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课时规范练 3 等式性质与不等式性质
基础巩固练
1.下列结论正确的是( )
A.若√a<√b,则ab2,则a>b
C.若a>b,c∈R,则a|c|>b|c|
D.若ac>bc,c∈R,则a>b
1 1
2.已知a,b∈R,若a>b, < 同时成立,则下列不等式一定成立的是( )
a b
A.ab>0 B.ab<0
C.a+b>0 D.a+b<0
3.(2024·山东济南模拟)若aN
C.M=N D.不确定
5.(2024·江苏南通模拟)已知a-b∈[0,1],a+b∈[2,4],则4a-2b的取值范围是( )
A.[1,5] B.[2,7]
C.[1,6] D.[0,9]
6.(多选题)(2024·广西南宁模拟)已知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,则下列结论中正
确的是( )
A.a+b>0
B.ac>bc
1 1
C. >
a-b b-c
9
D.(a-c)(b-c)< c2
4
7.已知2中的一种)
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9.(13分)(1)已知c>a>b>0,求证: > ;
c-a c-b
(2)已知a>b,e>f,c>0,求证:f-acy>1>z>0,a= ,b= ,c= ,则必有( )
z x y
A.a>c>b
B.b>c且a>c
C.b>c>a
D.a>b且a>c
12.已知a,b∈R且满足{1≤a+b≤3,
则4a+2b的取值范围是( )
-1≤a-b≤1,
A.[0,12]
B.[4,10]
C.[2,10]
D.[2,8]
1 10
13.(2024·内蒙古赤峰模拟)已知a=0.9,b= ,c=1+ln ,则a,b,c的大小关系是( )
9√e 11
A.a0,则下列结论正确的是( )
b
A.b≥2
B.a≥2
C.ab≥2
D.a2+b2的最小值为6
创新应用练
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15.(2024·河北邯郸三模)记min{x,y,z}表示x,y,z中最小的数.设a>0,b>0,则min{a,
,
b a
+3b}的最大值为 .
16.(2024·河北石家庄二模)若实数x,y,z≥0,且x+y+z=4,2x-y+z=5,则M=4x+3y+5z的取值
范围是 .
答案：
1.A 解析 对于A,若√a<√b,显然a,b均是非负数,两边平方,得ab2,但ab,当c=0时,则a|c|=b|c|=0,C错误;对于D,若
ac>bc,c<0,则ab,所以b-a<0,所以ab>0.
a b a b ab
3.D 解析 由于ab2,故A错误;因为a,c关系不确定,故a+b ,C错误;由于a|b|>0,故 < ,D正确.
a b |a| |b|
4.B 解析 M-N=a a -(a +a )=(a -1)(a -1)-1,因为a ,a ∈(2,+∞),所以a -1>1,a -1>1,所以(a -1)(a -
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1)>1,所以(a -1)(a -1)-1>0,所以M>N.
1 2
{m+n=4, {m=3,
5.B 解析 设4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b,所以 解得 所以
m-n=2, n=1,
4a-2b=3(a-b)+(a+b),又a-b∈[0,1],a+b∈[2,4],所以3(a-b)∈[0,3],4a-2b∈[2,7],故选B.
6.AD 解析 因为a+b+c=0且a>b>c,所以a>0,c<0,则a+b>0,A正确;因为a>b,c<0,所以
acb>c,所以a-b>0,b-c>0,(a-b)-(b-c)=a+c-2b=-3b,当b>0时,0 ;当b<0时,a-b>b-c>0,则 < ;当b=0时,a-b=b-c>0,则 = ,故C错误;
a-b b-c a-b b-c a-b b-c
9 9 1 1 1
因为(a-c)(b-c)- c2=(a-c)(-a-2c)- c2=-a2-ac- c2=-(a+ c)2≤0,当且仅当a=- c时,等号成立,此时
4 4 4 2 2
1 1 1 9
由a+b+c=0可得b=- c,不符合a>b>c,所以-(a+ c)2=0不成立,故-(a+ c)2<0,即(a-c)(b-c)<
2 2 2 4
c2,D正确.故选AD.
