OQ两两垂直.如图,建立空
间直角坐标系O-xyz,
√2 √2
则P(0,0,√2),A(√2,0,0),D(-√2,0,0),B(-√2,2√2,0),M(- ,√2, ).
2 2
√2 √2
则⃗PA =(√2,0,-√2),⃗PB =(-√2,2√2,-2),⃗DM =( ,√2, ),设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),
2 2
{n·⃗PA=0, { √2x-√2z=0,
由 则 取x=1,则z=1,y=1,∴n=(1,1,1).
n·⃗PB=0, -√2x+2√2y-√2z=0,
设直线l与平面PAB的夹角为θ,
|√2 √2|
+√2+
2 2 2√2 2√2
则sin θ=|cos<⃗DM ,n>|= = ,故直线l与平面PAB夹角的正弦值为 .
√1 1 3 3
+2+ ×√3
2 2
4.(1)证明 连接CP交BD于点H,连接HQ,
2 PH PD PD 2
因为AD∥BC,且PD= AD,所以 = = = ,
3 HC BC AD 3
2 FQ 2 FQ PH
因为⃗FQ= ⃗FC,所以 = ,所以 = ,所以PF∥HQ,
5 QC 3 QC HC
又HQ 平面BDQ,PF 平面BDQ,所以PF∥平面BDQ.
(2)解 分别取AD,BC的中点I,J,连接EI,IJ,FJ,则IJ∥AB,且IJ=AB,因为四边形ABFE与四边形
⊂ ⊄
1 1
CDEF为全等的等腰梯形,所以EA=ED=FB=FC,四边形EIJF为等腰梯形,且EF∥IJ,EF= AB=
2 2
IJ,EI⊥AD,FJ⊥BC,又AD∥BC,所以FJ⊥AD.因为EI,FJ 平面EIJF,且EI,FJ为两条相交直线,所
⊂
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⊂ 3 1
E在平面EIJF内作IJ的垂线,垂足为M,则EM⊥平面ABCD,EM= ,IM= (IJ-EF)=1.过M作
2 2
MK∥AD,易得MK,MJ,ME两两垂直,以M为坐标原点,MK,MJ,ME所在直线分别为x轴、y轴、z
轴建立空间直角坐标系,如图所示,
3
则F(0,2, ),B(1,3,0),C(-1,3,0),
2
3 3 3
设P(a,-1,0)(-1≤a≤1),所以 ⃗PF =(-a,3, ),⃗FB =(1,1,- ),⃗FC =(-1,1,- ).
2 2 2
3
{ n·⃗FB=x+ y- z=0,
2
设平面BCF的一个法向量n=(x,y,z),则
3
n·⃗FC=-x+ y- z=0,
2
令z=2,解得x=0,y=3,所以n=(0,3,2),
设PF与平面BCF所成角的大小为θ,
|⃗PF·n| 12 2√39
= = √3
则sin θ=|cos<⃗PF ,n>|=|⃗PF||n| √ 45 13 ,解得a=± ,且满足题意,
a2+ ×√13 2
4
√3 √3
所以AP=1- ,或AP=1+
2 2
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