7.(-2,1) 解析 因为-2b,得-a<-b,则c-aa,则c-a>0,即0 >0,而a>b>0,所以 > .
(c-a)(c-b) c-a c-b c-a c-b
(2)由a>b,c>0,得ac>bc,即-ac<-bc,又f0,所以b>a.综上,c≥b>a,当且仅当a=2时,
2 4
b=c.
1 1 1 1 1 1
11.D 解析 因为x>y>1>z>0,所以 < < ,x-y>0,x-z>0,y-z>0,所以a=x+ ,b=y+ ,c=z+ ,a-
x y z z x y
1 1 x-z 1 1 y-z 1 1
b=x+ -y- =(x-y)+ >0,所以a>b,a-c=x+ -z- =(x-z)+ >0,所以a>c,c-b=z+ -y- =(z-y)
z x xz z y yz y x
x- y
+ 符号不能确定,所以b,c的大小不能确定,所以a>b且a>c,故选D.
yx
{A+B=4, {A=3,
12.C 解析 设4a+2b=A(a+b)+B(a-b),可得 解得 所以4a+2b=3(a+b)+(a-b),
A-B=2, B=1,
{1≤a+b≤3, {3≤3(a+b)≤9,
因为 所以
-1≤a-b≤1, -1≤a-b≤1,
所以2≤4a+2b≤10.
1
13.D 解析 因为1 =9 √e >9> 1 = 10 ,a>0,b>0,所以a>b,因为c=1+ln 10 =1+ln 1 ,a= 9 =1-
b a 9 11 1+ 10
10
1 1
1 ,所以c-a=ln + .
1 10
10 1+
10
1 1 x
令f(x)=ln +x=-ln(1+x)+x(x>-1),则f'(x)=- +1= (x>-1),当-10时,
1+x 1+x 1+x
f'(x)>0,所以f(x)在(-1,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,所以f(x) =f(0)=0,所以当x>0时,
min
1 1
f(x)>0,所以f( 1 )>0,所以ln + >0,所以c-a>0,所以c>a.
1 10
10 1+
10
综上,c>a>b.
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14.AC 解析 对于A,b≥ ,b>0 b2≥4,所以b≥2,故A正确;对于B,b=2,a=1显然满足条件,故B
b
⇒
4
错误;对于C,2a≥ ,b>0 ab≥2,故C正确;对于D,a2+b2≥b2+b-1,由于函数f(b)=b2+b-1在区间
b
⇒
[2,+∞)上单调递增,故f(b)的最小值为f(2)=5,D错误,故选AC.
1 1 1 1
15.2 解析 若a≤ ,则ab≤1,此时min{a, , +3b}=min{a, +3b}.
b b a a
1 1
因为a( +3b)=1+3ab≤4,所以a和 +3b均大于0,且它们中至少有一个小于或等于2,所以
a a
1 1 1 1 1 1
min{a, +3b}≤2,又当a=2,b= 时,a= = +3b=2,所以min{a, , +3b}的最大值为2.
a 2 b a b a
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
若a> ,则ab>1,此时min{a, , +3b}=min{ , +3b},因为 ( +3b)= +3<4,所以 和
b b a b a b a ab b a
1 1
+3b均大于0,且它们中至少有一个小于或等于2,所以min{a, , +3b}<2.
b a
1 1
综上,min{a,
,
+3b}的最大值为2.
b a
2z z
16.[15,19] 解析 因为x+y=4-z,2x-y=5-z,故x=3- ,y=1- ,
3 3
2z
{3- ≥0,
3
由x,y,z≥0,得 解得0≤z≤3,
z
1- ≥0,
3
z≥0,
2z z 4z
故M=4x+3y+5z=4(3- )+3(1- )+5z= +15∈[15,19]
3 3 3
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